列舉法
——“笨”與“活”的思維通道

浙江寧波市慈溪陽(yáng)光實(shí)驗(yàn)學(xué)校（315300） 施勁松

列舉法
——“笨”與“活”的思維通道

浙江寧波市慈溪陽(yáng)光實(shí)驗(yàn)學(xué)校（315300） 施勁松

列舉法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種方法，操作方法簡(jiǎn)單，適用范圍廣，能幫助學(xué)生解決復(fù)雜的問題。不可否認(rèn)，這種方法也存在一定的局限性，給人以“笨”的印象。教師在教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生，使之靈活運(yùn)用這個(gè)“笨”方法，提高解題技能。

列舉法 “笨”方法“活”方法思維通道

列舉法是一種借助對(duì)具體事物的特定對(duì)象，從邏輯上進(jìn)行分析、羅列，直到得出結(jié)果的方法。如何把這種“笨”方法變成“活”方法，在它們之間構(gòu)建起思維通道呢？接下來，我將通過分析列舉法的教學(xué)現(xiàn)狀、梳理人教版教材來談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

一、掃描“笨”現(xiàn)狀，冷視“活”呈現(xiàn)

列舉法作為數(shù)學(xué)中的通法，使用范圍廣、形式直接、方法明了易懂。但這個(gè)所謂的“笨”方法其實(shí)也不好用，它蘊(yùn)涵著許多數(shù)學(xué)原理和思想方法，稍有不慎就會(huì)弄巧成拙。下面是幾種常見的列舉法教學(xué)現(xiàn)狀：

1.真“笨”——面面俱到型

如教學(xué)數(shù)學(xué)廣角“雞兔同籠”時(shí)，我出示例1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”部分學(xué)生用列舉法找出了答案，我在全班學(xué)生面前表?yè)P(yáng)了他們。

此時(shí)有學(xué)生小聲地說：“這個(gè)方法真‘笨’，要把所有可能一一列出來。”基于以上課堂細(xì)節(jié)，我在課后進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)并不是所有的學(xué)生都喜歡這種“面面俱到”的方法。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：27.3%的學(xué)生認(rèn)為這是好個(gè)方法，72.7%的學(xué)生認(rèn)為太麻煩。這樣的調(diào)查結(jié)果引起了我的思考，這樣的完整列舉真的很好嗎？

2.假“活”——急功近利型

如教學(xué)“小數(shù)的意義和性質(zhì)”時(shí)，我讓學(xué)生完成練習(xí)十的思考題：用數(shù)字卡片2、3、4和小數(shù)點(diǎn).，能夠組成多少個(gè)不同的小數(shù)（每張卡片都要用上）？一開始，我先讓學(xué)生說一說解題的方法，很快就有學(xué)生提出用列舉法。我對(duì)這個(gè)方法給予了肯定，學(xué)生開始進(jìn)行合作研究。5分鐘后，在課堂結(jié)果展示環(huán)節(jié)中，學(xué)生反饋了兩種“急功近利”的研究結(jié)果：一種是很快有得到了結(jié)果，但結(jié)果不完整；另外一種的結(jié)果雖然完整，但看起來雜亂無章，缺乏有序思考。我不禁思考，這種現(xiàn)象該如何解決？如何讓“笨”方法變成“活”方法？

3.“笨”“活”結(jié)合——表里不一型

如教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”練習(xí)八第12題“用0、2、3、4、5組成三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，你能寫出幾個(gè)？你能寫出乘積最大的算式嗎？”時(shí)，學(xué)生的第一反應(yīng)是用“笨”方法來解答，把滿足條件的算式都羅列出來，從組成最大數(shù)開始考慮。他們先用5、4、3組成最大的三位數(shù)543，然后用剩下的0和2組成20，最后把這兩個(gè)數(shù)相乘，卻發(fā)現(xiàn)得等到的結(jié)果并不是最大的。于是他們做了一些調(diào)整，把5和4放在最高位，按上述方法再次進(jìn)行操作。最后我和他們一起回顧整個(gè)過程，整理思路。因?yàn)橐婚_始的想法比較“笨”，學(xué)生在列舉時(shí)花費(fèi)了大量的時(shí)間，雖然方法比較“活”，但“表里不一”，總體效率不高。

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，由于各種客觀原因，教師未能把列舉這個(gè)“笨”方法真正用到實(shí)處。但“笨”方法真的是可有可無、可教可不教的方法嗎？我認(rèn)為答案一定是否定的。帶著這樣的認(rèn)知和思考，我細(xì)細(xì)研讀課標(biāo)和教材，結(jié)合課堂教學(xué)和生活實(shí)際，尋找溝通“笨”方法和“活”方法的思維通道，發(fā)現(xiàn)“笨”方法其實(shí)有很大的改善空間。

