薄鏡面力矩校正在自由諧振模式下的定標計算

范磊，喬兵，王富國

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033）

薄鏡面力矩校正在自由諧振模式下的定標計算

范磊，喬兵，王富國

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033）

薄鏡面面形的主動校正方式主要分為力校正和力矩校正兩種。在技術較為成熟的力校正基礎上，為豐富和完善主動支撐技術，提出利用自由諧振模式定標法分析薄鏡面的力矩校正能力。首先分析了薄鏡的力矩校正在自由諧振模式下的波前擬合和水平校正力的定標計算方法。然后，以一塊口徑400mm薄鏡作為分析對象，建立了相應的有限元模型，完成了該反射鏡水平校正力的定標計算。最后，針對某一工況鏡面變形，求解了相應的校正系數(shù)，通過計算，校正后鏡面面形殘余誤差為5.4nm，校正效果明顯。結果表明，薄鏡面的力矩主動校正是可行的，提出的自由諧振模式定標計算方法也是合理的，為進一步開展力矩主動校正技術的研究提供了一種參考。

自由諧振；主動光學；薄鏡面；力矩校正；有限元法

薄鏡面主動光學是通過能動地校正鏡面變形來實時補償光學波面誤差，以期光學系統(tǒng)達到最佳的成像質(zhì)量［1］。鏡面的主動校正方式一般分為力校正和力矩校正（水平力校正）兩種。圖1所示為兩種鏡面主動校正方式示意圖。

圖1　鏡面主動校正方式

由圖1可以看出，兩種方式都能到達校正鏡面面形的目的，只是結構形式上存在差異。設系統(tǒng)波前誤差為W，為校正該波前誤差，校正力Fa和校正力力矩M都應產(chǎn)生-W的波前，即Fa和M應分別滿足：

式中：C為校正力剛度矩陣；D為校正力矩剛度矩陣。

根據(jù)圖1（b）可知，式（2）中校正力矩M為：

式中：Fh為水平校正力，L力臂。

目前研究和應用較多的是基于力校正的薄鏡面主動支撐技術：國外，從ESO最先開展的1m薄鏡面主動光學實驗到VLT望遠鏡8m主鏡，采用的都是力主動校正方式［3］；國內(nèi)，南京天文光學技術研究所、成都光電技術研究所、長春光學精密機械與物理研究所和蘇州大學現(xiàn)代光學技術研究所都開展了1m口徑以下力校正的薄鏡面主動光學的研究［6］。

但是，關于力矩校正的研究國內(nèi)外都相對較少。國外，主要集中于利用壓電陶瓷片對新型超薄復合反射鏡進行主動校正［7］；國內(nèi)，長春光學精密機械與物理研究所范磊等通過對水平校正力的優(yōu)化，對一輕量化反射鏡模型面形進行了靜態(tài)優(yōu)化分析，效果明顯［9］；成都光電技術研究所研究人員對一塊集成了力矩促動器的六邊形輕量化金屬鏡進行了分析計算，結果顯示能夠很好地校正低階Zernike像差［10］。

為了進一步開展薄鏡面的力矩主動校正研究，分析該方式的主動校正性能。本文采用自由諧振模態(tài)定標法，對口徑400mm薄鏡，建立了主動校正模型，完成了水平校正力的定標計算，并對某一工況下的鏡面變形進行了校正。

1　自由諧振模式定標原理

1.1自由諧振模式下的波前擬合

波前擬合和校正力求解構成了主動光學的兩大關鍵技術。其中，波前擬合一般采用兩種方式：一是準Zernike多項式擬合，二是自由諧振多項式擬合［1］。自由諧振模式可以用來擬合鏡面面形是由于它與準Zernike多項式接近且各模態(tài)振型相互正交。圖2和圖3所示分別為圓域Zernike多項式和自由諧振模式振型圖。

圖2　Zernike多項式

兩者的區(qū)別在于Zernike多項式擬合側重于光學像質(zhì)的表達，單位圓內(nèi)方差為1，與薄鏡面結構的變形特性無關；自由諧振多項式擬合側重于機械結構特性的表達，容易建立擬合面形和校正力的求解關系，但其局限性在于模態(tài)振型函數(shù)與薄鏡物理幾何參數(shù)相關，不具有統(tǒng)一的表達形式，一般需利用有限元法求解。

