微積分思想在物理教學(xué)應(yīng)用中的探討

牛艷秋

（吉林建筑大學(xué)　城建學(xué)院，吉林　長(zhǎng)春　130111）

微積分思想在物理教學(xué)應(yīng)用中的探討

牛艷秋

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130111）

微積分在物理中有著廣泛的應(yīng)用，解決物理問(wèn)題的過(guò)程中有很多數(shù)學(xué)思想容易被忽略，不利于學(xué)生對(duì)解題方法的理解和掌握，也是學(xué)習(xí)物理理論感到困難的重要原因，本文給出了利用數(shù)學(xué)解題思想來(lái)解決物理問(wèn)題的一點(diǎn)建議.

微積分；物理；微元法

微積分是一種數(shù)學(xué)思想，微分是“無(wú)限細(xì)分”，積分是“無(wú)限求和”，無(wú)限就是極限，因此，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，他是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問(wèn)題.在大學(xué)物理中從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)到質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)，從功和能到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，從靜電場(chǎng)到穩(wěn)恒磁場(chǎng)，都要應(yīng)用微積分來(lái)分析解決.因此，微積分在大學(xué)物理課程中有著廣泛而重要的應(yīng)用.

在大學(xué)物理中應(yīng)用微積分，不論是教材還是教師講課很少與微積分中處理變化的量的數(shù)學(xué)思想（即：分割、近似、取極限的思想）相聯(lián)系，而是直接寫(xiě)出所研究物理量的微元，然后求微分或積分，這樣不利學(xué)生對(duì)所講方法的理解和掌握，也是很多人學(xué)習(xí)物理理論感到困難的一個(gè)重要原因.

1　用微積分的方法解決速度和加速度問(wèn)題

設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律按照我們初中學(xué)習(xí)的定義會(huì)得出：S=υt其中t是時(shí)刻，S是位移.下面討論物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度.當(dāng)時(shí)刻由t0變到t0+△t時(shí)，物體的位移由f（t0）變到f（t0+△t）.這段時(shí)間物體走過(guò)的路程為△S=f）其平均速度為.當(dāng)時(shí)間間隔很小時(shí)可以看成物體在時(shí)刻t0的速度的近似值.△t越小，近似程度越高，把當(dāng)△t→0時(shí)的平均速度的極限值成為該物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度（也稱速度）即：

再如在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度均勻變化，速度變化快慢的物理量加速度就可以將△t→0的平均加速度的極限值稱為該物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度（也稱加速度）表示為

通過(guò)上述內(nèi)容我們可以看出，整個(gè)過(guò)程中我們就是通過(guò)分割、近似、取極限的思想來(lái)將質(zhì)點(diǎn)的位移△S與完成這段位移所需的時(shí)間△t的比值取極限來(lái)得到速度和加速度的瞬時(shí)值，也就是利用的導(dǎo)數(shù)概念，此時(shí)學(xué)生才能夠在物理中融入數(shù)學(xué)思想可讓學(xué)生更好的理解和掌握物理概念.

2　用微積分方法解決變力作功的問(wèn)題

在力學(xué)、熱力學(xué)中經(jīng)常會(huì)有求變力作功的問(wèn)題.例如：從10m深的井中，把10kg的水勻速上提，設(shè)每升高1m漏去0.2kg水（.1）畫(huà)出示意圖，設(shè)置坐標(biāo)軸后，寫(xiě)出外力所作功元的表示式；（2）計(jì)算把水從水面提高到井口外力所作的功.

求變力作功的實(shí)質(zhì)就是先把物體的運(yùn)動(dòng)軌跡分成許許多多小位移元求出功元，然后求總功

根據(jù)上述，首先假設(shè)井水水面到地面的距離h不因提水而改變.在水面上建立坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為y軸正向，建立坐標(biāo)系如圖1，則有漏水率為當(dāng)水桶上升的高度為y時(shí)，桶中水的質(zhì)量為（10-0.2y）kg.水桶勻速上升，提升力F應(yīng)等于水桶重量，即F=（10-0.2y）g.由y處再上升d y高度，F(xiàn)可視為不變，則提升力（外力）所作功元為：

圖1　

把水從水面提到井口外力所作功：

在計(jì)算的過(guò)程中，先簡(jiǎn)單地給出所研究的物理量的微元，再求微分和積分來(lái)解答所求的問(wèn)題.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決上述問(wèn)題首先考慮微元的選取是怎樣來(lái)的，我們通過(guò)微積分方法把大學(xué)物理中變化的量轉(zhuǎn)化為不變的量，將位移S分割成無(wú)數(shù)個(gè)小位移元d s看成是一點(diǎn)，其中F為不變量，由W=F·s可知這一點(diǎn)的功元就得，功元求出后，對(duì)無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)求和，也就是積分，進(jìn)一步求出變力在整個(gè)物理過(guò)程中做的總功.

