星形映照的新子族與Roper-Suffridge延拓算子

王朝君，崔艷艷，朱思峰

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

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星形映照的新子族與Roper-Suffridge延拓算子

王朝君，崔艷艷，朱思峰

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

在Reinhardt域上及復(fù)Banach空間單位球上討論了星形映照的一類(lèi)新子族，即復(fù)數(shù)λ階殆星映照.證明了幾類(lèi)推廣的Roper-Suffridge延拓算子保持復(fù)數(shù)λ階殆星映照的不變性，從而能夠在多復(fù)變數(shù)空間的不同區(qū)域中構(gòu)造復(fù)數(shù)λ階殆星映照，所得結(jié)果推廣了已有的結(jié)論.

星形映照；殆星映照；Roper-Suffridge算子

1　預(yù)備知識(shí)

單復(fù)變幾何函數(shù)論中有許多優(yōu)美的結(jié)論，例如單葉全純函數(shù)的增長(zhǎng)、掩蓋定理等.然而在將這些結(jié)論推廣到多復(fù)變數(shù)空間的過(guò)程中，人們發(fā)現(xiàn)即便是“在單位圓盤(pán)上全純單葉函數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)的模是有界的”這樣的基本結(jié)果，在多復(fù)變數(shù)中也不成立.后來(lái)人們考慮對(duì)映照加以幾何上的限制，從而討論具有特殊幾何形狀的雙全純映照，例如星形映照、凸映照、螺形映照等. 目前對(duì)于星形映照和凸映照已經(jīng)有了許多很好的結(jié)論，近年來(lái)許多學(xué)者開(kāi)始討論他們的子族.[1-7]

2010年，B?l?eti和Nechita[8]引入了Cn中單位球上星形映照的新子族：復(fù)數(shù)λ階殆星映照的定義.2013年，趙燕紅[9]將復(fù)數(shù)λ階殆星映照的定義推廣到Reinhardt域及復(fù)Banach空間單位球上，研究了復(fù)數(shù)λ階殆星映照與Loewner鏈的關(guān)系，得到了復(fù)Banach空間單位球上復(fù)數(shù)λ階殆星映照的解析特征.然而在多復(fù)變數(shù)空間中很難找到具體的復(fù)數(shù)λ階殆星映照的例子，但是若借助Roper-Suffridge算子[10]，則可以由單復(fù)變中的復(fù)數(shù)λ階殆星函數(shù)構(gòu)造出許多多復(fù)變數(shù)空間中的復(fù)數(shù)λ階殆星映照.

本文主要討論Reinhardt域上及復(fù)Banach空間單位球上復(fù)數(shù)λ階殆星映照在一些推廣的Roper-Suffridge算子下的不變性.文中用D表示單位圓盤(pán)，B表示復(fù)Banach空間X中的單位球.

定義1[9]設(shè)Ω?Cn是有界星形圓形域，其Minkowski泛函ρ(z)除去一個(gè)低維流形域外一階可導(dǎo).令λ∈C，Reλ≤0，f是Ω上的正規(guī)化局部雙全純映照，若

定義2[9-10]設(shè)f：B→X是一個(gè)正規(guī)化局部雙全純映照.若λ∈C，Reλ≤0且Re{(1-λ)Tx[(Df(x))-1f(x)]}≥-Reλ‖x‖，x∈B{0}，則稱(chēng)f是B上的復(fù)數(shù)λ階殆星映照.

2　主要結(jié)論及其證明.

則

由引理1知

由于f是D上的復(fù)數(shù)λ階殆星函數(shù)，則

(1)

由(1)式及引理2知

定理得證.

由于fj是D上的復(fù)數(shù)λ階殆星函數(shù)，

從而 Jg(z)z+g(z)≠0.又顯然F(0)=0，JF(0)=I，故F(z)是Ω上的正規(guī)化局部雙全純映照，且

證明與定理2同理可得，這里不再贅述.

