非線性S-G型濕氣遷移方程的混合元超收斂分析及外推

羅　娟,毛鳳梅,王俊俊

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 平頂山　467000)

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非線性S-G型濕氣遷移方程的混合元超收斂分析及外推

羅娟,毛鳳梅,王俊俊

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 平頂山467000)

非線性濕氣遷移方程; 混合元方法; 超逼近和超收斂; 外推

土壤中的濕氣遷移現(xiàn)象可用如下一類非線Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程來描述

(1)

其中：X=(x,y),Ω?R2為邊界分段光滑的有界凸多角形區(qū)域,a(u)=a(X,t;u),f(u)=f(X,t;u),g(u)=g(X,t;u).方程中的系數(shù)a(u),c(t),f(u),e(t),g(u)為已知函數(shù)且滿足以下假設(shè)

(1) 存在正常數(shù)a0,a1,c0,c1,f0,f1,e0,e1, 使得對任意X∈Ω,u∈Ω,t∈[0,T]，有a0≤a(u)≤a1,c0≤c(t)≤c1,f0≤f(u)≤f1,e0≤e(t)≤e1;

(2)a(u),f(u),g(u)關(guān)于u滿Lipschitz連續(xù),且a(u),f(u)關(guān)于u具有直到二階連續(xù)有界的導(dǎo)數(shù);

(3) 方程(1)的精確解u∈C2(Ω×[0,T])且存在唯一.

1　有限元的構(gòu)造及性質(zhì)

設(shè)Ω是一個矩形區(qū)域, 其邊?Ω分別平行于x軸和y軸,Γh是Ω滿足正則假設(shè)的矩形單元剖分族. 設(shè)K∈Γh, 平行于x軸和y軸的邊分別為l1,l3及l(fā)2,l4, 邊長分別為2hx,K,2hy,K. 記hK=max{hx,K,hy,K},h=max{hK}(K∈Γh).

(2)

(3)

(4)

2　半離散格式及超逼近分析

(5)

(6)

(7)

定理1問題 (7) 的解存在唯一.

(8)

由(8)可得

(9)

(10)

(11)

(12)

(14)

下面對Ai進(jìn)行逐項(xiàng)估計(jì).由f(u)、e(t)、c(t)有界及由Schwartz不等式、插值理論和Young不等式, 分別得到|A1+A2|≤ε‖‖(‖‖‖‖.

(15)

當(dāng)ξ(X,0)=0時,有

(16)

將(16)式代入(15)式, 得

(17)

由Gronwall引理, 得

(18)

(19)

綜上可得

(20)

由(11),(18)和(20)式知(12)式成立. 定理證畢.

定理3在定理2的條件下, 有如下整體超收斂結(jié)果

(21)

(22)

3　外　推

引理2[12]設(shè)u∈H3(Ω),?vh∈Vh,則有

(23)

進(jìn)一步, 若u∈H4(Ω),?vh∈Vh,則有

(24)

引理3[13]設(shè)u∈H4(Ω),?vh∈Vh,則有

(25)

(26)

得

(27)

(28)

(29)

其中

類似于前面的方法,對上面的每一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),得

(30)

(31)

(33)

(34)

(35)

由(27), (34)式和(35)式知(28)式成立. 定理證畢.

為了給出外推解,可以類似于文[10]中的思想, 構(gòu)造插值算子I3h,∏3h, 于是有以下外推的結(jié)果：

(36)

注2上述外推解與文[8]研究的線性問題的結(jié)果一樣, 但總體自由度卻減少2NP.

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(責(zé)任編輯朱夜明)

Superconvergence analysis and extrapolation of mixed finite element approximation for nonlinear S-G type equations of moisture migration

LUO Juan, MAO Fengmei, WANG Junjun

(School of Mathematics and Information Science, Pingdingshan University, Pingdingshan 467000,China)

nonlinear moisture migration equation; mixed finite element method; superclose properties and superconvergence; extrapolation

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.05.004

2016-01-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271340)

羅娟(1980-),女, 河南南陽人, 平頂山學(xué)院講師.

O242

A

1000-2162(2016)05-0018-06