關于極坐標系下二重積分的計算法的教學設計探討

楊星星，寧　群

（宿州學院　數學與統(tǒng)計學院，安徽　宿州　235000）

關于極坐標系下二重積分的計算法的教學設計探討

楊星星，寧群

（宿州學院數學與統(tǒng)計學院，安徽宿州235000）

課堂教學設計是提高課堂教學效率的前提和重要保證，是課堂教學成功的關鍵.數學教學過程是一個傳授數學思想和方法的過程，二重積分的計算是多元積分學的核心，這部分內容蘊涵著豐富的數學思想和數學方法，是值得探討和研究的部分.

二重積分；計算；教學設計

利用極坐標計算二重積分的教學設計面向工科專業(yè)學生，他們在部分專業(yè)課程的學習中要用到高等數學知識.如材料化學專業(yè)學生在學習“材料科學基礎”、測繪工程專業(yè)學生在學習“流體力學”、計算機科學與技術專業(yè)學生在學習“數字信號處理”時都要用到二重積分的知識.

1　教材分析

二重積分既是定積分的推廣，又為后面系統(tǒng)地學習三重積分、曲線積分和曲面積分提供研究和學習的方法，是多元積分學的基礎.二重積分計算的主要思路是轉化為兩次定積分即二次積分，當被積函數和積分區(qū)域在極坐標系下表示比較方便時利用極坐標計算往往會化繁為易.

2　學情分析

學生已經學習了一元函數的微積分；已經掌握了在直角坐標系下二重積分的計算；但學生情況制約著學習的開展，影響著目標的達成，學習不僅受學生原有知識基礎的制約，而且還受學生的認知風格、能力狀況和學習興趣等影響.

3　教學目標

3.1知識目標

（1）掌握二重積分在極坐標系下的表達式；

（2）掌握極坐標系下二重積分化二次積分的方法.

3.2能力目標

（1）理解二重積分從直角坐標到極坐標的換元思想；（2）理解在極坐標系下二重積分化二次積分的思想方法和具體過程，能夠熟練應用.

3.3素質目標

（1）通過教師的提示和啟發(fā)，培養(yǎng)學生深入思考、積極發(fā)言的良好習慣，加強語言表達能力；

（2）引導學生注重數學思想方法的學習，樹立“學數學是為了用數學”的意識.

4　教學策略與設計思路

4.1教學方法

（1）為突出重點，采取類比分析、實例分析，使學生主動參與提出問題與解決問題的過程，充分發(fā)揮學生的主體作用.

（2）為突破難點，采取演示、講授、啟發(fā)等方式，充分發(fā)揮教師的主導作用.

4.2教學手段

除使用常規(guī)的教學手段外，還將使用多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識，在優(yōu)化組合的基礎上，提高教學效率，改善教學效果.

4.3設計思路

對一個計算二重積分的問題，可以考慮應用前面學過的直角坐標系下的求解方法但由于被積函數較復雜，但在極坐標系下表達式簡單，轉化到極坐標系下求解.由而引發(fā)思考：極坐標系下二重積分的表達式？極坐標系下積分變量的取值范圍？類比分析，由淺入深，逐步探索，得到確定極坐標變量上下限方法：三線法.應用此方法，很方便就能求出開始給出的二重積分的解，學生自己動手，增加成就感.聯(lián)系實例，深入探究，解決問題.歸納小結，給出極坐標系下二重積分計算的具體步驟，提高認識，最后適當練習，鞏固新課.結構完整，條理清晰.

5　教學過程

5.1引入

前面我們已經學習了二重積分在直角坐標系下的計算，利用直角坐標進行將二重積分轉化為二次積分的過程中，關鍵是選擇積分區(qū)域的類型X-型或Y-型也即是確定了積分的次序，這個過程中不但要考慮積分區(qū)域的形狀還有考慮被積函數的特性.下面我們來求這個二重積分

圖1　

根據直角坐標系下二重積分的計算步驟：首先畫出積分區(qū)域的圖形（PP T顯示），積分區(qū)域關于x軸、y軸對稱且被積函數關于x、y都是偶函數，由對稱性，記第一象限的積分區(qū)域為

然后選擇積分次序，但是無論先積x還是先積y，這個被積函數的原函數都不易求得.由于被積函數和積分區(qū)域的邊界曲線方程中都含有x2+y2，想到轉化為極坐標系下求解.

