構(gòu)形平面方法求解冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

魏延輝，韓寒，于園園，楊子揚(yáng)

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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構(gòu)形平面方法求解冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

魏延輝，韓寒，于園園，楊子揚(yáng)

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

由于冗余機(jī)械臂存在冗余自由度, 導(dǎo)致其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法復(fù)雜。本文依據(jù)構(gòu)形平面的基本理論, 提出了一種快速、簡(jiǎn)潔的冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法。首先對(duì)冗余機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析, 將冗余機(jī)械臂分解成若干個(gè)構(gòu)形平面。然后, 采用構(gòu)形平面匹配方法, 將該機(jī)械臂工作構(gòu)形進(jìn)行位置和姿態(tài)匹配, 同時(shí)采用半解析的方式求得逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。 最后, 對(duì)7自由度冗余機(jī)械臂進(jìn)行仿真計(jì)算, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法求解精度高、求解速度快, 而且避免產(chǎn)生奇異值。

冗余機(jī)械臂；構(gòu)形平面理論；逆運(yùn)動(dòng)學(xué)；空間矢量法；構(gòu)形平面匹配；串聯(lián)機(jī)器人；半解析

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空間機(jī)械臂的末端位姿空間有6個(gè)變量，需要至少6個(gè)自由度以實(shí)現(xiàn)可達(dá)空間內(nèi)的靈活控制。但是6自由度機(jī)械臂的一種末端位姿只對(duì)應(yīng)有限組關(guān)節(jié)角空間的解，機(jī)械臂的操作靈活度不高[1-2]。相對(duì)于6自由度機(jī)械臂，冗余機(jī)械臂具有靈活度更高和避障性能更好的多方面的優(yōu)點(diǎn)，但是逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解比較困難[3]。

在冗余機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)解算問題已經(jīng)進(jìn)行了很多研究工作。文獻(xiàn)[1]采用幾何方法，運(yùn)用特定的尋優(yōu)指標(biāo)，搜索與指定末端位姿對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角空間最優(yōu)解。文獻(xiàn)[3]采用加權(quán)最小范數(shù)法，推導(dǎo)出一種避免計(jì)算雅克比矩陣偽逆的優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[4-5]采用梯度投影算法，將機(jī)械臂之間的最大距離指標(biāo)作為算法的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。文獻(xiàn)[6]采用矢量逼近的控制算法，對(duì)冗余機(jī)器人系統(tǒng)的靈活性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，該方法能夠獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，但是計(jì)算量龐大，而且算法的收斂和實(shí)時(shí)性作業(yè)限制該方法的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]采用的幾何方法雖然精度高、計(jì)算快，但是其求解復(fù)雜，而且僅針對(duì)其對(duì)應(yīng)的機(jī)器臂構(gòu)形不具有通用性。文獻(xiàn)[9]以9自由度機(jī)器人為研究對(duì)象，提出了適于計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算的冗余機(jī)器人在笛卡兒空間進(jìn)行手爪姿態(tài)可變時(shí)的直線軌跡優(yōu)化算法和手爪經(jīng)過空間中任意不共線3點(diǎn)決定的平面內(nèi)圓弧軌跡優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[10]提出一種二次計(jì)算的方法，運(yùn)用梯度投影和固定關(guān)節(jié)組合的方式，提高計(jì)算的精度，但是計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[11]利用改進(jìn)的加權(quán)最小范數(shù)法求解冗余度機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。文獻(xiàn)[12]采用擴(kuò)展雅克比的方法，將空間軌跡作為主要操作任務(wù)，而空間的姿態(tài)作為次級(jí)任務(wù)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)冗余機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)解算。文獻(xiàn)[13]采用了機(jī)器人位置和姿態(tài)進(jìn)行分解方式，將7自由度的冗余機(jī)器人分解成4自由度的位置求解，再利用梯度投影法求解剩余關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)角度。但該方法損失了冗余機(jī)器人的靈活性能。文獻(xiàn)[14]提出一種平面冗余度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)自動(dòng)尋優(yōu)方法。文獻(xiàn)[15]采用螢火蟲群優(yōu)化算法求冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解, 但該方法收斂速度慢。