3　用微積分方法解決剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題

使用微積分解決物理中的問(wèn)題，同樣遵循最基本的數(shù)學(xué)思想，取微元是計(jì)算各種積分的基礎(chǔ)，解題過(guò)程中直接給出公式那有的同學(xué)就會(huì)疑問(wèn)這個(gè)公式是怎樣來(lái)的，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，我們將小棒分割，近似的把每一段看成一個(gè)點(diǎn)，那么在這一點(diǎn)上我們所要求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就為r2d m，整個(gè)棒上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是對(duì)無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求和，即求積分，就得出在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中它是非常重要的，首先要保證在選取的微元內(nèi)能近似處理成簡(jiǎn)單基本的物理模型，以便于分析物理問(wèn)題；其次要盡量把微分元選取的大，這樣可使積分運(yùn)算更加簡(jiǎn)單，以便于解決物理問(wèn)題.

例如求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面兩種給定的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

（1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直；

（2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并與棒垂直.

圖2　

4　用微積分解決電磁學(xué)的問(wèn)題

圖3　

（1）求帶電直線周?chē)稽c(diǎn)p的電場(chǎng)強(qiáng)度問(wèn)題，就是先把帶電直線分成許許多多小電荷元d q，求出各電荷元在p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度元，整個(gè)帶電直線在p點(diǎn)的總電場(chǎng)（如圖3）

用數(shù)學(xué)形式來(lái)表示大學(xué)物理中的物理現(xiàn)象和規(guī)律具有明確意義，使用微分來(lái)表示物理量和物理公式，使得問(wèn)題由復(fù)雜變得簡(jiǎn)單化.

圖4　

如圖4所示，在一無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的近旁放置一矩形導(dǎo)體線框.該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v向右運(yùn)動(dòng).求在圖示位置處線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小.

解1當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，線框中的總電動(dòng)勢(shì)就等于框上各段導(dǎo)體中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和.導(dǎo)體框中水平兩段上的電動(dòng)勢(shì)為零，可求豎直兩段的電動(dòng)勢(shì)，和即為總的電動(dòng)勢(shì).則總的電動(dòng)勢(shì)為：

先求任意時(shí)刻穿過(guò)線框的磁通量?，再求電動(dòng)勢(shì)ε.

設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫€框回路的正向.在任意處距導(dǎo)線y處（即設(shè)圖中的d為一般值y），穿過(guò)線框的磁通量為

當(dāng)y=d時(shí)，得線框在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)為

由ε＞0可知，線框中電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?

從上面的例子可以看出積分微元的選取不唯一，在每一種積分微元中近似成的物理模型是不同的，不管選取怎樣的微元來(lái)分析計(jì)算，其結(jié)果都相同，都是問(wèn)題的精確解.這也體現(xiàn)了微積分分析方法的神奇之處，由于積分微元無(wú)限趨于零，使得由有限范圍內(nèi)的近似到無(wú)限小范圍內(nèi)的精確，完成了問(wèn)題的精確求解.

通過(guò)幾個(gè)例題的解法，我們可以看出這幾種物理問(wèn)題的解題方法是與數(shù)學(xué)思想緊密相聯(lián)的.總的解題方法都是圍繞著分割、近似、取極限，然后在求微分或積分的思路來(lái)推廣.微積分在物理中有著不同的應(yīng)用，范圍廣泛，我們熟練掌握并深刻理解微積分的概念，為各門(mén)學(xué)科的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).

〔1〕梁小佳.微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用探究［J］.甘肅高師學(xué)報(bào)，2010，15（2）：78-80.

〔2〕祝之光.物理學(xué)［M］.北京：高教出版社，2006.

〔3〕祝之光.物理學(xué)習(xí)題分析與解答［M］.北京：高教出版社，2008.

〔4〕王千.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社，2010.

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