線(xiàn)與面的碰撞
——以“求陰影部分的周長(zhǎng)和面積”為例

浙江杭州市運(yùn)河學(xué)校（310000）　伊秀君

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線(xiàn)與面的碰撞
——以“求陰影部分的周長(zhǎng)和面積”為例

浙江杭州市運(yùn)河學(xué)校（310000）伊秀君

周長(zhǎng)和面積是平面封閉圖形的重要量度。就求陰影部分的周長(zhǎng)錯(cuò)誤率居高不下這一現(xiàn)象進(jìn)行了學(xué)生訪(fǎng)談、錯(cuò)因分析，發(fā)現(xiàn)是“錯(cuò)”不是“誤”，從而制定了“反賓為主，記號(hào)化，橫向聯(lián)系，觸摸分解”等教學(xué)策略，努力促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的正向遷移，更有效和充分地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

周長(zhǎng)和面積碰撞思維

周長(zhǎng)和面積是平面幾何中的兩個(gè)基本概念，如果線(xiàn)指的是圖形的周長(zhǎng)，面指的是圖形的面積，那線(xiàn)與面之間不但有和諧的音符，也有無(wú)數(shù)多的激情碰撞，而線(xiàn)和面的碰撞則是學(xué)生幾何作業(yè)錯(cuò)誤中永恒的主題。

一、碰撞追溯

在三年級(jí)長(zhǎng)方形和正方形的面積的知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)后，線(xiàn)和面發(fā)生第一次碰撞：一是面積單位和周長(zhǎng)單位之間的碰撞，究其原因，是學(xué)生思維的惰性和思維的單線(xiàn)性造成的，隨著年齡的增長(zhǎng)，這種錯(cuò)誤將慢慢消失；二是正方形的面積計(jì)算公式和周長(zhǎng)計(jì)算公式之間的碰撞，學(xué)生會(huì)經(jīng)常用正方形的計(jì)算周長(zhǎng)公式來(lái)計(jì)算正方形的面積，究其原因，就是正方形的周長(zhǎng)公式比面積公式更簡(jiǎn)單，信息量少，更容易在記憶里保持和提取。在四年級(jí)平行四邊形、三角形、梯形這些規(guī)則圖形的面積的知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)后，周長(zhǎng)和面積的計(jì)算公式、單位又發(fā)生了更激烈的碰撞。

二、碰撞延續(xù)

在六年級(jí)上學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)和圓的面積后，在計(jì)算陰影部分的面積和周長(zhǎng)時(shí)，線(xiàn)和面的碰撞又讓錯(cuò)誤率居高不下。于是我把學(xué)生在練習(xí)中的錯(cuò)誤進(jìn)行了整理。

學(xué)生練習(xí)（求陰影部分周長(zhǎng)）錯(cuò)誤示例整理表

以上是求陰影部分周長(zhǎng)的學(xué)生錯(cuò)誤摘錄（全班45名學(xué)生）。在統(tǒng)計(jì)以上這些錯(cuò)誤時(shí)發(fā)現(xiàn)，求陰影部分的面積除了計(jì)算上的錯(cuò)誤，沒(méi)出現(xiàn)方法上的錯(cuò)誤，而計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng)，錯(cuò)誤一直在延續(xù)，而且錯(cuò)誤率居高不下。曾經(jīng)認(rèn)為是“誤”不是“錯(cuò)”，這時(shí)才認(rèn)清學(xué)生是“錯(cuò)”不是“誤”。

三、碰撞分析

既然是“錯(cuò)”不是“誤”，于是我決定仔細(xì)地詢(xún)問(wèn)學(xué)生，研究學(xué)生的錯(cuò)因。通過(guò)詢(xún)問(wèn)、調(diào)查和歸類(lèi)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的“錯(cuò)”有下列三種“因”。