定理4設(shè)f是D上的復(fù)數(shù)λ階殆星函數(shù)，β1=1，βj∈[0，1](j=2，…，n-1).則

證明由文獻(xiàn)[14]可知F(x)是復(fù)Banach空間單位球B上的正規(guī)化雙全純映照，且

由于f是D上的復(fù)數(shù)λ階殆星函數(shù)，則

從而

Re{(1-λ)Tx[(DF(x))-1F(x)]}=

由定義2知定理得證.

[1]FITZGERALD C H，THOMAS C R. Some bounds on convex mappings in several complex variables[J]. Pacific J of Math，1994，165：295-320.

[2]BARNARD R W，F(xiàn)ITZGERALD C H，GONG S. The growth and 1/4-theorem for starlike mappings inCn[J].Pacific J of Math，1991，150：13-22.

[3]龔升.多復(fù)變數(shù)的凸映照和星形映照[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2003：182-227.

[4]崔艷艷，劉愛(ài)超. 一類(lèi)強(qiáng)α次殆星形映照的增長(zhǎng)和掩蓋定理[J]. 東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，46(1):17-21.

[5]馮淑霞，劉太順，任廣斌.復(fù)Banach空間單位球上幾類(lèi)映射的增長(zhǎng)掩蓋定理[J].數(shù)學(xué)年刊，2007，28A(2)：215-230.

[6]徐慶華，劉太順.正規(guī)化雙全純映照的增長(zhǎng)和掩蓋定理[J].數(shù)學(xué)年刊，2009，30A(2)：213-220.

[7]王建飛.Cn中一類(lèi)星形映射子族的增長(zhǎng)定理及推廣的Roper-Suffridge算子[J].數(shù)學(xué)年刊，2013，34A(2)：223-234.

[8]BAlAETI C M，NECHITA V O. Loewner chains and almost starlike mappings of complex orderλ[J].Carpathian J Math，2010，26(2)：146-157.

[9]趙燕紅.復(fù)Banach空間單位球上的復(fù)數(shù)λ階殆星映射[D].金華：浙江師范大學(xué)，2013.

[10]ROPER K A，SUFFRIDGE T J. Convex mappings on the unit ball of Cn[J]. J Anal Math，1995，65：333-347.

[11]劉名生，朱玉燦.有界完全Reinhardt域上推廣的Roper-Suffridge算子[J].中國(guó)科學(xué)A輯，2007，37(10)：1193-1206.

[12 ]閆春燕.Roper-Suffridge 算子與Loewner鏈[D].開(kāi)封：河南大學(xué)，2008.

[13]劉小松.多復(fù)變數(shù)幾何函數(shù)論中某些雙全純映照子族的性質(zhì)[D].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2004.

[14]崔艷艷，王朝君.復(fù)Banach空間上推廣的Roper-Suffridge延拓算子[J].數(shù)學(xué)雜志，2014，34(3)：515-520.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

New subclass of starlike mappings and Roper-Suffridge extension operators

WANG Chao-jun，CUI Yan-yan，ZHU Si-feng

(Mathematics Department，Zhoukou Normal University，Zhoukou 466001，China)

A kind of new subclass of starlike mappings，namely almost starlike mappings of complex orderλ，on Reinhardt domains and on the unit ball in complex Banach spaces is studied. From the definitions，it is proved that some generalized Roper-Suffridge operators preserve the invariance of almost starlike mappings of complex orderλ，thus it can construct almost starlike mappings of complex orderλon different domains in several complex variables. The results extend the existing conclusion.

starlike mappings；almost starlike mappings；Roper-Suffridge operator

1000-1832(2016)03-0021-04

2015-03-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271359，U1204618)；河南省科技廳科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(102400450003)；周口師范學(xué)院青年基金資助項(xiàng)目(zknub3201608)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(17A110041).

王朝君(1981—)，男，碩士，講師，主要從事多復(fù)變函數(shù)論及微分方程研究；通信作者：朱思峰(1977—)，男，博士，副教授，主要從事復(fù)分析研究.

O 174.56[學(xué)科代碼]110·41

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.005