一種混合卷積窗及其在諧波分析中的應(yīng)用

孫仲民　何正友　臧天磊（西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 成都 610031）

一種混合卷積窗及其在諧波分析中的應(yīng)用

孫仲民何正友臧天磊
（西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 成都 610031）

電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)信號(hào)非同步采樣時(shí)，利用離散傅里葉變換分析諧波會(huì)使各頻率成分產(chǎn)生頻譜泄漏，增大了諧波參數(shù)的測(cè)量誤差。為進(jìn)一步抑制頻譜泄漏，提高諧波測(cè)量的準(zhǔn)確度，提出一種由矩形窗和余弦窗經(jīng)過卷積運(yùn)算得到的混合卷積窗。定義L階混合卷積窗并分析了這種新型窗的主瓣寬度和衰減速率。與經(jīng)典窗函數(shù)比較，新型窗具有更高的旁瓣衰減速率，大大減小了頻譜泄漏的影響。將所提新型窗應(yīng)用于諧波分析，推導(dǎo)了基于L階混合卷積窗的諧波插值算法。仿真結(jié)果表明，混合卷積窗具有優(yōu)良的頻譜泄漏抑制性能，能有效地降低各諧波成分間的相互干擾。即使在噪聲條件下，本方法的優(yōu)勢(shì)也比較明顯，適用于電力系統(tǒng)諧波的高準(zhǔn)確度測(cè)量。

混合卷積窗 離散傅里葉變換 諧波分析 頻譜泄漏

0　引言

提高電力系統(tǒng)諧波分析準(zhǔn)確度不僅有助于電能質(zhì)量分析，而且可為諧波的分析和抑制、電能計(jì)量、通信和諧波潮流計(jì)算等研究提供重要的科學(xué)依據(jù)［1-3］。離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）及快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）是目前電力系統(tǒng)諧波分析最常用的工具，也是國(guó)際電工標(biāo)準(zhǔn)委員會(huì)推薦用于諧波分析的基本方法［4］。

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20130184110002）。

為降低柵欄效應(yīng)帶來的影響，文獻(xiàn)［6］提出頻域插值的方法，通過插值計(jì)算頻譜可以確定實(shí)際譜線的位置。抑制頻譜泄漏的方法是時(shí)域加窗，利用旁瓣衰減快、主瓣相對(duì)較窄的窗函數(shù)，衰減干擾頻率成分的旁瓣，減小其對(duì)關(guān)注頻率成分的干擾。將窗函數(shù)截?cái)嗪筒逯捣ńY(jié)合可以大大提高諧波測(cè)量準(zhǔn)確度，常用的窗有 Hanning窗［7］、Blackman窗［8］、Blackman-Harris窗［9］和Nuttal窗［10］等。通常提升測(cè)量準(zhǔn)確度的手段是提高旁瓣衰減率，但這種窗通常有較寬的主瓣。文獻(xiàn)［11］提出了一種雙峰插值算法，改善了單峰插值法的不足，提高了算法的適應(yīng)性。此后，學(xué)者們?yōu)樘岣咚惴?zhǔn)確度和適應(yīng)性，又提出多譜線插值算法［12-14］，但要求窗函數(shù)離散頻譜的旁瓣經(jīng)處理后滿足相鄰方向相反的要求，而且需要計(jì)算的譜線數(shù)也相應(yīng)增加。

為得到性能更優(yōu)良的窗函數(shù)，學(xué)者們又提出一類新型的自卷積窗函數(shù)。文獻(xiàn)［15］提出用若干矩形窗的卷積運(yùn)算構(gòu)造出一類新的窗函數(shù)，并定義為自卷積窗，其在諧波分析的應(yīng)用中具有準(zhǔn)確度高、同步偏差小和實(shí)時(shí)性好等優(yōu)點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，又提出了Nuttall自卷積窗［16］、Hanning自卷積窗［17］等一系列自卷積窗函數(shù)，并將其應(yīng)用于諧波分析領(lǐng)域，發(fā)展了諧波分析方法。

