嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵

范曉詩(shī)，雷英杰，李成海，郭新鵬（空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西　西安710051）

嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵

范曉詩(shī)，雷英杰，李成海，郭新鵬
（空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西西安710051）

通過(guò)對(duì)現(xiàn)有直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法的分析，針對(duì)隸屬度和非隸屬度函數(shù)相等但直覺(jué)指數(shù)不同導(dǎo)致熵值無(wú)法區(qū)分的局限性，借鑒經(jīng)典數(shù)學(xué)中嚴(yán)格大于和嚴(yán)格小于的概念，提出了嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵（strict intuitionistic fuzzy entropy，SIFE）的概念并給出公理化定義。在該定義基礎(chǔ)上給出一個(gè)SIFE構(gòu)造方法，然后抽象為一般表達(dá)式，使得SIFE的特性在決策排序問(wèn)題中更加適用。通過(guò)算例分析，表明該方法的正確性，與其他直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法比較，說(shuō)明該方法可以克服存在的局限性。

直覺(jué)模糊集；直覺(jué)指數(shù)；嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵；決策

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0 引 言

自1986年文獻(xiàn)［1］擴(kuò)展了Zadeh的模糊集理論，提出直覺(jué)模糊集以來(lái)，該理論得到了不斷完善與豐富。直覺(jué)模糊集理論中直覺(jué)指數(shù)（猶豫度）πA（x）的提出描述了事物中立的特征，其相關(guān)研究深入到模式識(shí)別［2］，決策判斷［3-5］，圖像［6-7］，醫(yī)學(xué)［7-8］等領(lǐng)域。熵是信息論中刻畫信息量不確定性的經(jīng)典指標(biāo)，許多學(xué)者自然而然將兩者進(jìn)行了有益的結(jié)合，文獻(xiàn)［9］最早引入直覺(jué)模糊熵的公理化定義，隨后文獻(xiàn)［10］根據(jù)該定義給出了一種直覺(jué)模糊熵的計(jì)算式。一些學(xué)者相繼在此基礎(chǔ)上做了深入研究，其中文獻(xiàn)［11-12］根據(jù)直覺(jué)模糊熵的定義，提出了區(qū)間值直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法，將直覺(jué)模糊熵推廣到區(qū)間值直覺(jué)模糊范疇，擴(kuò)展了其應(yīng)用范圍，隨后文獻(xiàn)［13］根據(jù)直覺(jué)模糊集距離提出了一種新的區(qū)間值直覺(jué)模糊熵。文獻(xiàn)［14］提出的vague熵構(gòu)造方法，本質(zhì)上也是一種直覺(jué)模糊熵的等價(jià)形式，文獻(xiàn)［15］在分析了直覺(jué)模糊熵公理化定義后，針對(duì)支持與反對(duì)證據(jù)相等的情況下，原有定義不合理的問(wèn)題，修改了第一條約束條件，使其更加合理可信。文獻(xiàn)［16-17］根據(jù)三角函數(shù)的特性，充分考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度的影響，提出基于三角函數(shù)的直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法。文獻(xiàn)［18］利用直覺(jué)模糊熵分析直覺(jué)模糊集的不確定性，并提出一種集合分離定理。

