矩形多項式矩陣的正則化與零點配置

張國山,林竹雨

(天津大學 電氣與自動化工程學院,天津 300072)

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矩形多項式矩陣的正則化與零點配置

張國山,林竹雨

(天津大學 電氣與自動化工程學院,天津 300072)

考慮一個行滿秩的矩形多項式矩陣，研究通過補償一個矩形多項式矩陣使其成為方陣，并保持補償后矩陣沒有無窮遠零點且可以實現(xiàn)有限零點任意配置,該問題可以稱之為正則化問題.通過變換，該問題可以轉(zhuǎn)化為廣義系統(tǒng)的極點配置問題.運用多項式矩陣理論與廣義系統(tǒng)理論，給出滿足期望特性的補償矩陣(正則化矩陣)存在的充要條件和構(gòu)造方法.

矩形多項式矩陣;補償；正則化;無窮遠零點；廣義系統(tǒng)理論

多項式矩陣描述(polynomial matrix description ,簡稱PMD)的控制系統(tǒng)是研究控制系統(tǒng)的重要方法之一，目前已經(jīng)形成了獨立的理論體系[1]，并與狀態(tài)空間方法共同發(fā)展.通常是在正則的前提下研究一個PMD系統(tǒng)，因為正則性保證了系統(tǒng)方程的解的存在性和唯一性.如果從PMD的角度，將一個多項式矩陣理解為系統(tǒng)的狀態(tài)系數(shù)矩陣，其零點(有限零點和無窮遠零點)對應(yīng)于其所描述的系統(tǒng)的極點(有限極點和脈沖模).一個矩形多項式矩陣可以認為是矩形系統(tǒng)狀態(tài)的系數(shù)矩陣，這樣的系統(tǒng)不滿足正則性條件，因而其狀態(tài)無解或不具有唯一解.將一個矩形系統(tǒng)補償成為一個正則系統(tǒng)相當于將一個矩形矩陣補償為滿秩的方陣,因此研究矩形多項式矩陣的正則化及其零點配置問題,相當于研究矩形系統(tǒng)正則性與極點配置問題.

在多項式矩陣及其描述的系統(tǒng)零極點的研究方面,文獻[1]介紹了PMD的基本理論；文獻[2]基于狀態(tài)映射研究了正則多項式矩陣的無窮遠極零點個數(shù)；文獻[3]給出了正則多項式矩陣沒有無窮遠零點的一個充要條件.以上均為對正則多項式矩陣的研究,在與廣義系統(tǒng)相關(guān)研究方面,文獻[4-5]研究了矩形廣義系統(tǒng)的脈沖能控能觀及反饋問題；文獻[6]研究了基于動態(tài)補償?shù)木匦螐V義系統(tǒng)的正則化，能控能觀性與極點配置問題；文獻[7]研究了任意一個多項式矩陣的特征結(jié)構(gòu)；文獻[8]研究了使任意一個多項式矩陣最高次的系數(shù)矩陣滿秩的方法；文獻[9]研究了由任意一個行滿秩的矩形多項式矩陣構(gòu)造一個單模陣的方法.受文獻[9]啟發(fā),研究一個行滿秩的矩形多項式矩陣通過某種補償使其成為具有我們期望特性的矩陣，是一個值得研究的問題.而通過增加矩形多項式矩陣的行數(shù)，將其擴展成為一個方形滿秩矩陣，是一種有效和可行的補償方法.

筆者將基于多項式矩陣理論與廣義系統(tǒng)理論，對于一定條件下的行滿秩多項式矩陣，通過增加其行數(shù)將其補償成為滿秩方陣，使其沒有無窮遠零點而實現(xiàn)有限零點的任意配置，且補償矩陣的次數(shù)低于原矩陣的次數(shù),這與正常系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制的觀點相統(tǒng)一,即補償部分相當于線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋.特別地，為了對應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可將其零點配置于左半復平面，即配置成一個Hurwitz矩陣.由于高次多項式矩陣的特征值配置過于復雜，筆者通過多項式矩陣的一種線性化表示[10]，即在保持其特征值及某些結(jié)構(gòu)特性不變的前提下，通過擴大其維數(shù)將其轉(zhuǎn)化為一次多項式矩陣，然后借助于廣義系統(tǒng)理論，獲得其零點任意配置的充要條件與配置方法.按所給多項式矩陣的次數(shù)，將分為一次和任意次兩種情況進行討論，分別給出對應(yīng)的方法和結(jié)果，最后通過數(shù)值算例說明所得結(jié)果的合理性.