圖3　自由諧振模態(tài)振型

在薄鏡面上選取m個節(jié)點，要求滿足m＞n。利用有限元方法計算每個節(jié)點對應的n項模態(tài)振型向量值，組成模態(tài)振型矩陣：

通過有限元分析求取鏡面變形節(jié)點位移值w=（w1，w2，…wm）T，則建立擬合方程如下：

設薄鏡波前面形誤差為w，取前n階自由諧振振型向量δi（i=1，2，…，n），擬合系數(shù)為ai，則利用自由諧振多項式擬合有：

利用最小二乘法求解擬合系數(shù)為：

1.2水平校正力的模式定標計算

不同的波前擬合方式對應不同的校正力求解法，其中準Zernike多項式擬合對應的是阻尼最小二乘法；自由諧振模式擬合對應的是模式定標法。模式定標法的基本原則就是對于任意一階模態(tài)振型，施加定標后的校正力能夠使鏡面恢復該階模態(tài)振型，且振型對應的面形誤差都為預先設定的某歸一化值（如633nm，1000nm等）。

模式定標法主要利用有限元方法求解，參考文獻［2］提出基于校正力模型的模式定標計算方法，本文給出了一種針對校正力矩的模式定標計算方法，計算流程如圖4所示。

圖4　水平校正力定標流程

如圖4所示，設校正力矩由薄鏡背部離散分布的k個水平校正力完成，則對于第i階諧振模態(tài)振型，相應地導出這k個節(jié)點對應的水平位移uxy，將uxy作為邊界約束條件重新施加到這k個節(jié)點，通過有限元靜力學分析計算，求取這k個節(jié)點的約束反力 fxy和對應的鏡面面形wxy，根據(jù)力與位移的線性關系，當鏡面面形歸一化為λ時（λ=633nm，或其它設定值），根據(jù)作用力與鏡面變形的線性關系，可計算第i階模態(tài)振型歸一化后的水平校正力 fλi為：

則對于實際薄鏡的鏡面變形，根據(jù)前n階自由諧振模式波前擬合結果，利用標定后的水平校正力計算實際水平校正力 f為：

2　Φ400mm反射鏡力矩校正模式定標

為了進一步驗證上述理論分析，本文選用一塊Φ400mm平面反射鏡作為分析對象。其中，反射鏡厚度為8mm，徑厚比為50。

圖5　反射鏡結構模型

為施加水平校正力，在反射鏡背面粘接36個殷鋼柱，每個殷鋼柱高度為42mm。如圖5所示為該反射鏡結構模型，36個殷鋼柱分布在反射鏡背部的3個支撐圈上，支撐圈半徑分別為r1=65mm，r2= 130mm，r3=195mm。

2.1反射鏡的主動校正建模及模態(tài)分析

反射鏡材料選用微晶玻璃，殷鋼柱選用與其線脹系數(shù)相匹配的殷鋼材料，相關物理參數(shù)如表1所示。

表1　物理參數(shù)表

在有限元分析軟件MSC.PATRAN中建立有限元模型如圖6所示，借用有限元分析軟件MSC. NASTRAN分析該模型的前10階自由彎曲模態(tài)振型（除去剛體模態(tài)振型），其振型圖如圖7所示。

圖6　反射鏡有限元模型

圖7　反射鏡前10階模態(tài)振型

2.2水平校正力標定計算

依據(jù)圖3的定標計算流程，首先提取上述10階模態(tài)振型中36個殷鋼柱自由端在各階自由彎曲模態(tài)振型下的水平位移Ux和Uy，并將其重新施加到各點，計算薄鏡變形，然后從結果文件中提取36點的約束反力Fx和Fy，并計算相應的鏡面面形Wxy。根據(jù)公式8計算出標定后鏡面面形誤差統(tǒng)一為λ時的水平標定力，該過程的相關標定計算結果如表2所示，前10階標定校正后鏡面面形云圖如圖8所示。

表2　水平標定力計算結果

圖8　校正后前10階鏡面面形云圖

由圖8可以看出，標定后的鏡面變形云圖同自由諧振振型很相似；從水平標定力的最大值可以看出，隨著校正階數(shù)的增加，最大校正力增大，且所有校正力所做的功符合階數(shù)越大做功越多的原理。

2.3鏡面變形校正計算模擬

設該薄鏡在指向天頂狀態(tài)下，由背部均布的3點支撐，其中支撐半徑為130mm，計算重力作用下的變形，變形云圖如圖9所示，除去剛體位移后的鏡面變形RMS值為545.8nm。

圖9　3點支撐下反射鏡變形云圖

根據(jù)公式（7）計算自由諧振模式下的波前擬合系數(shù)和校正系數(shù)如表3所示。

表3　波前擬合系數(shù)和校正系數(shù)