本文針對(duì)冗余度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法進(jìn)行研究，提出一種運(yùn)用構(gòu)形平面方法快速求解冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，該方法不依賴機(jī)器人構(gòu)形，形式簡(jiǎn)單，降低了求解的難度，減少計(jì)算量，能夠按需要得到優(yōu)化解，具有通用性和快速性。

1　構(gòu)形平面

1.1機(jī)器人常用的工作構(gòu)形

串行形式的機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、控制簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)空間大等優(yōu)點(diǎn)，在生產(chǎn)生活中應(yīng)用最為廣泛。如搬運(yùn)機(jī)器人、點(diǎn)焊機(jī)器人、噴涂機(jī)器人等。經(jīng)典的串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)如圖1所示。

圖1　典型的幾種工業(yè)機(jī)器人Fig.1　Several kinds of typical of industrial robots

從機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、機(jī)構(gòu)的整體設(shè)計(jì)和力學(xué)優(yōu)化等方面因素考慮，串聯(lián)形式機(jī)器人連桿的中心軸線通常是共面的，如圖1(a)和圖1(b)所示。圖1(c)所示的機(jī)械臂，靈活度高，其工作構(gòu)形的連桿中心軸線可拼成2～3個(gè)平面。圖1(d)所示的PUMA560的中心軸線平行于其他連桿組成的平面，這樣使得機(jī)器人關(guān)節(jié)的工作范圍變大。

1.2構(gòu)形平面的引入

根據(jù)前文對(duì)機(jī)器人的工作構(gòu)形特點(diǎn)分析，機(jī)器人三維空間機(jī)構(gòu)可由機(jī)器人連桿中心軸線圍成的空間平面組成，復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)學(xué)問題可轉(zhuǎn)化成二維平面構(gòu)形問題。為此，在文獻(xiàn)[16]的可重構(gòu)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中引入了構(gòu)形平面的概念，解決了一些機(jī)器人構(gòu)形的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題。對(duì)于如圖1(d)引入虛擬構(gòu)形平面的概念。

定義1虛擬構(gòu)形平面：串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)中若干個(gè)連桿的中心軸線組成一個(gè)空間幾何平面，而其他的連桿的中心軸線平行該平面上，可以通過投影簡(jiǎn)化的方法進(jìn)行等效結(jié)構(gòu)處理，形成的空間幾何平面稱為虛擬構(gòu)形平面。

圖2(a)中的擺動(dòng)關(guān)節(jié)1、2的關(guān)節(jié)軸線平行，連桿0和擺動(dòng)關(guān)節(jié)1相連，擺動(dòng)關(guān)節(jié)1、2之間是連桿1，把連桿1、2的中心軸線平移到連桿0所在的平面里(即虛擬構(gòu)形平面處理)，如圖2(b)所示。通過虛擬構(gòu)形平面處理，使得構(gòu)形平面變成統(tǒng)一的形式，便于進(jìn)行構(gòu)形平面的匹配。多角度連接關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖3所示。

圖2　虛擬構(gòu)形平面的平面化處理Fig.2　Plane processing on virtual configuration plane

圖3　多角度連接關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.3　The kinematics model of link module with many connecting angles

按照文獻(xiàn)[16]中構(gòu)形平面的定義，回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)可作為機(jī)器人工作構(gòu)形劃分構(gòu)形平面的依據(jù)。然而由于多角度連接關(guān)節(jié)的存在，使得機(jī)器人拓?fù)錁?gòu)形存在多樣性，在構(gòu)形平面劃分時(shí)需要考慮這種連接關(guān)節(jié)。多角度形式的連接關(guān)節(jié)不具有運(yùn)動(dòng)能力，僅作為運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)之間的連接，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中沒有變量，圖3所示的是一個(gè)連接面繞x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)α角度的連接關(guān)節(jié)，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型:

(1)

式中d為多角度連接關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1.3構(gòu)形平面的表達(dá)形式

