適合極端深水的雙層高階Boussinesq水波方程

劉忠波，房克照，孫昭晨

(1.大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧 大連 116026； 2.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023；3.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410076)

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適合極端深水的雙層高階Boussinesq水波方程

劉忠波1,2,3，房克照2，孫昭晨2

(1.大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧 大連 116026； 2.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023；3.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410076)

為精確描述深水強(qiáng)非線性波浪運(yùn)動(dòng)，本文推導(dǎo)了適用于極端水深、具有高精度色散和非線性特征的雙層Boussinesq水波方程。首先把流體虛擬地劃分為上下兩層，對(duì)上下兩層的速度勢(shì)分別在靜水面處和交界面處沿水深做泰勒展開(kāi)，任一點(diǎn)速度可用此兩處速度表達(dá)；其次在兩層流體的中間水深位置上選擇速度變量，進(jìn)一步用兩個(gè)計(jì)算水平速度矢量和兩個(gè)垂向速度分量取代它們，依此速度表達(dá)流場(chǎng)內(nèi)任一水深處的速度；最后結(jié)合自由表面的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程、交界面上速度相等以及海底邊界條件，推導(dǎo)了雙層高階Boussinesq水波方程。對(duì)該方程進(jìn)行傅立葉分析，方程色散關(guān)系式為Padé(18,20)，當(dāng)分層位置為0.12倍靜水深時(shí)，該方程具有非常優(yōu)良的線性和非線性性能。在1%誤差下，相速度適用水深可達(dá)kh=210，沿水深的速度剖面分布最大適用水深可達(dá)kh=114，二階和差頻最大適用水深可達(dá)kh=103。

Boussinesq水波方程；計(jì)算速度；色散性；非線性；和差頻；速度剖面

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160704.1436.006.html

自1999年起開(kāi)始出現(xiàn)具有強(qiáng)色散性和非線性的Boussinesq水波方程以來(lái)，Agnon等首次將非線性和色散性分離，實(shí)現(xiàn)了非線性也可以適用于kh=6(k為波數(shù)，h為水深)的情況[1]。然而此方程速度剖面精度不高，Madsen和他的合作者們開(kāi)展了一系列開(kāi)創(chuàng)性的學(xué)術(shù)研究。Madsen等導(dǎo)出的方程具有優(yōu)良的色散性、非線性等特征，在1%誤差下，該方程的色散適用最大水深為kh=40，非線性特征(和頻、差頻和二階非線性)可以適合kh=25.2的水深，沿水深的速度分布適用水深約為kh=10[2-4]。為避免求解空間5次導(dǎo)數(shù)的難度，一些學(xué)者推導(dǎo)了最高空間導(dǎo)數(shù)為3階的方程[5-10]，如Lynette和Liu等采用對(duì)水體進(jìn)行虛擬分層，推導(dǎo)了2-4層Boussinesq水波方程，4層模型色散適用水深可達(dá)到30左右[6]。 雖然Madsen等導(dǎo)出的Boussinesq方程是最具代表性的[2-4]，但其速度剖面精度不高。為了要改善這一方面性能，開(kāi)展了適合極端水深的雙層Boussinesq水波方程理論研究工作。

1　雙層Boussinesq方程的理論推導(dǎo)

以靜水面為坐標(biāo)橫軸，z軸鉛垂向上?？紤]水深h為常數(shù)，將整個(gè)流體分成兩層，交界面位于z=-h1處，其也是一常數(shù)。在考慮流體無(wú)旋、無(wú)粘情況下，上下兩層流體存在速度勢(shì)Φ和ψ[7-9]，兩個(gè)速度勢(shì)滿足Laplace方程。

1.1控制方程

上部流體存在自由波面，在自由面上滿足連續(xù)性條件及動(dòng)力學(xué)邊界條件，控制方程為[1-3]

(1)

(2)

(3)

式中:η為波面升高，uη和wη在自由水面上水平速度矢量和垂直分量，水平梯度算子)。

流體內(nèi)，速度勢(shì)滿足：

(4)