直覺(jué)模糊決策是直覺(jué)模糊理論應(yīng)用的一大熱點(diǎn)，近些年一些文獻(xiàn)嘗試?yán)弥庇X(jué)模糊熵或區(qū)間直覺(jué)模糊熵進(jìn)行排序或決策［19 21］，通過(guò)深入的分析，發(fā)現(xiàn)直覺(jué)模糊熵公理化定義對(duì)于處理形如A=＜a，a＞，a∈［0，0.5］的直覺(jué)模糊數(shù)排序和決策問(wèn)題，存在先天不足。一般來(lái)講，多屬性條件下的決策方法應(yīng)當(dāng)可以處理單屬性條件下的決策需求，這里考慮一個(gè)極端的例子，當(dāng)決策屬性退化為單一條件時(shí)，對(duì)于形如x1=＜0.3，0.3＞，x2=＜0.5，0.5＞這樣的直覺(jué)模糊數(shù)進(jìn)行決策，利用現(xiàn)有直覺(jué)模糊熵的構(gòu)造方法均無(wú)法判斷。這是因?yàn)橹庇X(jué)模糊熵公理化定義中將隸屬度與非隸屬度相等時(shí)的熵值規(guī)定為E（A）=1，因而本文認(rèn)為這樣的直覺(jué)模糊熵定義不夠全面，某些情況下沒(méi)有嚴(yán)格體現(xiàn)直覺(jué)模糊熵的差別，固稱這樣的直覺(jué)模糊熵是非嚴(yán)格的，類似經(jīng)典數(shù)學(xué)中“≥”或者“≤”關(guān)系，導(dǎo)致結(jié)果無(wú)法直接運(yùn)用于排序或決策，所以原有理論存在一定的局限性。文獻(xiàn)［20-21］中利用不同的熵值賦權(quán)方法處理，其本質(zhì)是將其他數(shù)據(jù)的直覺(jué)模糊熵值通過(guò)一定的計(jì)算，賦于無(wú)法處理的數(shù)據(jù)上，從而回避了這些數(shù)據(jù)對(duì)決策結(jié)果的影響。因此，本文考慮完善直覺(jué)模糊熵公理化定義，使其能夠區(qū)分更多情況下的直覺(jué)模糊熵，即本文所提出的嚴(yán)格概念，將直覺(jué)模糊熵推廣到更普遍的適用范圍，使得直覺(jué)模糊數(shù)排序和決策方法更加完整和統(tǒng)一。

1 嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵定義及構(gòu)造方法

Atanassov［1］給出直覺(jué)模糊集的定義如下。

定義1 設(shè)X是一個(gè)給的論域，那么直覺(jué)模糊集合A=｛＜x，μA（x），γA（x）＞|x∈X｝為直覺(jué)模糊集，記作IFS（X）。其中μA（x）：X→［0，1］和γA（x）：X→［0，1］分別為A的隸屬度和非隸屬度函數(shù)，且滿足對(duì)于A上所有x∈X，都有0≤μA（x）+γA（x）≤1，由μA（x）和γA（x）組成的有序區(qū)間對(duì)＜μA（x），γA（x）＞稱為直覺(jué)模糊數(shù)。

對(duì)于X中的每個(gè)直覺(jué)模糊子集，定義πA（x）=1-μA（x）-γA（x）為A中x的直覺(jué)指數(shù)或猶豫度。直覺(jué)模糊集A的補(bǔ)集定義為

目前公認(rèn)的直覺(jué)模糊熵公理化定義滿足如下定義［3］。

定義2 一個(gè)映射E：IF S（X）→［0，1］稱為直覺(jué)模糊熵，如果E滿足以下條件：

條件1 E（A）=0當(dāng)且僅當(dāng)A是經(jīng)典集合；

條件2 E（A）=1當(dāng)且僅當(dāng)xi∈X，滿足μA（xi）= γA（xi）；

條件3 E（A）=E（AC）；

條件4 E（A）≤E（B）對(duì)于xi∈X，μA（xi）≤μB（xi）且γA（xi）≥γB（xi），當(dāng)μB（xi）≤γB（xi）；μA（xi）≥μB（xi）且γA（xi）≤γB（xi），當(dāng)μB（xi）≥γB（xi）。

如前文所述，目前文獻(xiàn)中提到的直覺(jué)模糊熵均是基于該定義構(gòu)造給出，具有一定局限性，而本文從更普遍的角度出發(fā)，借鑒經(jīng)典數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)大于“＞”和小于“＜”時(shí)，加入嚴(yán)格大于和嚴(yán)格小于的描述，考慮區(qū)分隸屬度與非隸屬相等條件下的直覺(jué)模糊熵，提出一種嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵（strict intuitionistic fuzzy entropy，SIFE）Es的概念，并給出如下定義。

定義3 一個(gè)映射Es：IF S（X）→［0，1］稱為嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵，如果Es滿足以下條件：

條件1 Es（A）=0當(dāng)且僅當(dāng)A=＜1，0＞或A=＜0，1＞；

條件2 Es（a，b）＜Es（a，a）≤1，其中a∈［0，0.5］，b∈［0，1］，a≠b，當(dāng)且僅當(dāng)μA（xi）=γA（xi）=0.5時(shí)，E（A）=1；

