創(chuàng)意平板折疊桌數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)與研究

李婉婷

（吉林師范大學(xué)，吉林四平136000）

創(chuàng)意平板折疊桌數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)與研究

李婉婷

（吉林師范大學(xué)，吉林四平136000）

對(duì)平板折疊桌的設(shè)計(jì)原理及優(yōu)化可能性進(jìn)行一系列的數(shù)據(jù)挖掘與分析，確立創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)方案。利用空間曲線的參數(shù)方程、超靜定次數(shù)、力矩平衡、抗彎強(qiáng)度、坐標(biāo)擬合為理論基礎(chǔ)研究，最終確定折疊桌最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，進(jìn)行點(diǎn)與曲線的坐標(biāo)擬合，并利用matlab描點(diǎn)繪制動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖。

超靜定次數(shù)；力矩平衡；抗彎強(qiáng)度；坐標(biāo)擬合

現(xiàn)如今，折疊與伸展已成為家具行業(yè)的基本設(shè)計(jì)理念。折疊桌以其節(jié)省空間的特點(diǎn)深受消費(fèi)者喜愛(ài)。本文設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌是一種新型開(kāi)發(fā)的可折疊桌子，它的設(shè)計(jì)靈感源自錯(cuò)綜復(fù)雜的自然形式，桌面呈圓形，桌腿能夠隨著鉸鏈的活動(dòng)，平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且木條留有空槽以保證滑動(dòng)的自由度，桌子外形由直紋曲面構(gòu)成。

1　模型建立的條件

為了使問(wèn)題更加清晰，對(duì)建模問(wèn)題進(jìn)行以下假設(shè)：木板長(zhǎng)度減去兩條最長(zhǎng)桌腿長(zhǎng)度為最小邊緣預(yù)留長(zhǎng)度，假設(shè)最小邊緣等于每根木條的寬度；所有折疊后桌子的高度都包括木板本身的高度；假設(shè)桌面均勻受力，中心木條到最外側(cè)桌腳木條的角度變化量是一個(gè)恒定值。

2　模型的建立與求解

2.1確定桌腿長(zhǎng)度和未折疊前鋼筋初始位置

通過(guò)查閱相關(guān)資料和視頻，為了保證桌腿各個(gè)木條在折疊過(guò)程中摩擦的自由度，本文考慮到桌腿每個(gè)木條之間存在縫隙，當(dāng)已知長(zhǎng)方形木板尺寸為120 cm×50 cm×30 cm，每根木條寬2.5 cm時(shí)，一組桌腿木條數(shù)為19根，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1　折疊桌一側(cè)的平面直角坐標(biāo)系

b、c已知，故可得半徑r的長(zhǎng)度為：

木板由19根木條組成，木板寬50 cm，每根木條寬2.5 cm，則各個(gè)木條之間必存在縫隙，縫隙d為：

所以從中間木棍的下一根木棍開(kāi)始每條木棍的橫坐標(biāo)都在前一坐標(biāo)的基礎(chǔ)上加2.5+d= 2.63cm，即

在已知Xn的提前下，應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到對(duì)應(yīng)的Yn的值：

2.2桌腿木條的開(kāi)槽

桌腿完全折疊后，桌子的高線長(zhǎng)度與最長(zhǎng)桌腿長(zhǎng)度已知，且?jiàn)A角固定，可得出平面示意圖，如圖2所示。

圖2　桌子完全折疊后平面示意圖

因?yàn)槿切蜟10MF與三角形ABC10相似，線段AB為高H-h的一半，因此可知線段BC10的長(zhǎng)度：

在三角形ABC1中應(yīng)用勾股定理可得桌子上每條腿從桌面邊緣到鋼筋位置的距離：

結(jié)合圖1，用求得當(dāng)桌子打開(kāi)后鋼筋所在位置，鋼筋處于在最長(zhǎng)桌腿中部，可知鋼筋在圖1上的坐標(biāo)是Y=28.83，那么開(kāi)槽長(zhǎng)度為：

表1　各桌腿木條開(kāi)槽長(zhǎng)度表

2.3桌角邊緣線

針對(duì)平板右半部分，桌面固定，桌腿向上抬起，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3　桌子右半部分空間直角坐標(biāo)系

當(dāng)平板折疊成桌子后，每條桌腿與x-y平面形成角，由圖3可知折起后桌腿的x軸坐標(biāo)未變，而y軸坐標(biāo)變?yōu)椋?，z軸坐標(biāo)變?yōu)椋骸?/p>

2.4對(duì)桌子進(jìn)行力學(xué)分析

首先對(duì)于桌子的力學(xué)性能進(jìn)行分析，我們將桌子除支撐外的所有木條以及對(duì)應(yīng)的鋼筋都去掉，得到結(jié)構(gòu)及其力學(xué)模型（圖中另一側(cè)的兩個(gè)臺(tái)腳沒(méi)有畫出，實(shí)際存在），如圖4所示。

圖4　僅有支撐木條的結(jié)構(gòu)及其力學(xué)模型

右圖是對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩圖，若f即摩擦力不足夠大，會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。當(dāng)增加桌腿木條數(shù)和鋼筋，結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。如圖5所示。