1.思維的定式

思維定式是人們按照一種固定的思路和習(xí)慣性方法來(lái)考慮、分析和解決問(wèn)題的一種心理現(xiàn)象。思維定式既有積極的一面，也有消極的一面。積極的一面是它可以幫助學(xué)生消化所學(xué)的知識(shí)和積累的經(jīng)驗(yàn)，從而正確有效地解決同一類(lèi)問(wèn)題。消極的一面是學(xué)生往往受其影響，過(guò)分依賴(lài)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，只注意知識(shí)的記憶，而忽視對(duì)問(wèn)題中各種量之間相互關(guān)系的分析和研究，在解決問(wèn)題時(shí)，思路單一，極大地妨礙了發(fā)散思維的發(fā)展。

在求解圖4的周長(zhǎng)時(shí)，有學(xué)生列出了算式：

師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)什么是周長(zhǎng)？

生：封閉圖形一周的長(zhǎng)度。

師：請(qǐng)摸出這個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)。

（學(xué)生正確地摸出這個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)）

師：這里周長(zhǎng)應(yīng)該怎么求？

圖4

師：為什么這么求，你不是摸過(guò)了嗎？

生：我是用“兩個(gè)小的半圓的周長(zhǎng)+一個(gè)大的半圓的周長(zhǎng)=陰影部分的周長(zhǎng)”來(lái)求的。

因?yàn)橹匾曔@次的“錯(cuò)”，我聽(tīng)懂了這個(gè)學(xué)生的解釋。在求圖1的周長(zhǎng)時(shí)，曾經(jīng)列出算式“50×4+3.14×50”，因此我一直認(rèn)為學(xué)生是因?yàn)榭村e(cuò)題目才解答錯(cuò)誤的，以教師的思維代替學(xué)生的思維，才會(huì)造成一錯(cuò)再錯(cuò)。

我們?cè)?jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)如圖5的圖形的周長(zhǎng)：一個(gè)半圓的周長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)的一半+一條直徑。

圖5

于是，學(xué)生就把陰影部分的周長(zhǎng)看成是三個(gè)半圓的周長(zhǎng)，而每個(gè)半圓的周長(zhǎng)都是用圓周長(zhǎng)的一半加上一條直徑，那么三個(gè)半圓的周長(zhǎng)就是這種先入為主的思維，使學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)只相信自己的感覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)，把量與量之間的關(guān)系看成是一成不變的，致使解題時(shí)思維僵化。

2.思維的單線(xiàn)性

思維的單線(xiàn)性是指直線(xiàn)的、單向的、單維的和缺乏變化的思維方式。

在求解圖4的周長(zhǎng)時(shí)，有6個(gè)學(xué)生說(shuō)大腦一片空白，經(jīng)過(guò)談話(huà)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)這種情況有兩種可能：

（1）場(chǎng)依存性

當(dāng)代美國(guó)心理學(xué)家赫爾曼.威金特（HermanWitkin）曾對(duì)空軍飛行員靠什么線(xiàn)索來(lái)確定自己是否坐直的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果得出：有些人知覺(jué)時(shí)較多地受他所看到的環(huán)境信息的影響；有些人則較多地受來(lái)自身體內(nèi)部的線(xiàn)索的影響。他把受環(huán)境因素影響大者稱(chēng)之為場(chǎng)依存性，把不受或很少受環(huán)境因素影響者稱(chēng)之為場(chǎng)獨(dú)立性。圖6左邊是個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形，要被試者從右邊這個(gè)復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出左邊這一簡(jiǎn)單圖形。有些人幾乎立即就能指出這個(gè)圖形，不會(huì)被周?chē)木€(xiàn)條分散精力，而有些人則需要花費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間才能分辨出來(lái)。這說(shuō)明，人們?cè)谥X(jué)過(guò)程中確實(shí)具有場(chǎng)依存性和場(chǎng)獨(dú)立性的差異。

圖6

（2）數(shù)學(xué)語(yǔ)言互相轉(zhuǎn)化的能力弱

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種有別于自然語(yǔ)言的學(xué)科專(zhuān)業(yè)化語(yǔ)言，是人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的特殊表達(dá)形式。它是以文字（包括數(shù)字與字母）、符號(hào)及圖形為詞匯，數(shù)學(xué)法則、定理、公式為語(yǔ)法法則的一種語(yǔ)言，一般有三種形式：表述（文字）語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言。所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言必須具備一種語(yǔ)言形式轉(zhuǎn)化到另一種語(yǔ)言形式的能力：文字語(yǔ)言符號(hào)化和圖示化，圖形語(yǔ)言文字化。