為便于構(gòu)形平面匹配，需簡(jiǎn)化其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。構(gòu)形平面以角度連接關(guān)節(jié)和回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)進(jìn)行區(qū)分。當(dāng)角度連接關(guān)節(jié)的連接面的連接角度為0°或180°時(shí)，可通過虛擬構(gòu)形平面的方式處理，使構(gòu)形平面變成統(tǒng)一的形式，以便于進(jìn)行構(gòu)形平面的匹配；否則，該角度連接關(guān)節(jié)可以看作旋轉(zhuǎn)角固定的回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，因此不能采用虛擬構(gòu)形平面處理的方法，使得連桿在一個(gè)虛擬構(gòu)形平面里。

一個(gè)通用形式的構(gòu)形平面如圖4所示， P為該構(gòu)形平面的構(gòu)形平面中心, O為工作構(gòu)形通過虛擬構(gòu)形平面處理后的構(gòu)形平面中心；若無需進(jìn)行虛擬構(gòu)形平面處理，O與P重合；Q為該構(gòu)形平面的第1個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的起始點(diǎn)， O與Q之間存在連接面繞y軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°的連接關(guān)節(jié)，M與N之間存在連接面繞y軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°的連接關(guān)節(jié)，該構(gòu)形平面由n+2個(gè)關(guān)節(jié)組成，Ja+i(i=0,1，…，n+1)為第i個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸線，其中Ja+i(i=0,1，…,n)為搖擺關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線，與Q點(diǎn)坐標(biāo)系的z軸平行；Ja+n+1為回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線，與N點(diǎn)坐標(biāo)系的z1軸平行。

圖4　構(gòu)形平面的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.4　Kinematics model of the configuration plane

經(jīng)過虛擬構(gòu)形平面平面化處理后的附加轉(zhuǎn)換矩陣:

(2)

該矩陣中px、py、pz分別為構(gòu)形平面化處理后的構(gòu)形平面中心補(bǔ)償?shù)娜S空間坐標(biāo)值。

由式(1)可知，Q點(diǎn)和O點(diǎn)的連接面繞y軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°的連接關(guān)節(jié)的數(shù)學(xué)模型用Tang_lOQ表示,d0為該連接關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

構(gòu)形平面k中, 旋轉(zhuǎn)軸為Ja+i(i=0,1,…,n)的擺動(dòng)關(guān)節(jié)或回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(3)

式中θi(i=1,2,…,n+1)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)或擺動(dòng)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角。

由于在構(gòu)形平面k內(nèi)的連桿關(guān)節(jié)是一般形式的連桿關(guān)節(jié)，即連接角度為0，則連桿i(i=1,2,…,n)數(shù)學(xué)模型用模型用Tli表示。構(gòu)形平面內(nèi)移動(dòng)關(guān)節(jié)的數(shù)學(xué)模型用Tpi表示，di、li(i=1,2,…,n)分別是連接關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

依次相連搖擺關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)組成的轉(zhuǎn)換矩陣為

(4)

式中:β=θ1+θ2…+θn,θi(i=1,2,…,n)為第i個(gè)搖擺關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，

當(dāng)?shù)趇個(gè)擺動(dòng)關(guān)節(jié)與其相連的下一個(gè)關(guān)節(jié)不是移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，li=0。否則的話li不等于零。

M點(diǎn)與N點(diǎn)間的連接面繞y軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°的連接關(guān)節(jié)的數(shù)學(xué)模型用Tang_lMN表示，p″y為該連接關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

定義

(5)

構(gòu)形平面k末端點(diǎn)在二維空間相對(duì)P點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)化模型表達(dá)為

(6)

由式(6)可知，構(gòu)形平面中，擺動(dòng)關(guān)節(jié)、移動(dòng)關(guān)節(jié)和連接關(guān)節(jié)完成構(gòu)形平面的位置要求，擺動(dòng)關(guān)節(jié)和回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)完成構(gòu)形平面的姿態(tài)要求。