綜合上述分析，為進(jìn)一步抑制諧波信號(hào)的旁瓣泄漏，提高諧波的分析準(zhǔn)確度，本文在矩形自卷積窗和Hanning自卷積窗的基礎(chǔ)上提出了一種新型的混合卷積窗，并給出了L階混合卷積窗的定義。利用矩形窗和余弦窗的時(shí)域卷積并補(bǔ)零，得到旁瓣衰減快的窗函數(shù)。分析了混合卷積窗的性能，并將其應(yīng)用于電力系統(tǒng)諧波分析，推導(dǎo)基于混合卷積窗的插值算法，最后通過仿真說明了方法的有效性。

1　混合卷積窗

1.1混合卷積窗定義

矩形窗的離散表達(dá)式為

式中，M為采樣長(zhǎng)度；n=0，1，…，M-1。

余弦窗的時(shí)域表達(dá)式為式中，am為窗函數(shù)系數(shù)；P為窗函數(shù)的項(xiàng)數(shù)。常用的余弦窗有 Hamming窗、Hanning窗和 Blackman窗等。

定義一：一階混合卷積窗（1-order Hybrid Convolution Window，1-HCW）由單個(gè)矩形窗卷積單個(gè)余弦窗得到，即

式中，n1=0，1，…，M1-1，M1為卷積后一階混合卷積窗窗長(zhǎng)。

定義二：L個(gè)一階混合卷積窗進(jìn)行L-1次卷積運(yùn)算得到L階混合卷積窗（L-HCW），即

式中，nL=0，1，…，ML-1，ML為卷積后L階混合卷積窗窗長(zhǎng)。式（4）右側(cè)由L個(gè)w1-RH（ n1）卷積而成。

兩個(gè)長(zhǎng)度均為 M的離散窗函數(shù)卷積后長(zhǎng)度為M1=2M-1。為保證窗長(zhǎng)，在每一次卷積后對(duì)得到的卷積窗進(jìn)行補(bǔ)零操作，使其長(zhǎng)度滿足 2M。因此 L階混合卷積窗的窗長(zhǎng)補(bǔ)零后為N=2LM。

1.2混合卷積窗性能

根據(jù)時(shí)域卷積定理，L階混合卷積窗的幅頻響應(yīng)為

式中，WR（ejω）為矩形窗對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）結(jié)果；WH（ejω）為余弦窗的DTFT結(jié)果，分別表示為

式中，C為余弦窗函數(shù)的項(xiàng)數(shù)。

當(dāng)余弦窗分別為 Hamming窗、Hanning窗和Blackman窗時(shí)，一階和二階混合卷積窗的幅頻響應(yīng)如圖1～圖3所示。

由窗函數(shù)的主瓣寬度定義可計(jì)算得到幾種常見的余弦混合卷積窗主瓣和旁瓣特性，并與經(jīng)典窗函數(shù)性能進(jìn)行比較，見表1。

圖1　余弦窗為Hamming窗的混合卷積窗幅頻響應(yīng)Fig.1 Frequency response of the HCW with Hamming window

圖2　余弦窗為Hanning窗的混合卷積窗幅頻響應(yīng)Fig.2 Frequency response of the HCW with Hanning window

圖3　余弦窗為Blackman窗的混合卷積窗幅頻響應(yīng)Fig.3 Frequency response of the HCW with Blackman window

以余弦窗為Hanning窗的L-HCW為例，主瓣寬度為8Lπ/N，旁瓣衰減率為24L，均與HCW階數(shù)L相關(guān)。主瓣寬度和旁瓣衰減率均隨階數(shù)L的增加而線性增大。