1　問題的提出

設(shè)P(s)∈n×n[s]為任一正則的多項式矩陣,則P(s)可以表示為

(1)

其中：Pμ≠0，μ為P(s)元素中的最高次數(shù)(以下簡稱P(s)的次數(shù)),Pi∈n×n,i=0,1,…,μ為各次數(shù)的系數(shù)矩陣.P(s)正則意味著detP(s)≠0.P(s)的零點(包括有限零點和無窮遠零點)定義為使P(s)的秩下降的點[11]. 判定P(s)的無窮遠零點的方法為：取變換λ=1/s，則Q(λ)=P(1/λ)在λ=0處的零點就是P(s)在s=處的零點，且二者零點重數(shù)相同(按Smith-McMillan標準形定義[1]). 設(shè)

(2)

dP(s)=degdetP(s),

(3)

且設(shè)P(s)的無窮遠零點個數(shù)為z,則z,rp(s)和dp(s)的關(guān)系為引理1.

引理1[2]z=rp(s)-dp(s).

引理1表明,P(s)沒有無窮遠零點當且僅當rp(s)=dp(s).

考慮一個矩形多項式矩陣P1(s)∈p×n[s],其中p

(4)

沒有無窮遠零點，且有限零點實現(xiàn)任意配置. 為了與線性系統(tǒng)反饋控制理論相對應(yīng)，要求P2(s)的次數(shù)小于P1(s)的次數(shù).由于多項式矩陣形式的系統(tǒng)極點配置問題尚未有有效的解決方法，論文首先給出多項式矩陣的一種線性化形式，然后對其線性化形式，給出其零點任意配置的條件與方法.

2　主要結(jié)果

分兩種情況討論所得的結(jié)果：(1)P1(s)為一次多項式矩陣的情形，此時P1(s)可以認為是矩形廣義系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，利用廣義系統(tǒng)理論給出相應(yīng)的結(jié)果；(2) P1(s)為(大于1次的)任意次多項式矩陣的情形，首先給出其線性化表示，然后利用上一種情形的結(jié)果，給出一般性的結(jié)果及P2(s)的構(gòu)造方法.

2.1P1(s)為一次多項式矩陣的情形

首先考慮P1(s)=P1s+P0∈p×n[s],P

(5)

(6)

時,廣義系統(tǒng)(E,A,B)脈沖能控.

引理4[4]P1(s)=P1s+P0沒有無窮遠零點當且僅當(6)成立.

定理1給定一個P1(s)=P1s+P0∈p×n[s],p

證明由廣義系統(tǒng)中的反饋和極點配置理論,按分解式(5),存在一個反饋矩陣F∈(n-p)×p，使閉環(huán)系統(tǒng)(E,A+BF,B)無脈沖且有限極點可任意配置,進而，矩陣sE-(A+BF)沒有無窮遠零點且有限零點可任意配置當且僅當(E,A,B)R-能控和脈沖能控，即(6)成立.又因為

(7)

(8)

推論1對于P1(s)=P1s+P0∈p×n[s]，下面幾個表述是等價的:

1) P1(s)=P1s+P0沒有有限零點和無窮遠零點.

2) 廣義系統(tǒng)(E,A,B)是R-能控和脈沖能控的，其中E,A,B由(5)給出.

3) rank(P1s+P0)=P，?s∈且).

2.2P1(s)∈p×n[s]為任意次多項式矩陣的一般情形

考慮任意的矩形多項式矩陣P1(s)∈p×n[s],P

(9)

其中：Pμ≠0,μ>1,Pi∈p×n為各次數(shù)的系數(shù)矩陣,i=0,1,…,μ.