(5)

交界面上滿足：

(6)

在海底邊界z= -h上，速度勢(shì)ψ滿足：

(7)

1.2基于z= zα處速度(uα，wα)和z= zβ處速度(uβ，wβ)的表達(dá)形式

將速度勢(shì)Φ做關(guān)于水深z的泰勒展開(kāi)[2-3]，將其分解成為水平速度勢(shì)與垂直變量z的乘積，將其代入方程(4)，并利用靜水面處速度(u10, w10)信息可確定上部流體任意水深處的速度；類似地處理下部流體ψ，對(duì)其關(guān)于(z+h1)做泰勒展開(kāi)[7-9]，并利用式(6)，將下部流體速度與交界面處下部流體的速度(u20, w20)相關(guān)聯(lián)，最終可以得到

(8)

(9)

(10)

(11)

其中,x=(x, y),cos和sin運(yùn)算符為泰勒展開(kāi)：

(12)

根據(jù)表達(dá)式(8)～(11)，在z = zα(zα=-αh)和z= zβ(zβ=-βh)的速度可寫為

(13)

(14)

(15)

(16)

任意水深處的速度可用兩個(gè)特定位置處的速度信息表示，即

(17)

(18)

(19)

(20)

在兩層流體交接面處滿足:

(21)

(22)

在水底處滿足:

(23)

注意到本文研究限于常水深情況，故在以上所有替換過(guò)程中，表達(dá)式中不含水深導(dǎo)數(shù)。

為便于后文推導(dǎo)和數(shù)值求解的可能性，將任意水深處速度對(duì)應(yīng)于cos和sin運(yùn)算符均取前3項(xiàng)，即表達(dá)式中的無(wú)窮大取值為2。Madsen等研究表明用截?cái)嗵├照归_(kāi)的方式不足以在很大程度上提高方程的色散精度[2-3]，為此本文也將在1.2節(jié)中的兩個(gè)速度轉(zhuǎn)換成為計(jì)算速度，速度之間的關(guān)系表示如下:

(24)

(25)

根據(jù)Agnon等和Madsen等的研究結(jié)果[1-3]，當(dāng)截?cái)囗?xiàng)為3時(shí)，系數(shù)取值為

(26)

當(dāng)截?cái)囗?xiàng)為2時(shí)，系數(shù)取值為

(27)

將式(24)代入式(17)～(20),上部水體任意點(diǎn)處的速度表達(dá)為

(28)

(29)

下部水體任一點(diǎn)速度的表達(dá)為

(30)

(31)

其中系數(shù)取值為

在交界面處，有

(32)

(33)

以上方程中的系數(shù)中是將z=-h1代入即可。方程(32)和(33)右端表明下部流體的速度表達(dá)式是Padé逼近型，但左端均不是，因此必須對(duì)上部流體對(duì)照的zα予以特定設(shè)置，即

(34)

為避免類似Madsen等[2]處理海底邊界時(shí)采用的一個(gè)M算子，本文將zβ設(shè)定在下部流體的中間部分，即

(35)

對(duì)應(yīng)的海底邊界條件為

(36)

式(36)中的系數(shù)中的z取值為-h。

自由面處的速度及靜水面上的速度表達(dá)形式為

(37)

(38)

(39)

(40)

方程(1)、(2)和連接處方程(32)和(33)、海底處方程(36)以及(37)～(40)構(gòu)成本文的雙層高階Boussinesq水波方程，以下簡(jiǎn)稱模型1。該模型是對(duì)Madsen等給出的單層高階Boussinesq水波方程的拓展[2]。模型1對(duì)應(yīng)著sin和cos截?cái)囗?xiàng)均是3項(xiàng)的情況，當(dāng)截?cái)囗?xiàng)為2時(shí)，則可忽略所有速度表達(dá)式中3次以上的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，此時(shí)表達(dá)式(30)～(31)中的系數(shù)取值為