條件3 Es（A）=Es（AC）；

條件4 Es（A）≤Es（B）對(duì)于xi∈X，μA（xi）≤μB（xi）且γA（xi）≥γB（xi），當(dāng)μB（xi）≤γB（xi）；μA（xi）≥μB（xi）且γA（xi）≤γB（xi），當(dāng)μB（xi）≥γB（xi）。

嚴(yán)格直覺(jué)模糊定義中，條件2的意義在于區(qū)分形如A=＜a，a＞的直覺(jué)模糊熵值，但限定當(dāng)μA（xi）=γA（xi）時(shí)熵值均大于其他μA（xi）≠γA（xi）的情形，這與實(shí)際邏輯相符，并且Es（μA（xi）=γA（xi））是關(guān)于xi的單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)μA（xi）=γA（xi）=0.5時(shí)Es（A）取最大值1，從而滿足直覺(jué)模糊數(shù)排序及決策判斷的需求。例如在該定義的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵中，存在直覺(jué)模糊數(shù)＜0.4，0.4＞，＜0.4，0.5＞和＜0.5，0.5＞，根據(jù)定義，新構(gòu)造直覺(jué)模糊熵計(jì)算結(jié)果應(yīng)滿足E（0.4，0.5）＜E（0.4，0.4）＜E（0.5，0.5）=1。

根據(jù)定義3下面給出一個(gè)嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵式。

定理1 給定一個(gè)論域U=｛x1，x2，…，xn｝，令A(yù)=則A的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵為

這里定義σ∈［0，0.5］用來(lái)調(diào)節(jié)E（a，a）的取值范圍，使得Es（μA（xi）=γA（xi））∈［1-σ，1］。因?yàn)橥ǔＵJ(rèn)為“相對(duì)模糊”和“相對(duì)精確”的熵值分界點(diǎn)為0.5，從而保證E（μA（xi）=γA（xi））具有較高的熵值。一般要求σ取值偏向定義域區(qū)間的左側(cè)。特別，當(dāng)σ=0時(shí)，該式退化為滿足定義2的直覺(jué)模糊熵式，從而使該式更具有普遍意義。

下面給出定理1滿足定義3（σ≠0）約束條件的證明。

證明 條件1，首先證明充分性，若Es（A）=0時(shí)，因?yàn)棣模▁i）＞σδ（xi）＞σδ（xi）（1-2 min（μ（xi），γ（xi）），可得δ（xi）=0，即|μ（xi）-γ（xi）|=1，也就是μ（xi）=1，γ（xi）= 0或μ（xi）=0，γ（xi）=1；再證明必要性，若μ（xi）=1，γ（xi）=0或μ（xi）=0，γ（xi）=1時(shí)，顯然有Es（A）=0。

條件2，因?yàn)?≤1-|μ（xi）-γ（xi）|＜1，當(dāng)a＜b時(shí)，Es（a，a）=1-σ（1-2a）＞δa，b-σ（1-2a），δa，b-σ（1-2a）＞δa，b-σδa，b（1-2 min（a，b）=Es（a，b），條件成立；

當(dāng)a＞b時(shí)，要證明Es（a，a）=Es（a，b），只需證明1-σ（1-2a）＞δa，b（1-σ（1-2b）），由于δa，b是關(guān)于b的單調(diào)增函數(shù)，只需證明b→a時(shí)，即1-σ（1-2a）＞1-σ（1-2b）成立，即1-2a＜1-2b，顯然成立；

另外，當(dāng)Es（A）=1μ（xi）=γ（xi）且1-2 min（μ（xi），γ（xi））=0μ（xi）=γ（xi）=0.5，所以條件2成立。

條件3，顯然成立。

條件4，對(duì)于xi∈X，當(dāng)μA（xi）≤μB（xi）且γA（xi）≥γB（xi），即min（μA（xi），γA（xi））≤min（μB（xi），γB（xi）），δ（xA）≤δ（xB），那么

