弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中駐波波長(zhǎng)的測(cè)量方法

張宇亭，趙　斌，王茂香

(南京理工大學(xué)　物理實(shí)驗(yàn)中心，南京　210094)

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弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中駐波波長(zhǎng)的測(cè)量方法

張宇亭，趙斌，王茂香

(南京理工大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，南京210094)

弦駐波實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)之一。相比于早期的音叉，該實(shí)驗(yàn)采用了鋼質(zhì)弦線，不僅能觀察到弦線上的駐波，而且還能聽(tīng)到弦線振動(dòng)的聲音，便于研究振動(dòng)與聲音的關(guān)系，有助于理解弦樂(lè)器的工作原理。文中基于新型弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀器，對(duì)弦線上的駐波進(jìn)行了研究，給出了駐波波長(zhǎng)的兩種測(cè)量方法，即駐波公式計(jì)算求波長(zhǎng)和直接觀察駐波求波長(zhǎng)的方法，通過(guò)大量數(shù)據(jù)處理與分析，對(duì)兩種方法進(jìn)行了對(duì)比，為實(shí)驗(yàn)儀器的測(cè)評(píng)和改進(jìn)提供一定的參考。

弦振動(dòng)；駐波；弦線張力

弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)一直是高等學(xué)校普通物理實(shí)驗(yàn)中的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之一，是幫助學(xué)生理解波的形成、傳播和干涉的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)[1-3]。以前采用半柔性或柔性的弦線來(lái)觀察弦線上的駐波，但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中基本聽(tīng)不到弦線振動(dòng)的聲音。現(xiàn)在都改用鋼質(zhì)弦線，雖然弦線的振動(dòng)不太明顯，但通過(guò)示波器很容易得到弦線上每點(diǎn)的振幅，最重要的是弦線振動(dòng)時(shí)可以聽(tīng)到清楚的聲音。

1　實(shí)驗(yàn)儀器

在如圖1所示的DH4618型弦振動(dòng)研究實(shí)驗(yàn)儀中，驅(qū)動(dòng)線圈與函數(shù)信號(hào)發(fā)生器相連接，接收線圈與示波器連接。弦線的張力大小和砝碼質(zhì)量有關(guān)，也與砝碼所懸掛的位置有關(guān)。如當(dāng)砝碼懸掛在中央第三個(gè)溝槽時(shí)，張力大小為3倍砝碼的重力。通有交流電的金屬弦線在磁場(chǎng)中受到安培力的作用并發(fā)生振動(dòng)，當(dāng)滿足一定的條件時(shí)可形成駐波。結(jié)合示波器可以進(jìn)行駐波波形的觀測(cè)與研究，而且通過(guò)相關(guān)測(cè)量可得到弦線的線密度以及橫波傳播的波長(zhǎng)和波速，進(jìn)而了解駐波傳播的規(guī)律。

圖1　實(shí)驗(yàn)儀器的連接

2　實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)中，我們把振源定為驅(qū)動(dòng)器對(duì)應(yīng)的弦線處，振動(dòng)沿著弦線向兩邊傳播，當(dāng)?shù)竭_(dá)劈尖后通過(guò)反射又沿弦線相向傳播，穩(wěn)定后即可形成駐波，示意圖如圖2所示。

圖2　相反方向兩列波傳播形成駐波的示意圖

式中，A為簡(jiǎn)諧波的振幅，x為質(zhì)點(diǎn)在弦線上的坐標(biāo)位置，λ為波長(zhǎng)，f為頻率。駐波是由兩列波疊加后產(chǎn)生的，方程是：

可得波節(jié)位置：

(2)

而相鄰兩波節(jié)之間的距離為：

(3)

兩個(gè)相鄰波腹的間距為：

(4)

由式(3)和式(4)可知，測(cè)出相鄰的兩個(gè)波腹或者波節(jié)間的距離即可得到波長(zhǎng)。

在本實(shí)驗(yàn)中，我們用劈尖的位置來(lái)確定弦的長(zhǎng)度，在兩個(gè)劈尖處為波節(jié)。所以只有當(dāng)弦長(zhǎng)L為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，才能形成駐波。其應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由此得橫波波長(zhǎng)為：

(5)

式中：n為弦線上波腹數(shù)，即半波數(shù)；L為弦長(zhǎng)。

由波動(dòng)理論可知，弦線上橫波的傳播速度為：

(6)

那么，式(6)可變型為：

T=ρv2

(7)

式中：ρ為弦線單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，也叫線密度；T為弦線中張力。

根據(jù)波長(zhǎng)、波速和頻率之間具有普遍關(guān)系式v=fλ，將式(5)代入可算出橫波波速為：

(8)

由式(6)和式(8)可得：

(9)

再由式(9)可得頻率：

(10)

通過(guò)式(10)分析可以知道，要形成駐波，需頻率f滿足一定條件。所以，對(duì)于固定的T、ρ、L，我們要通過(guò)調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器的頻率使弦線發(fā)生共振。