求陰影部分的周長(zhǎng)和面積是用圖形語(yǔ)言來(lái)表述問(wèn)題，形象、直觀(guān)、一目了然，但一部分學(xué)生不善于將圖形語(yǔ)言描述的問(wèn)題用符號(hào)和文字表達(dá)出來(lái)，不能從復(fù)雜的圖形中抽象出陰影部分的周長(zhǎng)，既然找不到陰影部分的周長(zhǎng)，完成題目也就無(wú)從下手，只能是空白。

3.思維的相似性

求陰影部分的面積和周長(zhǎng)計(jì)算方法之間的碰撞，其實(shí)就是思維的相似性碰撞。數(shù)學(xué)思維的相似性是思維相似律在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的反映，表現(xiàn)為幾何相似、關(guān)系相似、結(jié)構(gòu)相似與實(shí)質(zhì)相似，還有靜態(tài)相似與動(dòng)態(tài)相似等。對(duì)相似因素和相似關(guān)系的認(rèn)識(shí)能加深理解數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律性，提高思維的深刻性，發(fā)展思維的創(chuàng)造性。

下面是對(duì)解答圖2發(fā)生錯(cuò)誤（1）的學(xué)生的訪(fǎng)談。

師：陰影部分的周長(zhǎng)在哪，能摸一摸嗎？

（學(xué)生演示正確）

師：陰影部分的周長(zhǎng)由幾段組成，其中一段怎么求？

師：那么這樣的4段怎樣求？

生：噢，我明白了。

師：能說(shuō)說(shuō)你為什么會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤嗎？

生：我用求陰影部分面積的方法來(lái)求周長(zhǎng)了。

（1）概念模糊

我在詢(xún)問(wèn)這部分學(xué)生錯(cuò)因的時(shí)候，他們的目光總是躲躲閃閃，回答問(wèn)題也是猶猶豫豫，因?yàn)樗麄冃枰瑢W(xué)的提醒。原因是教師教學(xué)時(shí)的某些習(xí)慣做法，比如，有意無(wú)意地突出封閉圖形的面（經(jīng)常貼出彩色紙剪的圖形），忽略封閉圖形的邊（很少有教師勾勒彩色圖形的邊），也會(huì)對(duì)學(xué)生頭腦中的圖形概念產(chǎn)生影響。以圖7這個(gè)典型的題目為例。

圖7

學(xué)生在摸這個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)時(shí)非常緊張，無(wú)從下手，需要老師和同學(xué)們的提醒，至于怎么求解更是摸不著頭腦。

（2）概念“同化”

在做題時(shí)，學(xué)生總是會(huì)用一個(gè)概念去“同化”另一個(gè)概念，而不是自覺(jué)地去“分化”。這類(lèi)學(xué)生的解題都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，都是先計(jì)算陰影部分的面積，再計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng)，在計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng)時(shí)習(xí)慣性用求面積的方法。陰影部分的面積和周長(zhǎng)放在一起求時(shí)，相似因素造成的強(qiáng)刺激，也給相關(guān)概念的“分化”帶來(lái)困難。

這類(lèi)學(xué)生只要再讓他讀兩遍題目，他就知道錯(cuò)在哪里了。

四、碰撞感悟

對(duì)學(xué)生的錯(cuò)因進(jìn)行了訪(fǎng)談、分析、歸類(lèi)，得出這些錯(cuò)不是“誤”造成的，而是“錯(cuò)”造成的。“誤”是指失誤而造成的錯(cuò)，而“錯(cuò)”是指學(xué)習(xí)者構(gòu)造了自己特有的概念與程式造成的錯(cuò)。是因?yàn)椤板e(cuò)”造成的，所以一直錯(cuò)絕非偶然，而是必然。針對(duì)此現(xiàn)象，我和其他老師一起制定了以下教學(xué)策略。