（1-2 min（μA（xi），γA（xi））≥（1-2 min（μB（xi），γB（xi）），即

σ（1-2 min（μA（xi），γA（xi））≥σ（1-2 min（μB（xi），γB（xi）），那么

1-σ（1-2min（μA（xi），γA（xi））≤1-σ（1-2min（μB（xi），γB（xi）），即δA（xi）（1-σ（1-2min（μA（xi），γA（xi）））≤δB（xi）（1-σ（1-2 min（μB（xi），γB（xi））），從而得到Es（A）≤Es（B）。同理，當(dāng)μB（xi）≥γB（xi）時(shí)該條件也成立。證畢

例：A1=＜0.3，0.6＞，A2=＜0.4，0.4＞，A3=＜0.7， 0.1＞，取4位有效數(shù)字，根據(jù)式（1）得+0.980 0+0.230 0）=0.575 6。

2 嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵一般式

根據(jù)本文給出的定理（1）可以直觀的看出，為了達(dá)到區(qū)分形如A=＜a，a＞的直覺(jué)模糊熵值，所構(gòu)造的式包括兩部分，第一部分是基本直覺(jué)模糊熵函數(shù)，可借鑒現(xiàn)有構(gòu)造方法，第二部分通過(guò)σ修正E（A）熵值，使其映射在一定范圍內(nèi)，這樣嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法可用抽象為如下：

式中，f（xi）是普通直覺(jué)模糊熵函數(shù)，根據(jù)這樣的構(gòu)造原理，這里我們可以不加證明的給出幾個(gè)其他構(gòu)造方法，如更一般的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵函數(shù)，記作：

根據(jù)文獻(xiàn)［15］可以構(gòu)造嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵：

根據(jù)文獻(xiàn)［17］可以構(gòu)造一個(gè)基于三角函數(shù)的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵如：

這里取σ=0.1，可以得到式（1）的函數(shù)圖像如圖1所示，式（3）～式（5）的函數(shù)圖像分別如圖2～圖4所示。通過(guò)圖像可以看出，式（3）函數(shù)呈線性，式（1）和式（4）較為平滑，而式（5）熵值收斂速度較快。這些直覺(jué)模糊熵的構(gòu)造方法分布大體相同，同時(shí)均能滿足本文給出的定義3，可以適用于不同條件下的需求。

圖1 式（1）示意圖

圖2 式（3）示意圖

圖3 式（4）示意圖

圖4 式（5）示意圖

3 算例分析

通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)提供的算例中數(shù)據(jù)類型不夠全面，如文獻(xiàn)［19］中算例出現(xiàn)兩次＜0.5，0.5＞的直覺(jué)模糊數(shù)，卻沒(méi)有其他隸屬度與非隸屬度相同但直覺(jué)指數(shù)不同情況，而文獻(xiàn)［17］中不包括隸屬度或非隸屬為0的情況，這樣不利于檢驗(yàn)直覺(jué)模糊熵的邊界值，所以本文認(rèn)為算例中應(yīng)該包括更全面的數(shù)據(jù)類型。

首先，假設(shè)要對(duì)一個(gè)多屬性直覺(jué)模糊集方案X進(jìn)行識(shí)別決策，認(rèn)為平均直覺(jué)模糊熵值最小的方案識(shí)別度最高，即最優(yōu)。這里共有3種決策方案，每種決策方案各有4個(gè)屬性值，如表1所示。表中數(shù)據(jù)包括隸屬度與非隸屬度相同但直覺(jué)指數(shù)不同情況，也包括非隸屬度為0、直覺(jué)指數(shù)為0等情況。特別地，如＜0.3，0.3＞表示隸屬度和非隸屬度相等，但支持和反對(duì)方面均得不到充分的證據(jù)，這符合客觀實(shí)際中存在的某種現(xiàn)象。

表1 決策方案直覺(jué)模糊數(shù)

利用本文提出的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法進(jìn)行計(jì)算，得到各屬性熵值如表2所示。

表2 嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵計(jì)算結(jié)果

對(duì)所求結(jié)果取平均值得到Es（x1）=0.544 6，Es（x2）= 0.353 1，Es（x3）=0.705 8，最終得出方案x2優(yōu)于方案x1優(yōu)于方案x3的決策結(jié)果。

為了反映不同直覺(jué)模糊熵值計(jì)算方法存在的局限性，接著分別利用文獻(xiàn)［14-15］和文獻(xiàn)［17］中提出的直覺(jué)模糊熵計(jì)算方法對(duì)表1中的直覺(jué)模糊數(shù)進(jìn)行處理，其中Es為本文方法計(jì)算的熵值，最后得到對(duì)比結(jié)果如表3所示。

