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    對(duì)容器重心位置變化的一點(diǎn)討論

    2016-09-18 01:43:50
    物理通報(bào) 2016年8期
    關(guān)鍵詞:液面燒杯水面

    晏 鵬

    (沭陽(yáng)縣沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 江蘇 宿遷 223600)

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    對(duì)容器重心位置變化的一點(diǎn)討論

    晏 鵬

    (沭陽(yáng)縣沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)江蘇 宿遷223600)

    高一物理在有關(guān)重心的內(nèi)容方面,很多資料上有類似于這樣一道習(xí)題:將水慢慢注入一薄壁圓柱形燒杯直至水滿.在此過(guò)程中,系統(tǒng)(包括燒杯和水)的重心位置

    A.慢慢下降 B.慢慢上升

    C.先下降后上升 D.先上升后下降

    對(duì)于這個(gè)習(xí)題的解析,資料上給出了這樣的答案:如圖1所示,在未注水時(shí),燒杯和水的共同重心在容器的中心O點(diǎn)附近.隨著水的流入,系統(tǒng)的質(zhì)量分布發(fā)生了變化,系統(tǒng)的共同重心在O點(diǎn)下方某位置O′點(diǎn)處.當(dāng)容器注滿水后,系統(tǒng)的重心又回到了O點(diǎn)附近.因此,系統(tǒng)的重心是先下降后上升.此題正確答案為C.

    圖1

    這個(gè)答案給出了系統(tǒng)重心變化的3個(gè)狀態(tài)并由此得出正確的結(jié)果.但是對(duì)于系統(tǒng)重心的具體變化過(guò)程,答案沒(méi)有給出明確的分析.有學(xué)生對(duì)于這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生了如下疑問(wèn):

    (1)系統(tǒng)初始狀態(tài)和末狀態(tài)的重心在中心點(diǎn)O附近,但在注水過(guò)程中重心位置會(huì)不會(huì)有更為復(fù)雜的變化,如:下降—上升—下降—上升?

    (2)在水未滿的過(guò)程中(如圖2),重心如何變化?重心變化和水位變化是什么關(guān)系?

    圖2

    要得到系統(tǒng)重心具體變化過(guò)程,需要通過(guò)計(jì)算來(lái)分析重心的位置變化.對(duì)于由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng),其重心C點(diǎn)的位置坐標(biāo)(xC,yC,zC)由如下公式求得

    此題所涉及的系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單,系統(tǒng)重心與燒杯重心、水的重心都在一條豎直線上,如圖3所示.可以設(shè)坐標(biāo)都在x軸上.另外設(shè)系統(tǒng)重心為C點(diǎn);燒杯質(zhì)量為m,重心A點(diǎn)坐標(biāo)為x1;水的質(zhì)量為m′,重心B點(diǎn)坐標(biāo)為-x2.由公式

    可得

    mx1=m′x2

    (1)

    圖3 圖4

    如圖4,在注水過(guò)程中,當(dāng)重心C恰位于水面時(shí),水面高度為2x2.設(shè)水的密度為ρ,則水的質(zhì)量

    m′=ρS·2x2

    (2)

    代入式(1)可得

    mx1=ρS·2x2·x2

    (3)

    (4)

    將所得的結(jié)果與式(3)比較,很顯然若x1不變,式(4)是不成立的,所以假設(shè)不成立.要使式(4)成立,x1應(yīng)減小,C點(diǎn)應(yīng)上升.所以得到結(jié)論:當(dāng)系統(tǒng)重心處在液面處時(shí),繼續(xù)注水,系統(tǒng)重心升高.

    下面分析另一種情況:當(dāng)系統(tǒng)重心位于液面處時(shí),降低水位,判斷重心如何變化.

    (5)

    所得結(jié)果與式(4)相同.所以得到相同的結(jié)論:當(dāng)系統(tǒng)重心處在液面處時(shí),降低水位,系統(tǒng)重心仍升高.

    綜上所述,可以得到結(jié)論:向空燒杯里注水時(shí),系統(tǒng)重心降低,當(dāng)系統(tǒng)重心降至液面處時(shí),系統(tǒng)重心最低;繼續(xù)注水,系統(tǒng)重心升高,當(dāng)燒杯注滿水時(shí),系統(tǒng)重心升至原空燒杯重心處.所以,對(duì)于本文前面給出的例題,正確答案為C.

    對(duì)上述結(jié)論的拓展應(yīng)用:

    【例題】(第七屆全國(guó)奧賽決賽題)一薄壁圓柱形燒杯,半徑為r,質(zhì)量為m,重心位于中心線上,離杯底的距離為H,今將水慢慢注入杯中,問(wèn)燒杯連同杯內(nèi)的水共同重心最低時(shí)水面離杯底的距離等于多少?(設(shè)水密度為ρ)

    解析:如圖5,由題意知當(dāng)重心下降到水面時(shí),共同重心最低.

    圖5

    重心最低時(shí)y=yC,解方程求得

    根據(jù)題意舍去負(fù)值得

    要正確解決此題,必須應(yīng)用之前推導(dǎo)的結(jié)論,即:系統(tǒng)重心處于水面高度時(shí)為其最低位置.

    2016-03-03)

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