通過仔細(xì)梳理人教版教材中關(guān)于列舉法的內(nèi)容，我發(fā)現(xiàn)其背后的“活”價(jià)值。列舉法就是讓學(xué)生經(jīng)歷從“笨”方法到“活”方法的體驗(yàn)，使之體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解決問題的作用，構(gòu)建思維通道，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

二、運(yùn)用“笨”方法，激發(fā)“活”思維

數(shù)學(xué)課堂上，研究和解決問題往往需要通過實(shí)踐和探究活動(dòng)把所有可能出現(xiàn)的情況列舉出來。這種看起來比較“笨”的方法，其實(shí)正好能逐步激活學(xué)生已有的認(rèn)知水平和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，幫助學(xué)生構(gòu)建思維通道，使他們?cè)谑褂昧信e法時(shí)逐步有序起來?！靶颉笔橇信e法的核心，只有經(jīng)歷這樣的過程，思維才能“活”起來。學(xué)生通過有序地思考問題、解決問題，才不會(huì)使結(jié)果出現(xiàn)遺漏或重復(fù)的現(xiàn)象。

1．“笨”操練，激活“序”

【“長(zhǎng)方形和正方形”例5教學(xué)片斷A】

出示例5：用16張邊長(zhǎng)是1分米的正方形紙拼長(zhǎng)方形和正方形。怎樣拼，才能使拼成的圖形周長(zhǎng)最短？

生1：我們可以動(dòng)手拼一拼，然后對(duì)不同的拼接結(jié)果進(jìn)行比較，就可以知道答案了。

師：拼的時(shí)候要注意什么呢？

生2：要注意順序，先嘗試排1排，再嘗試排2排、3排……

師：這樣做有什么好處呢？

生2：這樣做能很好地避免重復(fù)或遺漏的情況。

師：你的想法很好！分類、按順序列出所有的可能情況，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。根據(jù)這個(gè)方法，下面我們開始活動(dòng)吧。

（學(xué)生操作，教師巡視學(xué)生分類、列舉的操作過程，適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，最后組織學(xué)生交流匯報(bào)結(jié)果，激活學(xué)生的“序”）

小學(xué)生的思維以形象思維為主，其發(fā)展要經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)的由具體到抽象的過程，他們的思維能力還相當(dāng)薄弱。教師要給學(xué)生必要的提示，幫助學(xué)生形成清晰的思路。

2.“笨”探究，靈活“序”

【“長(zhǎng)方形和正方形”例5教學(xué)片斷B】

師：同學(xué)們剛才借助小正方形，運(yùn)用列舉法把可能的結(jié)果一一列了出來。如果不借助小正方形，你能把這些可能的結(jié)果都列舉出來嗎？

生1：可以用除法，把16個(gè)小正方形拼成1排、2排、3排……然后思考拼出圖形的長(zhǎng)和寬。

基于以上分析,本文提出了一種將超低壓降有源整流與自適應(yīng)P-SSHI結(jié)構(gòu)相結(jié)合的高效壓電能量俘獲電路,如圖4所示。有源整流電路中,上半橋采用交叉耦合的PMOS管結(jié)構(gòu),而下半橋采用比較器和NMOS管構(gòu)成的有源整流二極管結(jié)構(gòu),以降低整流管的導(dǎo)通壓降VD。其中,比較器CMP1(CMP2)除了控制MN1(MN2)的導(dǎo)通和截止,還為整流電路提供零電流檢測(cè)信號(hào),控制同步開關(guān)的閉合,省卻了額外的檢測(cè)電路。此外,所提電路通過L-C諧振回路中的零電流檢測(cè)信號(hào)控制同步開關(guān)斷開,而非采用傳統(tǒng)的固定延時(shí)控制[11,12],能更好地跟隨T/2,減小時(shí)間差Δt,實(shí)現(xiàn)電路的實(shí)時(shí)檢測(cè)和自適應(yīng)同步開關(guān)控制。

師：你能具體說一說嗎？

（學(xué)生說思路，教師協(xié)助列舉，補(bǔ)充表格）

師：像這樣把可能出現(xiàn)的情況一一列舉時(shí)，要注意什么？

生2：要注意按一定的順序列舉。

生3：排除不符合要求的情況。

生4：既不能重復(fù)，也不能遺漏。

根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，教師要放手讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)口和動(dòng)腦的相互協(xié)助中進(jìn)行自主探究知識(shí)的活動(dòng)，并內(nèi)化成自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。上述教學(xué)片斷中，教師適時(shí)提出不借助學(xué)具進(jìn)行列舉的要求，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到根據(jù)長(zhǎng)和寬的特點(diǎn)進(jìn)行列舉比較的方便之處和簡(jiǎn)潔性。把用列舉法得到結(jié)果記錄在表格中，既能減輕學(xué)生記憶的負(fù)擔(dān)，又能使學(xué)生喜歡上填表列舉的方法，激起學(xué)生優(yōu)化方法的欲望，發(fā)展他們思維的有序性。