2　基于構(gòu)形平面的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法

2.1構(gòu)形平面的劃分

根據(jù)文獻(xiàn)[16]定義的構(gòu)形平面和上述引入的虛擬構(gòu)形平面的特點(diǎn)，我們知道在冗余機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，其工作構(gòu)形由若干個(gè)構(gòu)形平面組成，如圖5所示，其中關(guān)節(jié)a是回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)b是多角度連接關(guān)節(jié)?；剞D(zhuǎn)關(guān)節(jié)和多角度連接關(guān)節(jié)是區(qū)分構(gòu)形平面的依據(jù)。組成機(jī)器人工作構(gòu)形的構(gòu)形平面的個(gè)數(shù)小于機(jī)器人的自由度數(shù)，通過對(duì)構(gòu)形平面內(nèi)和構(gòu)形平面間的關(guān)節(jié)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，可以快速求得可冗余機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。

圖5　構(gòu)形平面組成的冗余機(jī)器人工作構(gòu)形Fig.5　The work configuration of redundant robot composed of configuration planes

設(shè)目標(biāo)點(diǎn)的位姿矩陣TS為

(7)

2.2構(gòu)形平面的位置解算

由式(6)可知，構(gòu)形平面中的擺動(dòng)關(guān)節(jié)、移動(dòng)關(guān)節(jié)和連接關(guān)節(jié)完成構(gòu)形平面的位置要求，構(gòu)形平面終點(diǎn)在構(gòu)形平面起點(diǎn)坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)為

(8)

目標(biāo)點(diǎn)的空間坐標(biāo)為

(9)

在位置解算時(shí)，首先把機(jī)器人構(gòu)形看成一個(gè)構(gòu)形平面，由式(7)可得

(10)

由式 (10)可以求得構(gòu)形平面內(nèi)的β(即所有擺動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角之和)的值。

采用如下的方法求θi(i=1,2,…，n-1) (即構(gòu)形平面內(nèi)第i個(gè)擺動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角)的值。

對(duì)于如圖6所示的一般形式的構(gòu)形平面，采用基于矢量投影的方法進(jìn)行自動(dòng)求解，既滿足：

(11)

式中：‖p‖為末端矢量的范數(shù)；ki為第i個(gè)關(guān)節(jié)桿臂在矢量p上投影與該關(guān)節(jié)桿臂的比值，由于矢量投影具有方向性，因此ki具有正負(fù)號(hào)，其表達(dá)式為

(12)

圖6　構(gòu)形平面的二維空間一般形式Fig.6　Two-dimensional space of the general form of the configuration plane

如果兩個(gè)構(gòu)形平面中有一個(gè)構(gòu)形平面的工作空間固定，則這個(gè)構(gòu)形平面的匹配點(diǎn)的空間坐標(biāo)值就是一定的，經(jīng)過構(gòu)形轉(zhuǎn)化后，可直接用矢量投影法求解構(gòu)形平面內(nèi)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。如果兩個(gè)構(gòu)形平面的工作空間都是不確定的，按照前一個(gè)構(gòu)形平面承擔(dān)位置要求，后一個(gè)構(gòu)形平面進(jìn)行位置補(bǔ)充的原則，進(jìn)行構(gòu)形平面的位置匹配。

在多構(gòu)形平面的位置匹配上，關(guān)鍵是在各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)找到構(gòu)形平面間的位置匹配點(diǎn)。按照構(gòu)形平面工作空間的表示方法，在目標(biāo)點(diǎn)和基坐標(biāo)系原點(diǎn)連線的空間矢量上，找到構(gòu)形平面間的匹配點(diǎn)，這樣構(gòu)形平面的位置匹配就確定了。

2.3構(gòu)形平面的姿態(tài)解算

由于構(gòu)形平面內(nèi)的擺動(dòng)關(guān)節(jié)和回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)完成構(gòu)形平面內(nèi)的姿態(tài)要求，上文已完成構(gòu)形平面的位置解算，因此在構(gòu)形平面的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型里只有一個(gè)參數(shù)是未知的，即回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角。假如在冗余機(jī)械臂的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，存在多個(gè)構(gòu)形平面，則需要進(jìn)行多個(gè)構(gòu)形平面的姿態(tài)匹配。把通過構(gòu)形平面位置解算求得的擺動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角之和β代入式(5),則TH為已知量。

設(shè)4個(gè)構(gòu)形平面組成冗余機(jī)械臂的工作構(gòu)形，由式(7)得

(13)