由圖1～圖3和表1可知，混合卷積窗的主瓣主要由矩形窗決定，旁瓣峰值和旁瓣衰減率受矩形窗和余弦窗共同影響。因此，與傳統(tǒng)余弦窗相比，HCW 在主瓣寬度有限增長(zhǎng)時(shí)具有更快的旁瓣衰減速率，因而具有優(yōu)良的頻譜泄漏抑制性能。

表1　幾種常見窗函數(shù)性能對(duì)比Tab.1 Comparison of several window characteristics

2　基于混合卷積窗的諧波插值算法

利用混合卷積窗優(yōu)良的旁瓣抑制性能，將其用于電力系統(tǒng)諧波信號(hào)分析研究。忽略負(fù)頻率成分的影響，設(shè)單頻復(fù)信號(hào)為

式中，Ap、fp、φp分別為信號(hào)的幅值、頻率和初相角；t為時(shí)間。其離散信號(hào)為

式中，n=0，1，2，…，N-1，N為總采樣點(diǎn)數(shù)；Δt為采樣間隔，Δt=1/fs，fs為采樣頻率；ωp為數(shù)字角頻率。

用本文所提的混合卷積窗截?cái)嘈盘?hào)，得

根據(jù)頻域卷積定理，截?cái)嘈盘?hào)的DTFT結(jié)果為

對(duì)式（11）進(jìn)行離散化，ω=2πk/N，ωp=2πkp/N，則信號(hào)（n）的離散傅里葉變換結(jié)果為

式中，kp為關(guān)注頻率實(shí)際譜線位置，采用文獻(xiàn)［11］中的雙峰插值算法，取關(guān)注諧波頻率附近最高和次高兩條譜線前后分別為 k1和 k2，即 k2=k1+1，且k1≤kp≤k2。

式（13）可以看作以αp為自變量、β 為因變量的函數(shù)，即β=g（αp）。對(duì)此函數(shù)求反得αp=g-1（β），此時(shí)可通過多項(xiàng)式逼近計(jì)算出頻偏αp，綜合考慮算法的準(zhǔn)確度和計(jì)算量，本文采用的逼近次數(shù)為 7。因此，實(shí)際譜線位置為

校正的頻率為

由式（12）以及y1和y2的值，可得到信號(hào)幅值的計(jì)算式為

由式（12）可得相位的計(jì)算式為

3　仿真

3.1經(jīng)典信號(hào)的算法性能比較

采用文獻(xiàn)［6，7］中的經(jīng)典信號(hào)模型對(duì)所提算法進(jìn)行說明。給定無噪聲信號(hào)為式中，A0為直流分量；A1、A3、f1、f3和φ1、φ3分別為1次和3次諧波的幅值、頻率和初相位，取值為

混合卷積窗中的單個(gè)窗長(zhǎng)均為M=128，余弦窗分別采用Hamming窗（HCW1）、Hanning窗（HCW2）以及 Blackman窗（HCW3），仿真結(jié)果誤差對(duì)比見表2。

表2　不同加窗插值FFT算法仿真結(jié)果誤差對(duì)比Tab.2 Comparison of simulation result errors between different windowInterpolation FFT algorithm

由表2可知，一方面一階HCW（1-HCW）的總體性能優(yōu)于傳統(tǒng)窗函數(shù)，其取得近似或更高的測(cè)量準(zhǔn)確度所用的數(shù)據(jù)點(diǎn)更少；而二階 HCW （2-HCW）在提高采樣窗長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，加速了旁瓣衰減，能較好地抑制旁瓣泄漏，大大提高了諧波分析能力。另一方面混合卷積窗使諧波參數(shù)測(cè)量準(zhǔn)確度有了數(shù)量級(jí)的提升，而數(shù)據(jù)點(diǎn)仍相對(duì)較少。