表3 與其他直覺(jué)模糊熵比較

從表3的結(jié)果可以看出，利用本文計(jì)算的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵方法與其他文獻(xiàn)的方法比較，均能得到相同的排序結(jié)果，從而證明了該方法的正確性。

最后，當(dāng)本算例中屬性退化為僅有A2時(shí)，分別計(jì)算直覺(jué)模糊熵值如表4所示。

表4 退化后直覺(jué)模糊熵決策比較

通過(guò)表4可以看出，文獻(xiàn)［14-15］和文獻(xiàn)［17］中的方法只能得到E（x2）＞E（x1）=E（x3）的結(jié)論，不能進(jìn)行嚴(yán)格排序，說(shuō)明在某些情況下，原有直覺(jué)模糊熵的計(jì)算方法具有一定的局限性，而相關(guān)文獻(xiàn)中無(wú)論是利用專家系統(tǒng)或多屬性權(quán)重計(jì)算，都回避了不能比較的數(shù)據(jù)。而本文提出的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵對(duì)直覺(jué)模糊數(shù)進(jìn)行了熵值嚴(yán)格處理，即使在僅有單一屬性的條件下依舊可以得到正確的決策結(jié)果，說(shuō)明嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵本質(zhì)上具有決策判斷的特征，使得直覺(jué)模糊熵理論具有更廣泛的應(yīng)用能力。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)分析現(xiàn)有直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法，發(fā)現(xiàn)在對(duì)隸屬度和非隸屬度相等但直覺(jué)指數(shù)不同的直覺(jué)模糊數(shù)進(jìn)行排序和決策判斷中存在不足，提出嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵的概念，完善了直覺(jué)模糊熵公理化定義，并給出一個(gè)基于新定義下的嚴(yán)格直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法并抽象為更一般的表達(dá)式。通過(guò)算例分析并和其他直覺(jué)模糊熵構(gòu)造方法進(jìn)行對(duì)比，證明該方法的正確性和合理性，同時(shí)克服了原有理論的局限，將其推廣到更一般的情況。類似地，區(qū)間值直覺(jué)模糊熵也可參照該方法進(jìn)行定義、構(gòu)造和應(yīng)用。

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［21］Chen X H，Dai Z J，Liu X.Approach to interval-valued intuitionistic fuzzy decision making based on entropy and correlation coefficient［J］.Systems Engineering and Electronic，2013，35（4）：791-795.（陳曉紅，戴子敬，劉翔.基于熵和關(guān)聯(lián)系數(shù)的區(qū)間直覺(jué)模糊決策方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013，35（4）：791 -795.）

Strict intuitionistic fuzzy entropy

F A N Xiao-shi，L EI Ying-jie，LI Cheng-hai，G U O Xin-peng
（Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Methods of intuitionistic fuzzy entropy are analyzed.Considering the classical mathematic concepts of strict greater-than and strictless-than，a concept strictintuitionistic fuzzy entropy（SIF E）and an axiomatic definition are proposed by solving defect that entropy of the degree of membership function equals the degree of none-mem bership function but different intuitionistic indexes cannot be distinguished.A technique for constructing the SIF E based on this definition is proposed and an expression is abstracted.The SIF E is m ore adaptive in decision and sorting.The validity is certified by the example and the limitis overco med by co m paring to other methods.

intuitionistic fuzzy set；intuitionistic index；strict intuitionistic fuzzy entropy（SIF E）；decision

T P 391

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.20

1001-506 X（2016）03-0602-05

2015-01-07；

2015-09-10；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-09-28。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：//w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20150928.1036.012.html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61272011）；陜西省自然科學(xué)青年基金（2013JQ8031）資助課題

范曉詩(shī)（1988-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)信息安全。

E-mail：fan_xs@126.com

雷英杰（1956-），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)信息安全、智能信息處理。

E-mail：leiyj ie@163.com

李成海（1966-），男，教授，碩士，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)信息安全、智能信息處理。

E-mail：lichengh@126.com

郭新鵬（1985-），男，講師，碩士，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚怼?/p>

E-mail：305221885@qq.com