3　實(shí)驗(yàn)測(cè)量與數(shù)據(jù)處理

調(diào)節(jié)好實(shí)驗(yàn)裝置，放上一根弦線，固定兩個(gè)劈尖的位置即固定弦長(zhǎng)，通過(guò)改變砝碼的質(zhì)量來(lái)改變弦線所受到的張力。分別觀察弦線上的駐波波形，并在信號(hào)發(fā)生器上讀出形成穩(wěn)定駐波時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率f。根據(jù)式(10)即可求出橫波的波長(zhǎng)。本文將給出波長(zhǎng)測(cè)量的兩種方法，并給出相應(yīng)的評(píng)價(jià)，為后續(xù)研究提供參考。

1)公式計(jì)算求波長(zhǎng)。

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)除了幫助學(xué)生理解駐波的形成規(guī)律外，還著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和處理能力。在課堂上，主要是觀測(cè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；課后要求學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，根據(jù)式(10)求出波長(zhǎng)(弦線的線密度ρ=1.03 kg/m，南京的重力加速度g=9.794 m/s2)。為減小實(shí)驗(yàn)誤差，常規(guī)做法就是多次測(cè)量求平均來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

表1的測(cè)量數(shù)據(jù)量大，耗時(shí)長(zhǎng)，在時(shí)間有限的課堂教學(xué)中難以完成。另一方面，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，一般要求讀3次頻率再取平均值，課后用作圖法或相關(guān)軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

表2　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理結(jié)果

當(dāng)固定弦線的長(zhǎng)度L=0.6 m，波腹數(shù)為3，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理見(jiàn)表2。

圖3　依據(jù)表2中的數(shù)據(jù)作圖

2)直接觀測(cè)求波長(zhǎng)。

為了分析弦線兩端的形變情況，我們比較了信號(hào)發(fā)射器的位置對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。將驅(qū)動(dòng)線圈分別移到靠近和遠(yuǎn)離砝碼端進(jìn)行對(duì)比。當(dāng)弦線上形成駐波時(shí)，移動(dòng)接收端，在示波器上會(huì)看到電壓幅度由小到大周期性地改變，幅度最小時(shí)弦線的位置就對(duì)應(yīng)著駐波的波節(jié)，分別記錄弦線上的波節(jié)位置，就可得到半波長(zhǎng)。

當(dāng)弦長(zhǎng)L=0.6 m，波腹數(shù)為6 ，且發(fā)射端靠近砝碼端時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。

表3　L=0.6 m，n=6且發(fā)射端靠近砝碼端時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

當(dāng)弦長(zhǎng)L=0.6 m，波腹數(shù)為6 ，且發(fā)射端遠(yuǎn)離砝碼端時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表4。

表4　L=0.6 m，n=6且發(fā)射端遠(yuǎn)離砝碼端時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

由表3和表4可以看出，兩端的半波長(zhǎng)的確偏大，與信號(hào)發(fā)射器的位置無(wú)關(guān)，說(shuō)明弦線形變確實(shí)影響橫波波長(zhǎng)的測(cè)量。而且兩端的半波長(zhǎng)比較接近，說(shuō)明弦線上的張力分布基本均勻，在兩端引起的形變也相近。

如果舍棄兩端形變所影響的半波長(zhǎng)，則：

4　結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)反復(fù)多次實(shí)驗(yàn)，對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，直接觀測(cè)所得的波長(zhǎng)比間接通過(guò)公式計(jì)算所得的數(shù)據(jù)更精確，而且免除了大量復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理過(guò)程，同時(shí)還能更加直觀地反映弦線形變對(duì)橫波波長(zhǎng)測(cè)量的影響。

[1]李相銀，徐永祥，王海林，等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]苗錕，黃育紅，李康，等. 弦振動(dòng)形成駐波的規(guī)律和數(shù)據(jù)的Matlab處理[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010，23(4)：75-79.

[3]賈金萍，張鵬. 弦線上的波動(dòng)問(wèn)題研究[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，2007，36(2)：153-159.

[4]王茂香，李相銀. 利用Origin軟件處理霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[J]. 實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2011，9(5)：43.

[5]黃莘，王茂香.弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理與分析[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，26(6)：89-91.

Measuring Methods of Standing Wavelength in the Experiment of String Vibration

ZHANG Yuting，ZHAO Bin，WANG Maoxiang

(Center of Physical Experiment，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China)

Standing wave experiment is one of experiments of college physics. Comparing to the tuning fork in the earlier time，metallic string is applied in the new experimental instruments.The standing waves can not only be observed on the string，but also the voice of string vibration can be heard. It will be convenient to study the relationship between vibration and voice，and this will help to understand the mechanics of string instruments. In this paper，we studied the standing waves on the metallic string and gave two methods on the measurement of standing wavelength using the new experimental instrument. One was based on the formula of standing wave and the other was directly observing standing waves to get the wavelength. Through a lot of data processing and analysis，we compared these two methods and gave definite reference for determining and improving the experimental instrument.

string vibration; standing waves; string tension

2014-09-09；修改日期: 2014-12-19

張宇亭(1990-)，本科生，應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)。

王茂香(1981-)，女，博士，副教授，主要從事生物物理方面的理論與模擬研究。

O4-34;O321

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2016.01.013