3.2電力諧波信號(hào)的仿真

采用文獻(xiàn)［11］中的多諧波電力信號(hào)進(jìn)行仿真，如式（19）所示。

式中，f1為基波頻率，f1=50.1Hz；fs為采樣頻率，fs= 1 500Hz；Ai、φi分別為第i次諧波的幅值和初相位。仿真參數(shù)見表3。

分別采用文獻(xiàn)［11］中的雙峰插值法和文獻(xiàn)［12］中的三譜線插值法與本文提出方法對(duì)上述信號(hào)進(jìn)行諧波分析。其中雙譜線法窗函數(shù)分別為 Hamming窗（Hamm-2）、Hanning窗（Hann-2）和Blackman窗（Black-2）；三譜線法則分別用Hamm-3、Hann-3 和 Black-3表示?？紤]混合窗頻譜泄漏抑制性能和階數(shù)的關(guān)系，參考表2的分析數(shù)據(jù)，令混合卷積窗中的階數(shù) L=2，即采用二階混合卷積窗，單個(gè)窗長(zhǎng)M=128，補(bǔ)零后使窗長(zhǎng)為 512?；旌暇矸e窗中的余弦窗分別采用 Hamming窗（HCW1）、Hanning窗（HCW2）和Blackman窗（HCW3）。

仿真結(jié)果見表4～表6，其中Ef、EA及Eφ分別為各諧波成分的頻率、幅值和相位的相對(duì)誤差。

表3　仿真電力諧波信號(hào)的參數(shù)Tab.3 Parameters of the simulated power harmonic signal

表4　信號(hào)頻率結(jié)果誤差對(duì)比Tab.4 Comparison of signal frequency results errors

表5　信號(hào)幅值結(jié)果誤差對(duì)比Tab.5 Comparison of signal amplitude results errors

表6　信號(hào)相位結(jié)果誤差對(duì)比Tab.6 Comparison of signal phase results errors

由誤差結(jié)果可知，三譜線法要優(yōu)于雙峰插值算法，而混合卷積窗的測(cè)量準(zhǔn)確度相對(duì)于前兩者均有數(shù)量級(jí)的提高，其中相位的準(zhǔn)確度提升尤為明顯?；旌洗爸杏嘞掖暗牟煌垢髯詼?zhǔn)確度有所差別，這主要是由混合窗的旁瓣峰值和旁瓣衰減率決定的。由表 4～表 6可以看出，混合卷積窗均有效地抑制了各頻率成分的旁瓣泄漏，大大減小了諧波間的頻譜干擾，提高了諧波測(cè)量準(zhǔn)確度。此外，由于偶次諧波含量較低，受相鄰諧波干擾較大，因此幾種方法在測(cè)量偶次諧波時(shí)，準(zhǔn)確度均相對(duì)下降。

3.3基頻變化對(duì)算法性能影響

基頻不同導(dǎo)致各次諧波的泄漏也存在差異，為檢驗(yàn)基頻變化時(shí)算法的適應(yīng)性，針對(duì)式（19）的信號(hào)，計(jì)算基頻f1在49.5～50.5Hz區(qū)間變化時(shí)，諧波各參數(shù)的相對(duì)誤差。其中余弦窗取Hanning窗，L=2。仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，測(cè)量準(zhǔn)確度僅在2次諧波參數(shù)測(cè)量上有小范圍的變化，這是因?yàn)橄啾然ǎ?次諧波含量小，且容易受到基波干擾。不同的基頻對(duì)其他次諧波的測(cè)量影響很小，體現(xiàn)了算法良好的適應(yīng)性。

3.4含噪聲的信號(hào)分析

圖4　頻率不同時(shí)各參數(shù)相對(duì)誤差分布Fig.4 Relative error distribution of parameters under different frequencies

為證明算法在噪聲環(huán)境下的有效性，在式（19）信號(hào)的基礎(chǔ)上分別加入信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）在30～190dB區(qū)間變化的高斯白噪聲。對(duì)每個(gè)噪聲等級(jí)，用10組不同的隨機(jī)高斯白噪聲，求取信號(hào)參數(shù)的平均誤差。當(dāng)余弦窗取Hanning窗，L=2時(shí)，該信號(hào)3次諧波在不同噪聲條件下各參數(shù)的平均誤差變化如圖5所示。