此模型以下簡(jiǎn)稱為模型2。

2　Boussinesq方程性能的理論分析

下面研究方程在色散性、非線性(波-波相互作用的和差頻)以及速度沿垂向上的分布等方面的性能。

2.1色散性

忽略方程的非線性，方程(1)、(2)、(32)～(34)、(37)～(40)可寫為

(41)

(42)

優(yōu)化方程的色散性是通過(guò)以下過(guò)程實(shí)現(xiàn)的：從0到指定水深范圍內(nèi)將方程的相速度與線性解析解的均方誤差和累加，使其取最小值，從而確定參數(shù)α的取值，即采用式(43)的誤差最小時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。

(43)

當(dāng)κ0=100時(shí)，可以優(yōu)化出來(lái)α=0.059 6，近似地取α=0.06，此時(shí)水深h1=0.12h。我們也將α為0.1、0.25對(duì)應(yīng)相速度的計(jì)算結(jié)果一并繪制在圖1中。

圖1　模型1的相速度Fig.1　Phase celerity of model 1

由圖1可見(jiàn)，當(dāng)α=0.06時(shí)，1%誤差對(duì)應(yīng)著的最大水深kh=210。同樣地對(duì)模型2也進(jìn)行了優(yōu)化，取κ0=25時(shí)，參數(shù)值為0.121 6，近似地取α=0.12，分層水深h1=0.24h，方程的相速度見(jiàn)圖2，1%相速度誤差對(duì)應(yīng)著的kh=48。以上表明模型1和模型2均有很高的色散精度。

圖2　模型2的相速度Fig.2　Phase celerity of model 2

2.2速度剖面

模型1沿水深的水平與垂直速度分量與解析解的比較見(jiàn)圖3。由圖可見(jiàn)，速度與解析解吻合程度良好。為分析沿水體垂向的速度誤差，我們采用Madsen等給出的表達(dá)式[2]：

(44)

用式(44)定義計(jì)算出來(lái)的速度誤差見(jiàn)圖4.1%誤差下，水平和垂直速度適用水深kh分別是114和119，這表明提高了方程的色散精度，速度沿水深分布的特征也十分精確。沿垂向水深上，模型2水平與垂直速度分量與解析解的對(duì)比在圖5中給出，相應(yīng)的誤差見(jiàn)圖6。由圖可見(jiàn)，1%誤差下，F(xiàn)u和Fw適用水深kh均是19.2。

圖3　模型1的速度剖面(實(shí)線代表理論解, 虛線代表模型1)　　　　　Fig.3　Vertical profile of velocities for model 1(solid line is for analytical solution, and dash line is for model 1)

圖4　模型1的速度誤差Fig.4　Velocity errors of model 1

圖5　模型2的速度剖面(實(shí)線代表理論解,虛線代表模型2)　　　　　　Fig.5　Vertical profile of velocities for model 2(solid line is for analytical solution, and dash line is for model 2)

圖6　模型2的速度誤差Fig.6　Velocity errors of model 2

2.3波-波相互作用的和差頻

準(zhǔn)確再現(xiàn)非線性波-波相互作用的演化過(guò)程，闡釋非線性波-波相互作用機(jī)理，勢(shì)必要求數(shù)學(xué)模型除了優(yōu)秀的色散性外，還應(yīng)具備良好的和差頻性能。一般來(lái)說(shuō)，將方程關(guān)于波-波相互作用和差頻的理論計(jì)算結(jié)果與相關(guān)解析解結(jié)果進(jìn)行比較，來(lái)考察各類Boussinesq方程的非線性性能[1-3,5,8-9]。

圖7和圖8中分別給出了模型1的參數(shù)取值α=0.06和模型2中α取值0.12的計(jì)算結(jié)果。由圖可見(jiàn)，模型1也具有極佳的非線性性能，1%誤差下和差頻的最大適用水深kh分別為140、103。1%誤差下模型2和差頻的適用水深kh分別是35、28。

