不等式恒成立問題的求解方法探析

黃秋蘭（江西省南昌市第十六中學(xué)）

不等式恒成立問題的求解方法探析

黃秋蘭
（江西省南昌市第十六中學(xué)）

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，而不等式恒成立問題更是高考的重點(diǎn).不等式恒成立問題把數(shù)學(xué)中有關(guān)不等式、函數(shù)、三角、幾何、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合，其既具綜合性較強(qiáng)，覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，解題方法靈活等特點(diǎn)，又能有效地考核對(duì)所蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)思想和方法的掌握.但學(xué)生遇到這類問題時(shí)，卻較難找到解題的切入點(diǎn)和突破口，因此它也是教學(xué)的難點(diǎn).

不等式；恒成立；函數(shù)

本文通過結(jié)合實(shí)例來(lái)探析解決這類問題的常用策略以及數(shù)學(xué)思想方法.

一、變量分離法

對(duì)于一些含參數(shù)的不等式問題，通過將不等式同解變形，使不等式中的變量和參數(shù)分離，再通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題.

例1.若對(duì)于任意角總有sin2θ+2m cosθ+4m-1＜0成立，求m的取值范圍.

解析：此式是可分離變量型，由原不等式得2m（cosθ+2）＜cos2θ，又cosθ+2＞0，則原不等式等價(jià)變形為恒成立.因此，2m必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值.因?yàn)?/p>

即cosθ=0時(shí)，有最小值為0，故m＜0.

一般地，若f（a）≥g（x）恒成立，只須求出g（x）max，則f（a）≥g（x）max，（若f（a）≤g（x）恒成立，只須求出g（x）min，則f（a）≤g（x）min），然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍，問題關(guān)鍵還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.

二、主元變更法

在解決某些含參數(shù)不等式恒成立問題時(shí)，應(yīng)克服思維的定勢(shì)和認(rèn)識(shí)上的習(xí)慣，常量與變量是相對(duì)的，在主元與參量交織在一起時(shí)，要敏銳地捕捉到主元，建立關(guān)于主元的函數(shù).

例4.對(duì)于滿足0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)p，不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，求x的取值范圍.

分析：我們的學(xué)生習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，若記函數(shù)y=x2+ （p-4）x+3-p，于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)p∈［0，4］時(shí)y＞0恒成立，求x的范圍.解決這個(gè)問題常需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實(shí)根分布原理，這就復(fù)雜了.但若能把x與p兩個(gè)量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問題可轉(zhuǎn)化為在［0，4］內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題，問題就簡(jiǎn)化了.

解：設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，當(dāng)x=1時(shí)顯然不滿足題意.

由題設(shè)知當(dāng)0≤p≤4時(shí)f（p）＞0恒成立，f（0）＞0，f（4）＞0即x2-4x+3＞0且x2-1＞0，解得x＞3 或x＜-1.x的取值范圍為x＞3或x＜-1.

三、數(shù)形結(jié)合法

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處.在不等式恒成立問題中利用數(shù)形結(jié)合同樣有重要意義.將不等式兩端的式子分別看作兩個(gè)函數(shù)，且正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，

因此，當(dāng)前物理教學(xué)仍應(yīng)重視實(shí)驗(yàn)教學(xué)，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

1.教導(dǎo)學(xué)生對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行觀察和分析

在觀察某一個(gè)物理現(xiàn)象時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察這一現(xiàn)象產(chǎn)生的條件，要對(duì)相似實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比。例如，在開展摩擦起電的現(xiàn)象時(shí)，要讓學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注以下幾點(diǎn)：（1）頭發(fā)摩擦過的塑料尺對(duì)小碎紙產(chǎn)生什么效果？（2）用頭發(fā)摩擦過的兩把塑料尺相互靠近時(shí)，會(huì)有何種現(xiàn)象？（3）分別用毛皮摩擦過的橡膠棒和用絲綢摩擦過的玻璃棒相互靠近時(shí)，又會(huì)產(chǎn)生怎樣的現(xiàn)象？通過分析對(duì)比，學(xué)生會(huì)明白摩擦起電的實(shí)質(zhì)。不少學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)觀察，不但了解了教師教學(xué)的重點(diǎn)，加深了對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的理解，同時(shí)也加強(qiáng)了觀察力。

2.通過物理實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的能力

在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，要注重學(xué)生實(shí)驗(yàn)技能的培養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力。開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)前，教師首先講解相關(guān)實(shí)驗(yàn)的理論知識(shí)，講述實(shí)驗(yàn)儀器的正確使用方法，強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)儀器的使用注意事項(xiàng)，講解讀數(shù)、計(jì)數(shù)的方法，幫助學(xué)生高效準(zhǔn)確地完成實(shí)驗(yàn)，得到正確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。例如，在使用螺旋測(cè)微器測(cè)量小球直徑時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)螺旋測(cè)微器調(diào)零操作，避免學(xué)生因?yàn)檎{(diào)零不準(zhǔn)而造成讀數(shù)錯(cuò)誤。另外，教師還應(yīng)反復(fù)讀數(shù)原理，加強(qiáng)學(xué)生的讀數(shù)練習(xí)，防止學(xué)生不明讀數(shù)規(guī)則而錯(cuò)讀。通過多次實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以掌握基本的實(shí)驗(yàn)技巧，具備動(dòng)手操作的能力，打好實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)到了實(shí)驗(yàn)技巧，同時(shí)鍛煉了動(dòng)腦思考實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的能力。

3.通過物理現(xiàn)象，加強(qiáng)學(xué)生的分析能力

物理實(shí)驗(yàn)不僅可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的掌握，同時(shí)也能促進(jìn)學(xué)生分析案例和解決實(shí)際相關(guān)問題的能力。例如，在利用實(shí)驗(yàn)引入重力加速度時(shí)，細(xì)心的同學(xué)會(huì)觀察到，金屬球和紙片在同一高度自由下落時(shí)，金屬球先著地；但兩個(gè)質(zhì)量相差很大的金屬球在同一高度自由下落時(shí)，兩球同時(shí)著地。此時(shí)，問題就產(chǎn)生了，為什么會(huì)有這樣的現(xiàn)象？學(xué)生就會(huì)通過所學(xué)知識(shí)加以分析，原來(lái)紙片在空氣中受到的阻力較大，因而后著地。在此過程中，學(xué)生對(duì)這個(gè)現(xiàn)象加以分析，產(chǎn)生疑惑，并通過對(duì)比，最終得出結(jié)果。這一系列過程，學(xué)生不僅培養(yǎng)了分析能力，同時(shí)也加強(qiáng)了解決問題的能力。

總之，物理是一門以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和觀察現(xiàn)象為重中之重的學(xué)科。在實(shí)際教學(xué)過程中，物理教師應(yīng)當(dāng)合理利用這一特殊優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中。通過物理實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦、合作交流的能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生樂趣，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

王能宏.如何提高初中物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有效性［J］.新課程學(xué)習(xí)：中，2011（5）.

·編輯李琴芳