圖5　增加木條和鋼筋后的結(jié)構(gòu)

根據(jù)力學(xué)原理，每增加一根木條，該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)便多增加一次，因此該結(jié)構(gòu)為多次超靜定結(jié)構(gòu)，采取增加木條的方法來(lái)增加超靜定次數(shù)，降低受力敏感度，是提高其穩(wěn)定性的重要因素。多年的工程實(shí)踐證明，采用優(yōu)良的結(jié)構(gòu)形式，對(duì)抵抗較大幅度的超載、隨機(jī)外力以及避免脆性破壞或連續(xù)破壞有十分重要的意義。

2.5確定最優(yōu)角度

為了盡可能減少摩擦力對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)受力的影響，桌腳木條與水平面的夾角應(yīng)該有所限制若桿AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，f為摩擦力，N為支持力根據(jù)力矩平衡，對(duì)B點(diǎn)求矩：

圖6　支撐桌腿與水平面垂直時(shí)示意圖

根據(jù)受力平衡，對(duì)于桌腳木條來(lái)說(shuō)就會(huì)受到鋼筋提供的很大的向外側(cè)的力作用，對(duì)于力學(xué)性能來(lái)說(shuō)是一個(gè)很大的影響。因此對(duì)于整體結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，桌腳與水平面的夾角為90°并不是最佳角度。

由于通過(guò)增加木條數(shù)去提高木板桌的穩(wěn)定性，所以在木條數(shù)量較多的前提下，假設(shè)中心木條到最外側(cè)桌腳木條的角度變化量是一個(gè)恒定值，即它們與水平面的夾角是一個(gè)等差數(shù)列。

最外側(cè)桌腳木條與水平面所成角是定值，根據(jù)上一問(wèn)求出的最長(zhǎng)的桌腿與折疊后桌子高線的夾角為29.86°，可知最外側(cè)桌腳木條與水平面的夾角60.14°，以及中間木條與水平面的夾角71.62°，可以求得最佳角度。

2.6制作星形桌面桌

根據(jù)用戶給定的已知條件：折疊桌高度、桌面邊緣線形狀以及桌腳邊緣線形狀，之后通過(guò)合理的數(shù)學(xué)模型，能夠得到成品桌的大致模型，和相關(guān)必備參數(shù)（平板尺寸、槽口長(zhǎng)度等），制訂相應(yīng)的制作方法。

利用matlab進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題，通過(guò)分析得到高度、桌面邊緣線、桌腳邊緣線之間的關(guān)系并不割裂，三者之間相互影響，不可分割。在考慮實(shí)用性、穩(wěn)定性等其他一系列必要條件后，將得到折疊桌制作參數(shù)的一個(gè)大致范圍，制作折疊桌的大致動(dòng)態(tài)模式圖。

3　模型的評(píng)價(jià)與討論

3.1模型缺點(diǎn)

由于在計(jì)算圓形半徑時(shí)，假定了桌面兩邊的最短木條長(zhǎng)度與木條寬度一致，因此最后的數(shù)值會(huì)有偏差。不能靈活地根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀準(zhǔn)確繪制出桌子變化過(guò)程，使生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近所期望的形狀。

3.2模型優(yōu)點(diǎn)

此模型針對(duì)穩(wěn)固程度、加工方便與否、用料多少進(jìn)行了優(yōu)化，找到了對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑后，求得最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的簡(jiǎn)便方法。由matlab所建立的數(shù)學(xué)模型，可以滿足顧客任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀。繪制出的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，節(jié)省了大量的工作時(shí)間。

［1］蔣玉川，徐雙武，胡耀華，等.結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］.沈陽(yáng)：科學(xué)出版社，2012.

［2］王新敏.Ansys結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析與應(yīng)用［M］.北京：人民交通出版社，2014.

［3］丁星，王清遠(yuǎn).MATLAB桿系結(jié)構(gòu)分析［M］.沈陽(yáng)：科學(xué)出版社，2008.

［4］趙經(jīng)文，王宏鈺.結(jié)構(gòu)有限元分析［M］.沈陽(yáng)：科學(xué)出版社，2001.

［責(zé)任編輯：秦錦文］

The Design and Research of Creative Flat Folding Table Mathematical Model

LI Wanting
(Jilin Normal University,Siping 136000,China)

A series of data mining and analysis of the flat folding table design principle and optimization possibility are done,and the design scheme of the flat folding table is established.The researcher takes the parameter equation of space curve,the degree of statical indeterminacy,torque balance,flexural strength, coordinate fitting as the theoretical basis of the research,finally determines the optimum design and processing parameters of the flat folding table,fits the coordinate of points and curves,and draws the dynamic change process picture by matlab tracing point.

degree of statical indeterminacy;torque balance;flexural strength;coordinate fitting

O22

A

2095-5928（2016）04-32-04

10.16850/j.cnki.21-1590/g4.2016.04.010

2016-03-11

2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽項(xiàng)目

李婉婷（1992-），女，遼寧黑山人，碩士，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論。