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      例談“三角代換”法證明不等式

      2016-09-16 06:13:13洪木山福建省南安第一中學(xué)
      新課程(中學(xué)) 2016年7期
      關(guān)鍵詞:變元南安福建省

      洪木山(福建省南安第一中學(xué))

      例談“三角代換”法證明不等式

      洪木山
      (福建省南安第一中學(xué))

      變量代換是解決數(shù)學(xué)問題的常用技巧,在高考試卷特別是數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)頻繁。對于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,變元較多而變化關(guān)系不太清楚的不等式,可以適當引進一些新變量替換(或者部分替換)原來的變量,從而簡化結(jié)構(gòu),凸顯特征,是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)。三角代換是一種常用的代換方法,下面通過舉例子來說明用“三角代換”法證明不等式。

      例1.設(shè)x1,x2,y1,y2∈R,證明

      當x1,x2,y1,y2不全為零時,其中等號當且僅當cos(α-β)=±1時取得,

      即當x1=λx2,y1=λy2時,等號成立。

      于是y2≤n2-m,即故原不等式得證。

      說明:兩道題的證明都采用了三角代換的技巧,事實上形如a2+b2≤r2的結(jié)構(gòu)均可以考慮作類似的三角代換。三角代換不止于此,還可以將代數(shù)等式或不等式與三角恒等式進行類比,從而得到所需要的形式新穎的不同代換。

      ·編輯王團蘭

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