圖7　模型1的和差頻Fig.7　Super-and sub-harmonics of model 1

圖8　模型2的和差頻Fig.8　Super-and sub-harmonics of model 2

2.4比較分析

將本文方程在相速度、沿水深分布的速度、和差頻等3方面性能與Madsen等的方程[2-3]、Lynett和Liu[6]的4層模型的加以比較，并匯總于表1，由表可見(jiàn)，模型1具有無(wú)比優(yōu)良的色散性和非線性特征。

1)模型1比Madsen等模型(高階)的速度分布特征更勝一籌，這是因?yàn)榍罢叨嘁胍粚拥乃俣刃畔?。?層信息使得方程的解更能接近Laplace理想解，因而對(duì)應(yīng)方程的色散性和非線性精度也大幅度提高。Agnon等成功分離非線性與線性，推導(dǎo)出來(lái)的方程非線性與色散性一樣達(dá)到很高的精度[1]；Madsen等在Agnon等研究基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了色散性和非線性精度的突破[2-3]；本文在Madsen等研究基礎(chǔ)上，采用了分層的理念，最終實(shí)現(xiàn)了在色散和非線性等性能方面質(zhì)的飛躍，特別是速度分布適用范圍更大，其是Madsen等方程的11.4倍。

2)與模型Madsen等、Lynett和Liu[6]的4層模型相比，模型2在線性和非線性等性能更好，這是因?yàn)镸adsen等模型色散關(guān)系式是Padé(8, 10)，模型2是Padé(10, 12)，而Lynett和Liu[6]的則是Padé(8, 8)。Lynett和Liu的4層模型水平速度為二次表達(dá)式，垂向速度是線性分段的，而本文模型2的水平速度和垂向速度均是互耦的，最高次均是3次，因而垂向速度和水平速度的精度都很高。在展開(kāi)過(guò)程中，必須保證垂直速度和水平速度展開(kāi)項(xiàng)是互耦才能提高方程的性能。而傳統(tǒng)Boussinesq方程推導(dǎo)過(guò)程中將垂向速度用低階的水平速度來(lái)表達(dá)，這導(dǎo)致垂向精度都不如水平速度的精度高。

3)模型1、2均含9個(gè)變量(水平速度矢量看成1)，差別在于模型1含高階項(xiàng)，其是導(dǎo)致模型1具備更優(yōu)良性能的主因，但這給數(shù)值求解帶來(lái)了巨大挑戰(zhàn)；而模型2最高空間導(dǎo)數(shù)是3次，更便于數(shù)值計(jì)算。

表1　表1不同模型最大適用水深比較(1%誤差內(nèi))

3　結(jié)論

從Laplace控制方程出發(fā)，推導(dǎo)出了兩組適合極端深水的雙層Boussinesq水波方程，并對(duì)模型進(jìn)行了理論分析，研究結(jié)果表明：

1)雙層Boussinesq水波方程的線性、非線性性能在更大范圍內(nèi)與解析解較為吻合，且超過(guò)了Madsen等學(xué)者的單層模型的水深適用范圍，這說(shuō)明雙層概念的引入來(lái)拓展Boussinesq適用性是非常有效的。

2)雙層Boussinesq水波方程的速度適用范圍大約是單層模型的5倍左右，雙層概念的引入促使方程具備更佳的速度剖面特性，這說(shuō)明雙層模型的速度更逼近于解析解。

以上兩點(diǎn)也說(shuō)明，若將水體分成更多層，則方程在線性和非線性等方面的精度將會(huì)進(jìn)一步提高。此外，本文模型針對(duì)常水深情況導(dǎo)出的，下一步將對(duì)方程進(jìn)行拓展，使其適于變水深情況。

[1]AGNON Y, MADSEN P A, SCHFFER H A. A new approach to high-order Boussinesq models[J]. Journal of fluid mechanics, 1999, 399: 319-333.

[2]MADSEN P A, BINGHAM H B, LIU Hua. A new Boussinesq method for fully nonlinear waves from shallow to deep water[J]. Journal of fluid mechanics, 2002, 462: 1-30.

[3]MADSEN P A, BINGHAM H B, SCHFFER H A. Boussinesq-type formulations for fully nonlinear and extremely dispersive water waves: derivation and analysis[J]. Proceedings of the royal society A, 2003, 459(2033): 1075-1104.