圖5　噪聲情況下3次諧波參數(shù)估計(jì)誤差比較Fig.5 Comparison of relative errorsIn estimating 3rd harmonic parameters with noise

由圖5可知，當(dāng)信噪比很低時(shí)，噪聲成為誤差的主要來源，幾種方法性能近似，各算法準(zhǔn)確度下降明顯；當(dāng)信噪比逐漸升高時(shí)，各頻率成分間的干擾成為誤差的主體，采用混合卷積窗的諧波算法此時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)，能夠較強(qiáng)地抑制旁瓣泄漏，具有較高的測(cè)量準(zhǔn)確度，體現(xiàn)了一定的抗噪性。

4　結(jié)論

在自卷積窗的基礎(chǔ)上，提出一種新型混合卷積窗函數(shù)。該混合卷積窗的主瓣由矩形窗決定，旁瓣衰減由矩形窗和余弦窗共同作用，頻域得到了較快的旁瓣衰減，抑制了頻譜泄漏，而且隨著混合卷積階數(shù)L的增加，主瓣變寬，旁瓣衰減率迅速增大。

將所提新型窗應(yīng)用于電力系統(tǒng)諧波分析，推導(dǎo)了基于混合卷積窗的諧波插值算法。利用窗抑制頻譜干擾，利用插值消除了柵欄效應(yīng)，大大提高了諧波分析準(zhǔn)確度。所提算法不僅不受基頻變化的影響，而且在噪聲條件下，也有一定的優(yōu)勢(shì)。

混合卷積窗的主瓣隨著階數(shù)的升高而變寬，可能導(dǎo)致頻譜間隔較短的成分（如間諧波）測(cè)量準(zhǔn)確度下降，因此如何充分利用混合卷積窗的特殊性質(zhì)，保證卷積階數(shù)小，即主瓣寬度最窄的情況下，降低旁瓣泄漏，提高測(cè)量分辨率，值得進(jìn)一步探究。

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A Kind of Hybrid Convolution Window andIts ApplicationIn Harmonic Analysis

Sun Zhongmin He Zhengyou Zang Tianlei
（School of Electrical Engineering Southwest Jiaotong University Chengdu 610031 China）

When steady waves of electric power system are sampled asynchronously，using discrete Fourier transform to analyze harmonics will generate spectrum leakage and fence effect，which causes measurement errors of harmonic parameters.To further suppress spectral leakage andImprove the measurement accuracy of harmonics，a new kind of hybrid convolution windows produced by convolving rectangular windows and cosine windows was proposed.The main lobe width and side lobe attenuation of defined L-order hybrid convolution window were analyzed.Compared with the performance of classical windows，the new windows have faster side lobe attenuation，which can greatly reduce the effects of spectral leakage.The proposed new windows were applied to harmonic analysis，and then the harmonicInterpolation algorithm based on L-order hybrid convolution windows was derived.The results show that the new windows have the excellent property of restraining spectral leakage，and the mutualInterference between various harmonic components can be reduced effectively.The advantages of this method are also obvious even under noisy conditions.The new algorithm can be used for high-precision measurement of power system harmonics.

Hybrid convolution windows，discrete Fourier transform，harmonic analysis，spectral leakage

TM711

2014-06-10 改稿日期 2014-07-31由于實(shí)測(cè)信號(hào)難以做到同步采樣，采用DFT分析諧波時(shí)會(huì)產(chǎn)生柵欄效應(yīng)和頻譜泄漏，這將大大降低諧波參數(shù)辨識(shí)準(zhǔn)確度［5］。

孫仲民 男，1989年生，博士研究生，研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量分析及控制。

E-mail： szm665@126.com（通信作者）

何正友 男，1970年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾盘?hào)處理和信息理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。

E-mail： hezy@swjtu.cn