1.回到教學(xué)起點(diǎn)，掌握知識(shí)本質(zhì)

這些經(jīng)常發(fā)生周長(zhǎng)和面積“碰撞”的學(xué)生都有著共同的特點(diǎn)：周長(zhǎng)和面積的意義不能區(qū)分清楚，至少是沒(méi)能轉(zhuǎn)化為圖式表征來(lái)加以區(qū)分周長(zhǎng)和面積的意義。

（1）激活辨析

首先，激活原有概念的內(nèi)涵，讓錯(cuò)誤的學(xué)生通過(guò)回憶說(shuō)出周長(zhǎng)和面積的概念：周長(zhǎng)是封閉圖形一周的長(zhǎng)度，拉開(kāi)是一條線(xiàn)段；面積是物體的表面和平面圖形的大小，是一個(gè)面。其次，感受概念的外延，讓學(xué)生在紙上畫(huà)出一個(gè)正方形，并用紅筆描出這個(gè)正方形的周長(zhǎng)，把這個(gè)用紅筆涂的線(xiàn)拉開(kāi)也就是一條線(xiàn)段，同樣也畫(huà)在紙上，并標(biāo)出四段；用黑筆涂出這個(gè)正方形的面積。激活是對(duì)概念知識(shí)的重新感知，是讓學(xué)生把周長(zhǎng)和面積的文字概念轉(zhuǎn)化為圖式表征來(lái)加以區(qū)分。最后通過(guò)比較和辨析的練習(xí)讓學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行加工和內(nèi)化，這樣就順應(yīng)了兒童認(rèn)知發(fā)展由外部動(dòng)作到內(nèi)部思維的規(guī)律。

曹培英老師用以下的操作對(duì)圖形的周長(zhǎng)和面積進(jìn)行比較和辨析：

（1）周長(zhǎng)相等面積不等的圖形

圖8

圖9

（2）周長(zhǎng)不等面積相等的圖形

圖10

如此，不妨指導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算組合圖形的周長(zhǎng)與面積時(shí)，采取畫(huà)圖與列式相結(jié)合的方式，“畫(huà)一條，算一條”（周長(zhǎng)），“涂一塊，算一塊”（面積），以此正確區(qū)分周長(zhǎng)與面積。

（2）記號(hào)化

圖形語(yǔ)言雖然形象，但識(shí)圖和畫(huà)圖是學(xué)生的難點(diǎn)。為此，有必要將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平面幾何問(wèn)題的理解。日本福井大學(xué)柳本成一教授在中學(xué)幾何演繹推理證明教學(xué)方面有一些新的嘗試，他主要研究在課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形記號(hào)、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和邏輯推理方法表達(dá)幾何中的演繹推理過(guò)程。他的基本思想是改變學(xué)生純粹模仿教科書(shū)上解題方法的情況，帶學(xué)生進(jìn)入幾何思維的世界。他的做法是在原幾何圖形中標(biāo)出線(xiàn)段相等、角度相等等記號(hào)，這些帶有記號(hào)的幾何圖形就是“信息圖形”，即“記號(hào)化”的幾何圖形，然后將信息圖形轉(zhuǎn)化為“符號(hào)語(yǔ)言”，即“符號(hào)化”的數(shù)學(xué)表達(dá)。柳本教授的這一數(shù)學(xué)思想同樣也適合于小學(xué)階段的解決幾何圖形問(wèn)題的教學(xué)。例如：

讓學(xué)生先從原來(lái)復(fù)雜的圖形中抽象出簡(jiǎn)單的周長(zhǎng)圖形，用紅筆描出陰影部分的周長(zhǎng)，即把圖形的周長(zhǎng)“記號(hào)化”。如果還是覺(jué)得模糊，再用“文字語(yǔ)言”來(lái)表達(dá)，最后列出正確的算式。這樣就完成了把圖形語(yǔ)言正確地轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程，自然不會(huì)受面積的干擾。