(10)

其中：Pi,a∈p×p,i=0,1,…,μ；Pj,b∈p×(n-p),j=0,1,…,μ-1.利用文獻[9-10]，將(9)擴展成一種廣義系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)，可以認為是由(9)導出的一種線性化表示，令

(11)

定理2對于(9)中的P1(s)及其導出的線性化形式(11)，存在一個反饋矩陣F∈(n-p)×μp，使閉環(huán)系統(tǒng)(E,A+BF,B)無脈沖且有限極點可任意配置的充要條件是

(12)

進而，如果(12)成立，可求出一個次數(shù)小于μ的多項式矩陣P2(s)，使(4)沒有無窮遠零點且有限零點可以任意配置，其中P2(s)的表達式將在定理證明中給出.

下面構(gòu)造P2(s). 從上面證明得到，系統(tǒng)(E,A+BF,B)無脈沖且有限極點可任意配置等價于矩陣

(13)

沒有無窮遠零點且有限零點可任意配置.設(shè)單模陣

(14)

則

(15)

其中

Pa(s)=Pμ,asμ+Pμ-1,asμ-1+…+P0,a,Pb(s)=Pμ-1,bsμ-1+Pμ-2,bsμ-2+…+P0,b,

(16)

(17)

(18)

(19)

其中

(20)

且P2(s)∈(n-p)×n,即P2(s)取矩陣的前n-p行,即

(21)

detP(s)=αdet[sE-(A+BF)],

(22)

其中：α為非零系數(shù),故P(s)與矩陣[sE-(A+BF)]有相同的有限零點,因為[sE-(A+BF)]的有限零點可以任意配置，故P(s)的有限零點可以任意配置.

接下來證明P(s)沒有無窮遠零點.因為矩陣[sE-(A+BF)]沒有無窮遠零點,由引理1及(22),有

dP(s)=degdet[sE-(A+BF)]=rank(E)=(μ-1)P+rank(Pμ)，

(23)

由(2)和(21)可得

(24)

則由(23)和(24)得rP(s)≤dP(s),又rp(s)≥dp(s),所以rp(s)=dp(s).故由引理1,P(s)沒有無窮遠零點.

綜上,P(s)沒有無窮遠零點且有限零點可任意配置.故存在一個次數(shù)小于μ的多項式矩陣P2(s)∈(n-p)×n[s]，使P(s)沒有無窮遠零點且有限零點可任意配置，等價于存在一個反饋矩陣F∈(n-p)×μp，使閉環(huán)系統(tǒng)(E,A+BF,B)無脈沖且有限極點可任意配置,又等價于(12)成立.P2(s)的表達式由(21)給出.證畢.

3　數(shù)值算例

則

則

4　結(jié)束語

筆者分別給出了一次和高次矩形多項式矩陣補償成一個沒有無窮遠零點且有限零點可以任意配置的方法,并利用其導出的線性化形式，分別推導了充要條件.實際上,按線性(廣義)系統(tǒng)理論，論文方法不僅可以實現(xiàn)矩形多項式矩陣任意極點配置,也可以實現(xiàn)對應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定或其他需要的特性.而從非正則多項式矩陣本身出發(fā)，給出通過補償多項式矩陣使其正則且具有期望零點的條件和方法，是值得進一步研究的課題.

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(責任編輯朱夜明)

Regularization and zero assignment of rectangular polynomial matrices

ZHANG Guoshan, LIN Zhuyu

(School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

For a given rectangular polynomial matrix with full row rank, the problem that how to compensate it to a square polynomial matrix by adding another rectangular polynomial matrix was investigated, which made the square polynomial matrix have no infinite zeros and achieve arbitrary finite zero assignment. The problem could be named as the regularization problem. It could be transformed into an equivalent problem about pole assignment of descriptor systems. By using polynomial matrix and descriptor system theories, the necessary and sufficient condition were obtained for the existence of the compensated matrix, and a method of constructing such a compensated matrix was presented.

rectangular polynomial matrices; compensation; regularization; infinite zeros; descriptor system

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.05.001

2016-01-16

國家自然科學基金資助項目(61473202)

張國山(1961-),男,吉林農(nóng)安人，天津大學教授,博士生導師,博士.

O231

A

1000-2162(2016)05-0001-07