在式(13)中，THi(i=1,2,3,4)是已知量，使得式(13)中等式兩邊矩陣的前三列前三行元素對(duì)應(yīng)相等，即可求得回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角，完成姿態(tài)解算。

值得說明的是，這里所求的各關(guān)節(jié)角值還需要進(jìn)行校驗(yàn)，考查是否超出各關(guān)節(jié)角的運(yùn)動(dòng)范圍，如超出，需在構(gòu)形平面的位置解算部分重新計(jì)算，進(jìn)而直接調(diào)整其他關(guān)節(jié)角。

實(shí)際計(jì)算中，由于三角函數(shù)計(jì)算存在多解的狀態(tài)，需要進(jìn)行選取確定。

3　實(shí)例驗(yàn)證

3.1冗余機(jī)械臂數(shù)學(xué)建模

以文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)的冗余機(jī)械臂作為研究對(duì)象，如圖7所示。該機(jī)械臂由3個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)組成：肩、肘、腕。具有7個(gè)自由度，肩關(guān)節(jié)由3個(gè)自由度，肘關(guān)節(jié)有2個(gè)自由度，腕關(guān)節(jié)也有2個(gè)自由度，按照人體構(gòu)造設(shè)計(jì)。各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍如表1所示。

由于冗余機(jī)械臂可簡(jiǎn)化成7自由度的連桿結(jié)構(gòu)，桿件之間由旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接，每個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)為一個(gè)獨(dú)立自由度，完成單軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)[17]。采用模塊化的建模方法，將各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行分解成單自由度關(guān)節(jié)形式，模型如圖7所示。冗余機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1　冗余機(jī)械臂的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍和連桿參數(shù)

圖7　冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.7　Kinematics model of redundant manipulator

基于模塊建模方法，各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

(14)

式中：θi是第i(i=1,2，…,7)個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2之間是多角度形式的連桿，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(15)

關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3之間是多角度形式的連桿，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(16)

關(guān)節(jié)3、4、5之間是一般形式的連桿，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(17)

(18)

關(guān)節(jié)5和關(guān)節(jié)6之間是多角度形式的連桿，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(19)

關(guān)節(jié)6和關(guān)節(jié)7之間是多角度形式的連桿，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(20)

冗余機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(21)

冗余機(jī)械臂目標(biāo)點(diǎn)的位姿矩陣如下：

(22)

3.2構(gòu)形平面的劃分

根據(jù)冗余機(jī)械臂的工作構(gòu)形參數(shù)可知，參數(shù)d1和d6都為0，意味著O1和O2，O6和O7是兩兩重合的，而由于結(jié)構(gòu)的原因，O1和O2相對(duì)機(jī)械臂原點(diǎn)坐標(biāo)的位置是固定的，而O6和O7相對(duì)機(jī)械臂末端點(diǎn)的位置也是固定的。因此在進(jìn)行機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)求解時(shí)，關(guān)節(jié)1、2、6、7主要承擔(dān)機(jī)械臂末端的姿態(tài)要求。關(guān)節(jié)3、4和5的轉(zhuǎn)動(dòng)軸是相互平行的，其中心軸線組成一個(gè)二維空間的平面，因此這三個(gè)關(guān)節(jié)滿足機(jī)械臂空間位置要求。

按照構(gòu)形平面的定義，回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)作為劃分構(gòu)形平面主要依據(jù)，而該機(jī)械臂的工作構(gòu)形中還存在多角度連接關(guān)節(jié)，如連接關(guān)節(jié)12、23、56和67。把回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)1看成構(gòu)形平面1，連接關(guān)節(jié)12和關(guān)節(jié)2組成構(gòu)形平面2，關(guān)節(jié)3、4、5、6和連接關(guān)節(jié)23、34、45、56組成構(gòu)形平面3，連接關(guān)節(jié)67和關(guān)節(jié)7組成構(gòu)形平面4。由式(6)得

(23)

(24)

(25)

(26)

式(26)中

(27)

3.3構(gòu)形平面的位置解算

由式(7)可知：

(28)

由于d7是已知的，因此T8是已知的，設(shè)TG6=TS·T8-1，把式(22)代入式(28)得

(29)

于是

(30)