5.2極坐標系下二重積分的表達式

利用直角坐標和極坐標變量之間的轉換關系：x r=c o sθ，y=rs inθ可以將被積函數f（x，y）轉化為f（r c onθ，rs inθ），直角坐標系下的面積元素d x d y轉化為r d r dθ，積分區(qū)域D的邊界曲線方程轉化為極坐標變量表示.這樣我們就得到了極坐標系下二重積分的表達式這樣就把積分變量轉換成了r和θ，其換元思想類似于定積分的換元法.

5.3極坐標系下二重積分化為二次積分

極坐標系下二重積分的表達式已經知道，怎樣確定極坐標變量r和θ的范圍就成了將其化為二次積分的關鍵了.在極坐標系下有界閉區(qū)域D如圖2：

圖2　

如果積分區(qū)域D介于兩條射線θ=α，θ=β之間，從極點出發(fā)在區(qū)間（α，β）上任意作一條極角為θ的射線穿過區(qū)域D的內部先交曲線r=φ1（θ）后交r=φ2（θ）即D內任一點（r，θ），其極徑總是介于曲線r=φ1（θ），r=φ2（θ）之間.

則區(qū)域D的積分限

于是

稱上述確定r和θ上下限的方法為三線法.

（2）利用這個方法來求先前遇到的思考題，把二重積分轉化為極坐標系下

（3）實例分析［1］：求球體 x2+y2+x2≤4a2被圓柱面x2+y2=2a x（a＞0）所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積如圖3.

圖3　

圖4　

5.4極坐標系下計算二重積分的具體步驟

5.5利用極坐標計算二重積分的范圍［2］

如果積分區(qū)域是圓、半圓、圓環(huán)、扇形區(qū)域等情況下且被積函數是）形式，利用極坐標來計算往往會簡

便很多.

5.6課后思考，小組協(xié)作

6　教學反思

（1）教學大綱要求我們在教學過程中要著重培養(yǎng)學生的探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等方面的能力.學習的全過程需要學生的參與，學生是學習的主體和中心.圍繞這個宗旨，我在課堂內容的編排和教學課件的制作上作了一定的思考.在內容編排上，我基本遵循由易到難的過程，從最基本的，學生所熟知的前課知識開始引入，由淺入深的引導學生加以足夠地探究，使學生的發(fā)現(xiàn)變得自然而水到渠成.同時對于學生可能的探究結果留有足夠的空間，充分肯定學生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)，對于學生考慮不到的地方加以補充、引導、完善，并留出一定課后思考得余地.在課件制作方面，考慮到多媒體直觀形象的特點，讓其承擔起引導思考與解釋的重任. （2）這節(jié)課還有一些不足之處，課堂容量過大，導致了省略定積分具體計算過程的遺憾.課件的制作也達不到特別美觀的要求，不能更好的發(fā)揮其應有的作用.在今后的教學中我會不斷的完善自己的教學技能，提高自己的業(yè)務水平，做到能靈活把握教材，詳略處理得當.正確處理教與學的關系，努力體現(xiàn)一種流暢的教學風格［4］.既充分發(fā)揮學生的主觀能動性，又不完全以學生為中心，做到教與學的良好互動.

〔1〕同濟大學數學系．高等數學［M］．北京：高等教育出版社，2007．

〔2〕連坡．高等數學課堂教學的思考與探索［J］．高等數學研究，2011，2（14）：45－46．

〔3〕賈紅艷．大學數學教學方法的幾點思考［J］．教育與教學研究，2010，2（24）：99－100．

〔4〕楊宏林，丁占文，田立新．關于高等數學課程教學改革的幾點思考［J］．數學教育學報，2004，2（13）：74－76．

O172.2

A

1673-260X（2016）08-0004-03

2016-04-26

宿州學院2015質量工程項目（201510379083）