利用上述計算的校正系數(shù)，根據(jù)公式（9）計算出各點水平校正力的大小，施加到反射鏡模型上，計算鏡面校正變形，模型施加載荷如圖10所示，反射鏡變形云圖如圖11所示。計算結果顯示，除去剛體位移后的鏡面校正變形RMS值為551.2nm。計算可得校正殘余誤差為5.4nm，約為0.0085λ（λ= 633nm）。結果顯示校正效果比較理想。

圖10　水平校正力載荷分布圖

圖11　校正力作用下鏡面變形云圖

3　結論

本文基于自由諧振模式定標原理，提出了一種針對薄鏡面力矩校正模型的模式定標計算方法。以400mm薄鏡作為分析對象，利用上述定標法完成了該薄鏡水平校正力的定標計算，并針對某一工況下薄鏡的變形，進行了相應地校正，結果顯示，校正后鏡面面形的殘余誤差約為5.4nm，校正效果比較明顯。上述結果表明采用力矩校正方式來完成薄鏡面的主動校正是可行的，在目前較為成熟的力校正的基礎上，進一步完善了薄鏡面主動支撐技術，對薄鏡面的支撐技術具有一定的參考價值。

［1］蘇定強，崔向群.主動光學—新一代大望遠鏡的關鍵技術［J］.天文學進展，1999，17（1）：1-14.

［2］崔向群.采用主動光學的大口徑單塊薄鏡面的支撐系統(tǒng)［D］.南京：中國科學院南京天文儀器研制中心，1995.

［3］陳夫林.620mm薄鏡面主動支撐技術研究［D］.北京：中國科學院，2012.

［4］張玉方，李國平.用于薄鏡面主動光學的音圈力促動器設計［J］.光學·精密工程，2013，21（11）：2836-2843.

［5］李宏壯，張景旭，張振鐸，等.620mm薄鏡面主動光學望遠鏡校正實驗［J］.紅外與激光工程，2014，43（1）：166-172.

［6］倪穎，黃啟泰，余景池.超輕超薄反射鏡主動支撐方案優(yōu)化設計［J］.光電工程，2008，35（9）：22-26.

［7］Liu Celia H.Structural analysis and design of adaptive lightweight mirrors［D］.USA：Massachusetts Institute of Technology，1993.

［8］Johannes K D，Robert Honkel，Mathias V A，et al. Development and manufacture of an adaptive lightweight mirror for space application［J］.Smart Materials and Structures，2003，12：1005-1016.

［9］范磊，王志，曹玉巖.基于力矩主動校正的反射鏡支撐分析［J］.紅外與激光工程，2015，44（4）：1273-1277.

［10］Lu Weixin，Zhou Hong，F(xiàn)an Xinlong，et al.Test of aPrototypeofLightweight，ActiveMirrors［C］. SPIE，2014，9280：U1-U6.

［11］王志.碳纖維復合材料的智能復合反射鏡技術研究［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2013，36（6）：6-9.

［12］吳小霞.4m SiC主鏡的輕量化及支撐技術［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2013，36（6）：11-14.

［13］石廣豐，劉麗萍，袁帥.薄膜加載變形的有限元數(shù)值優(yōu)化反演求解［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2011，34（1）：61-70.

Calibration of Moment Correction for Thin Mirror Surface Based on Free Harmonic Vibration Modal

FAN Lei，QIAO Bing，WANG Fuguo
（Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033）

Active correction means for thin mirror surface could be divided into force correction and moment correction. In order to enrich and improve the active support technology in active optics，calibration in free harmonic vibration modal was provided to evaluate the capacity of moment correction for thin mirror.First，the methods of wave front fitting and horizontal corrective force solving for moment correction model in the free harmonic vibration modal were provided.Then，as an analysis object，F(xiàn)E model of a thin mirror with the aperture of 400mm was built and the horizontal corrective forces were calibrated in detail.Last，the coefficients of corrective forces were solved in a load case，and the residual error of surface was 5.4nm after corrected.In conclusion，such active moment correction for thin mirror was effective，and the calibration in free harmonic vibration modal was reasonable.So the study provided an important value to moment correction for mirror surface.

free harmonic vibration modal；active optics；thin mirror；moment correction；FEM

TH761

A

1672-9870（2016）03-0009-05

2016-02-11

范磊（1986-），男，博士，助理研究員，E-mail：fanlei1995@sina.com