天體運(yùn)動(dòng)的幾種模型

李良偉

(江西省石城中學(xué)　江西 贛州　342700)

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天體運(yùn)動(dòng)的幾種模型

李良偉

(江西省石城中學(xué)江西 贛州342700)

天體運(yùn)動(dòng)有4種模型，本文以2015年部分高考試題為例，總結(jié)出各種天體運(yùn)動(dòng)模型的運(yùn)動(dòng)和受力特點(diǎn)，以期舉一反三.

天體運(yùn)動(dòng)模型運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)受力特點(diǎn)

天體運(yùn)動(dòng)是高考中必考的內(nèi)容之一，一般以選擇題形式出現(xiàn).天體運(yùn)動(dòng)形式多樣,公式變化繁雜,題目設(shè)計(jì)問法多樣,數(shù)據(jù)計(jì)算復(fù)雜，因而學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)困難.從物體受力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系出發(fā)，緊扣萬有引力與向心力的關(guān)系，便可迅速找到解題方法.天體運(yùn)動(dòng)一般有以下幾種模型.

1　勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型

1.1圍繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

行星或衛(wèi)星圍繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道平面一定過中心天體中心，萬有引力等于向心力(F引=man)，此時(shí)重力與萬有引力相等(mg′=F引)，也就有mg′=man.

A．1∶10 B．1 C．5D．10

解析：由題意知，“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

化簡得

可得恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比約為1，所以B正確.

1.2雙星模型

在遠(yuǎn)離其他天體的空間中，兩顆離得較近的天體圍繞它們連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩顆星體的角速度一定相等，萬有引力等于向心力(F引=man).特別注意兩天體之間的距離等于兩天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之和.

瓷器的裝飾紋飾有兩大類：一類繼承陶器裝飾傳統(tǒng)，以圖案飾之；一類則是創(chuàng)新，彩繪中國畫。無論是繼承，還是創(chuàng)新，以表達(dá)人類的思想情感為主旨的理念沒變。

【例2】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成.兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A，B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖1所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T.恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7×105m/s，運(yùn)行周期T=4.7π×104s，質(zhì)量m1=6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G=6.67×10-11N·m2/kg2，ms=2.0×1030kg)

圖1

解析：由題意知，A，B兩星構(gòu)成“雙星”模型，設(shè)A，B的圓軌道半徑和質(zhì)量分別為r1，r2和m1，m2，A，B兩星間距為r=r1+r2，對可見星A有

又因?yàn)?/p>

m1ω2r1=m2ω2r2

得

r1∶r2=m2∶m1

以上關(guān)系式可得

設(shè)m2=nms，(n>0)，將其和m1=6ms及相關(guān)數(shù)據(jù)代入上式，得

(1)

(2)

由式(2)可知，若使式(1)成立，則n必須大于2，即暗星B的質(zhì)量m2必須大于2ms，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞．

1.3三星模型

在遠(yuǎn)離其他天體的空間存在3顆星體，它們以受到的萬有引力的合力為向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，三星的角速度也一定相等.

【例3】(2015年高考安徽卷第24題)由3顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式:3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖2所示為A，B，C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況).若A星體質(zhì)量為2m，B和C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形邊長為a.求：

(1)A星體所受合力大小FA；

(2)B星體所受合力大小FB；

(3)C星體的軌道半徑RC；

(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T.

圖2

解析：(1)由萬有引力定律，A星體所受B，C星體引力大小為

方向如圖3，則合力大小為

圖3

(2)同上，B星體所受A,C星體引力大小分別為

方向如圖3，則合力大小為

可得

(3)通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點(diǎn)

(4)三星體運(yùn)動(dòng)周期相同，對C星體由

可得

1.4地面模型

如圖4所示，放在地面的物體A隨著地球一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面為某一緯度平面，萬有引力沿軌道平面指向地軸的分力等于向心力Fn，另一分力則為重力mg.由于地球的自轉(zhuǎn)速度較小，向心力大約只有萬有引力的0.34%，故可認(rèn)為mg=F.在其他星球表面情況類似.

圖4

【例4】(2015年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第21題)我國發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”登月探測器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運(yùn)行；然后經(jīng)過一系列過程，在離月面4 m高處做一次懸停(可認(rèn)為是相對于月球靜止)；最后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，探測器自由下落，已知探測器的質(zhì)量約為1.3×103kg，地球質(zhì)量約為月球質(zhì)量的81倍，地球半徑約為月球半徑的3.7倍，地球表面的重力加速度約為9.8 m/s2,則此探測器

A. 著落前的瞬間，速度大小約為8.9 m/s

B. 懸停時(shí)受到的反沖作用力約為2×103N

C. 從離開近月圓軌道這段時(shí)間內(nèi)，機(jī)械能守恒

D. 在近月圓軌道上運(yùn)行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的線速度

解析:在中心天體表面上萬有引力提供重力

則可得月球表面的重力加速度

根據(jù)平衡條件，探測器懸停時(shí)受到的反作用力F=G探=m探g月≈ 2×103N，選項(xiàng)B正確；探測器自由下落，由v2=2g月h,得出著落前瞬間的速度v≈3.6 m/s ,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；從離開近月圓軌道，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，僅在月球引力作用下機(jī)械能守恒，而離開近月軌道后還有制動(dòng)懸停，發(fā)動(dòng)機(jī)做了功，機(jī)械能不守恒，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在近月圓軌道萬有引力提供向心力

解得運(yùn)行的線速度

小于近地衛(wèi)星線速度，選項(xiàng)D正確.

2　橢圓軌道模型

行星或衛(wèi)星圍繞中心天體運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓時(shí)，萬有引力不等于向心力，在近地點(diǎn)，萬有引力小于向心力，做離心運(yùn)動(dòng)；在遠(yuǎn)地點(diǎn)，萬有引力大于向心力，做向心運(yùn)動(dòng).

圖5

【例5】如圖5所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一般程序是：先讓衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)近地的圓軌道，然后在P點(diǎn)變軌，進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道(該橢圓軌道的近地點(diǎn)為近地圓軌道上的P，遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步圓軌道上的Q)，到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)再次變軌，進(jìn)入同步軌道．設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的速率為v1，在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)P的速率為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q

2016-04-11)