由于d1、d6為0，則O1、O2與O0重合,O6與O7重合，可知構(gòu)形平面3承擔(dān)冗余機(jī)械臂末端位置解算。

可知構(gòu)形平面3的中點(diǎn)即點(diǎn)O6的空間坐標(biāo)為

(31)

因此構(gòu)形平面3的起點(diǎn)即O2到構(gòu)形平面3的中點(diǎn)即點(diǎn)O6長(zhǎng)度L為

(32)

在構(gòu)形平面3中，已知L長(zhǎng)度，按照矢量投影的方法，由于是多解的狀態(tài)，也沒有空間避障的要求，而且構(gòu)形平面3中的3個(gè)關(guān)節(jié)角都沒有超出運(yùn)動(dòng)范圍，因采用3個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度相等的方式進(jìn)行求解，易得

(33)

3.4構(gòu)形平面的姿態(tài)解算

把式(33)代入式(26)，可得

(34)

把式(34)代入式(30)，在式(30)中，使得等式兩邊矩陣對(duì)應(yīng)位置的元素相等，可依次求得各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。因此冗余機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解如下：θ1=-11.45°、θ2=34.72°、θ3=15.20°、θ4=15.20°、θ5=15.20°、θ6=-9.04°、θ7=17°。

該方法避免了冗余機(jī)械臂在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過程中出現(xiàn)的奇異值，而且采用半解析的方式，求解精度更高，求解速度更快。

4　結(jié)論

1) 本文通過分析總結(jié)串聯(lián)機(jī)器人工作構(gòu)形的特點(diǎn)，引入虛擬構(gòu)形平面的概念，并提出了構(gòu)形平面理論。進(jìn)而采用構(gòu)形平面方法解決冗余機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。

2) 冗余機(jī)械臂的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可分解為若干個(gè)構(gòu)形平面，通過對(duì)構(gòu)形平面進(jìn)行建模和匹配，實(shí)現(xiàn)冗余機(jī)械臂工作構(gòu)形的位置和姿態(tài)匹配。這鐘方法使得復(fù)雜的機(jī)械臂拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化，而且得到的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解中避免了奇異解的產(chǎn)生。

3) 采用半解析的方式，使得該方法形式簡(jiǎn)潔，具有很高的精度和求解速度，因此具有很強(qiáng)的實(shí)用性和通用性。而且構(gòu)形平面的方法為冗余機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化、軌跡規(guī)劃、空間避障任務(wù)奠定了基礎(chǔ)。

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本文引用格式：

魏延輝，韓寒，于園園，等. 構(gòu)形平面方法求解冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 37(8): 1096-1102.

WEI Yanhui, HAN Han, YU Yuanyuan, et al. Solving inverse kinematics for redundant manipulator using configuration plane method[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(8): 1096-1102.

Solving inverse kinematics for redundant manipulator using configuration plane method

WEI Yanhui, HAN Han, YU Yuanyuan, YANG Ziyang

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Due to the redundancies in the redundant manipulator, its inverse kinematics solution is complex. In this paper, based on the basic configuration plane theory, we propose a method for generating a rapid and concise solution to the inverse kinematics of the redundant manipulator. First, we analyzed the structure of the redundant manipulator and decomposed it into several configuration planes. Then, using the configuration plane matching method to match the position and orientation of the manipulator’s working configuration, we obtained the semi-analytic inverse kinematics solution. Finally, based on the results from a numerical simulation experiment for a 7-DOF redundant manipulator, we verified that the proposed method is fast, generates a highly precise solution, and avoids singular values.

redundant manipulator; configuration plane theory; inverse kinematics; space vector; configuration plane matching; serial robot; semi-analysis

2015-06-26.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-06-24.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51205074)；國(guó)家科學(xué)技術(shù)部國(guó)際科技合作項(xiàng)目(2014DFR10010);高等學(xué)校博士點(diǎn)基金項(xiàng)目(20112304120007)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(HEUCF160403).

魏延輝(1978-), 男, 碩士生導(dǎo)師；

韓寒(1990-), 女,博士研究生.

韓寒, E-mail: hanhan979063996@163.com.

10.11990/jheu.201507059

TG156

A

1006-7043(2016)08-1096-07