2.回到思維原點(diǎn)，激活主體思維

解題錯(cuò)誤的學(xué)生都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是思維停滯或思維受阻，學(xué)過(guò)的東西不能靈活運(yùn)用，需要旁人的提醒。即使暫時(shí)會(huì)了，那也是思維的模仿，或者是暫時(shí)的記憶。

（1））反賓為主

對(duì)一個(gè)問(wèn)題能根據(jù)情況的變化而變化，也就是說(shuō)，能根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的事實(shí)，及時(shí)修正原來(lái)的想法，這就是思維的靈活性。求陰影部分的周長(zhǎng)，學(xué)生只要看到半圓的周長(zhǎng)就想到用“圓周長(zhǎng)的一半+一條直徑”，這樣的思維定式阻礙了學(xué)生解題的思路，這時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生把陰影部分的周長(zhǎng)抽象為圖11，并畫(huà)下來(lái)。這樣就讓學(xué)生注意了量的相對(duì)性，打破了量的絕對(duì)性界限。這種反賓為主的思想，既消除了“先入為主”帶來(lái)的負(fù)遷移，又可以化繁為簡(jiǎn)，降低解題的難度。

圖11

圖12

（2）橫向聯(lián)系

具有場(chǎng)依存性的學(xué)生受環(huán)境因素影響較大，不能將一個(gè)模式（或圖式）分解成許多部分，思想單一。經(jīng)常給具有場(chǎng)依存性的學(xué)生進(jìn)行辨認(rèn)鑲嵌圖形的游戲，也有一定的教學(xué)效果。例如：從圖12中找出圖中右上角這個(gè)簡(jiǎn)單圖形。

“他山之石，可以攻玉”。利用思維的發(fā)散，教師可以經(jīng)常給學(xué)生玩這樣的游戲，借助知識(shí)間的橫向聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，解數(shù)學(xué)題目，不僅要用到數(shù)學(xué)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，有時(shí)還要借助于語(yǔ)文、音樂(lè)、美術(shù)等方面的知識(shí)、方法、技巧，這就是知識(shí)的“橫向聯(lián)系”。

（3）觸摸分解

“摸”，字典中的解釋?zhuān)河檬纸佑|或輕輕撫摸。在知覺(jué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)提倡發(fā)揮多種知覺(jué)功能的作用。有實(shí)驗(yàn)表明，智力落后的兒童難以辨別較復(fù)雜的物品，但是把這些物品的某些部分切割下來(lái)，讓他觸摸以后，該兒童便能掌握較復(fù)雜的辨別方法。

觸摸也是讀懂圖形的一種有效手段，在完成圖形的練習(xí)中，“摸一摸”可以讓學(xué)生對(duì)圖形有一定的感知，對(duì)所要解決的問(wèn)題有一定的認(rèn)識(shí)，同時(shí)能促進(jìn)思維的聯(lián)動(dòng)。教師可以提醒學(xué)生“能用手摸出這個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)嗎？”當(dāng)學(xué)生用手摸出這個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之后，可提示“這個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)由幾部分組成，將一個(gè)復(fù)雜圖形進(jìn)行分解，例如圖4可以分解成一個(gè)大圓周長(zhǎng)的一半和兩個(gè)小圓周長(zhǎng)的一半。每一段分別怎么求……”

解題難免會(huì)出錯(cuò)，但不要把學(xué)生的錯(cuò)誤總認(rèn)為是偶然，其實(shí)學(xué)生發(fā)生的每一個(gè)錯(cuò)誤都是必然。教學(xué)中教師應(yīng)及時(shí)地發(fā)現(xiàn)并捕捉學(xué)生的這些錯(cuò)誤，開(kāi)展深入、細(xì)致的研究，讓學(xué)生認(rèn)錯(cuò)、知錯(cuò)、改錯(cuò)，因?yàn)榻處熤e(cuò)是改錯(cuò)的前提，學(xué)生知錯(cuò)是重新?lián)碛姓_認(rèn)識(shí)的開(kāi)始，是一個(gè)內(nèi)容豐富的認(rèn)知過(guò)程。

（責(zé)編童夏）

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