三、調(diào)整“笨”排列，構(gòu)建“活”通道

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，但數(shù)學(xué)思想方法的形成不是一日之功就能實(shí)現(xiàn)的。隱性的經(jīng)驗(yàn)只有經(jīng)過篩選、調(diào)整、積累等過程，才會(huì)慢慢豐富起來，才會(huì)形成靈活、巧妙的“活”方法。不同學(xué)生在使用列舉法時(shí)，因認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)不同，其呈現(xiàn)出來的顯性特征也是不同的。作為教師，我們要順著學(xué)生的思維，幫助他們構(gòu)建起隱性思維和顯性思維之間的通道，引導(dǎo)學(xué)生通過篩選、調(diào)整、提升等過程，將知識(shí)內(nèi)化于心，讓學(xué)生的思維真正“活”起來。

【“雞兔同籠”例1教學(xué)片斷A】

出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

學(xué)生嘗試用列表的方法解決問題，從0開始排，逐一羅列，第1種方法如下所示。

師：仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生1：從左往右看，雞的數(shù)量增加，兔子的數(shù)量就會(huì)減少；從右往左看，兔子的數(shù)量增加，雞的就減少。

生2：每增加1只雞，減少一只兔子，腳的數(shù)量就會(huì)減少2只。

生3：要使腳的數(shù)量減少2，就要把1只兔子換成1只雞。

……

最后，通過逐一列舉，學(xué)生得出符合要求的結(jié)果是雞有3只，兔子有5只。

方法1列舉了所有的可能情況，能有效避免重復(fù)和遺漏的情況。根據(jù)這個(gè)方法的顯性特征可以分析學(xué)生的隱性思維：學(xué)生能弄明白雞兔同籠問題，知道雞和兔子數(shù)量變化與腿的數(shù)量變化之間的關(guān)系，思維具有一定的縝密性。但這種方法又不免過于死板，沒有上升到技巧的高度，“活”不起來。教師在肯定方法正確的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步優(yōu)化方法，提升思維層次。

2．“笨”區(qū)間，“活”調(diào)整

【“雞兔同籠”例1教學(xué)片斷B】

師：剛才我們學(xué)習(xí)了逐一列舉的方法，大家還有沒有其他方法？

（生展示第2種方法：羅列部分，區(qū)間調(diào)整，如下圖所示）

生1：我是跳著試的。8只兔子有32只腳，于是我減少兔子的數(shù)量。我又試了4只兔子和4只雞的情況，此時(shí)一共有24只腳，那么再增加1只兔子、減少1只雞，就有26只腳了。

師：這是個(gè)好方法。同學(xué)們，他一共列舉了幾次？

生2：3次。

師：一定要列3次嗎？

生3：不一定，但一定比第一種方法的少！

方法2，學(xué)生在方法1的基礎(chǔ)上，采用區(qū)間套的方法進(jìn)行了部分列舉，體現(xiàn)了它的簡(jiǎn)便性和技巧性。不斷調(diào)整方向、縮小范圍的過程，體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活性和跳躍性。此外，有的學(xué)生還對(duì)這種方法的使用范圍進(jìn)行了拓展，如在數(shù)據(jù)更多的問題中的應(yīng)用。這時(shí)，這種方法將能大大降低問題的難度，簡(jiǎn)化解題過程，使學(xué)生的思維層次得到提升。

總之，教師只有不斷思考，才能全面、深刻地認(rèn)識(shí)到列舉法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)點(diǎn)及其局限性，進(jìn)而在教學(xué)中真正做到“心中有數(shù)”，緊密圍繞“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”這個(gè)基本目標(biāo)，通過有序、延時(shí)、篩選、調(diào)整、提升等活動(dòng)，為學(xué)生構(gòu)建“笨”與“活”之間的思維通道，把學(xué)生的“笨”方法轉(zhuǎn)變?yōu)椤盎睢狈椒ā．?dāng)然，應(yīng)用列舉法培養(yǎng)學(xué)生的思維能力并不是一蹴而就的，這需要教師不懈努力。處理好“笨”與“活”的關(guān)系，才能真正培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性和周全性，使學(xué)生的思維“活”起來。

（責(zé)編吳美玲）

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1007-9068（2016）17-039