[4]MADSEN P A, AGNON Y. Accuracy and convergence of velocity formulations for water waves in the framework of Boussinesq theory[J]. Journal of fluid mechanics, 2003, 477: 285-319.

[5]LYNETT P, LIU P L F. A two-layer approach to wave modeling[J]. Proceedings of the royal society A, 2004, 460(2049): 2637-2669.

[6]LYNETT P, LIU P L F. Linear analysis of the multi-layer model[J]. Coastal engineering, 2004, 51(5/6): 439-454.

[7]劉忠波, 房克照, 孫昭晨. 適合可滲海床上波浪傳播的高階Boussinesq方程[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 34(9): 1100-1107.

LIU Zhongbo, FANG Kezhao, SUN Zhaochen. High order Boussinesq equations for wave propagation over permeable seabed[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2013, 34(9): 1100-1107.

[8]LIU Zhongbo, FANG Kezhao, Lü Lin. A double-layer depth-averaged Boussinesq model for water wave[J]. Journal of ship mechanics, 2015, 19(9): 1072-1084.

[9]LIU Zhongbo, FANG Kezhao. Two-layer Boussinesq models for coastal water waves[J]. Wave motion, 2015, 57: 88-111.

[10]趙彬彬, 段文洋. 全非線性深水波的Green-Naghdi理論研究[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 30(8): 860-866.

ZHAO Binbin, DUAN Wenyang. Research on the Green-Naghdi theory for fully nonlinear deep water waves[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2009, 30(8): 860-866.

本文引用格式：

劉忠波，房克照，孫昭晨. 適合極端深水的雙層高階Boussinesq水波方程[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 37(8): 997-1002.

LIU Zhongbo,FANG Kezhao , SUN Zhaochen. Two-layer high-order Boussinesq model for water waves in extremely deep water[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(8): 997-1002.

Two-layer high-order Boussinesq model for water waves in extremely deep water

LIU Zhongbo1,2, 3,FANG Kezhao2, SUN Zhaochen2

(1. Transportation Management College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China; 2. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology Dalian, 116024, China; 3. Key Laboratory of Water & Sediment Science and Water Hazard Prevention of Hunan Province, Changsha University of Technology, Changsha, 410114, China)

To accurately describe strongly nonlinear wave motion in deep water, a new two-layer Boussinesq model for water waves is derived in this paper with excellent dispersive and nonlinear properties in extremely deep water. First, we separated the fluid into two parts: the upper layer and lower layer. Then, using Taylor expansion, we expanded the velocity potential in the vertical direction at the still water surface and interface, and the velocity at arbitrary water depths can be expressed by the velocities defined atz=0 andz=-h1, respectively. Second, we replaced these two velocities defined at z=0 andz=-h1with two velocities defined at midwater depths within the two layers, which were further replaced by two computational velocities. Then, other velocities at arbitrary water depths could be expressed by these computational velocities. Finally, by applying this velocity information to dynamic and kinematic equations at the surface elevation to the velocity connection condition atz=-h1and to the bottom condition, we derived a two-layer Boussinesq model. A Fourier analysis is conducted to this model, and the linear dispersion expression is Padé (18, 20). Moreover, when the interface water depth is set toh1= 0.12h, the model exhibits extremely dispersive and highly nonlinear properties. Within 1% error, the model can be applicable to maximum water depthskh=210 for phase celerity,kh=114 for vertical profile of the velocities, andkh=103 for super-and sub-harmonics.

Boussinesq wave equations; computational velocity; dispersion; nonlinearity; super-and sub-harmonics; velocity profile

2016-03-18.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-07-04.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51579034)；遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(2015062)；水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目(2015SS01)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(3132016052).

劉忠波(1976-), 男, 副教授，博士；

孫昭晨(1960-)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

劉忠波,E-mail: zhongbo_liu1976@163.com.

10.11990/jheu.201603065

O353.2

A

1006-7043(2016)08-0997-06