具有免疫反應(yīng)的時滯HIV感染模型的穩(wěn)定性

田海燕，　郭建敏，　郭彩霞

(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西 大同 037009)

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具有免疫反應(yīng)的時滯HIV感染模型的穩(wěn)定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西 大同 037009)

建立了具有免疫反應(yīng)的時滯HIV感染模型，討論了系統(tǒng)解的非負(fù)性和有界性，得到了確定模型動力學(xué)性態(tài)的基本再生數(shù)。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，利用LaSalle不變原理證明了無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性，并用數(shù)值模擬驗證了結(jié)果。

病毒感染；全局穩(wěn)定性；免疫反應(yīng)；時滯；李雅普諾夫函數(shù)

傳染病一直是人類身體健康的公敵，傳播速度以及對人類生命的威脅程度令人震驚。人類免疫缺陷病毒HIV是一種感染人類免疫系統(tǒng)細(xì)胞的慢性病毒，屬于反轉(zhuǎn)錄病毒的一種。1983年，人類免疫缺陷病毒在美國首次被發(fā)現(xiàn)。該病毒破壞人體的免疫能力，導(dǎo)致免疫系統(tǒng)失去抵抗力，從而導(dǎo)致各種疾病得以在人體內(nèi)生存，發(fā)展到最后甚至?xí)?dǎo)致艾滋病。艾滋病嚴(yán)重地威脅人類的生存，已引起世界衛(wèi)生組織和各國政府的高度重視，各國在艾滋病的預(yù)防、控制及在科學(xué)研究上都投入了巨大的人力、物力、財力。艾滋病在世界范圍內(nèi)的傳播日漸迅猛，嚴(yán)重威脅了人類的健康和社會的發(fā)展，已成為威脅人類健康的第四大殺手。HIV主要攻擊人體的輔助T淋巴細(xì)胞系統(tǒng)，一旦侵入機(jī)體細(xì)胞，病毒將會和細(xì)胞整合在一起，終生難以消除。因此，建立傳染病的動力學(xué)模型，研究其發(fā)病原因和流行規(guī)律，尤其是找尋相應(yīng)的防治措施和預(yù)防策略，已成為當(dāng)今世界迫切解決的一個重大問題。

國內(nèi)外諸多學(xué)者[1-8]在這方面做了大量的研究。為了描述易感染細(xì)胞、感染細(xì)胞以及病毒顆粒之間的關(guān)系，早在1996年，NOWAK M A等[4]就建立了如下基本的病毒動力學(xué)模型：

(1)

其中：x,y,z分別表示易感染細(xì)胞的濃度、已感染細(xì)胞的濃度以及病毒顆粒的濃度；參數(shù)λ表示新的靶細(xì)胞的產(chǎn)生率；a表示易感染細(xì)胞的死亡率；β是描述感染率的常數(shù)；b表示已感染細(xì)胞的死亡率；c表示病毒顆粒的產(chǎn)生率；d表示病毒被清除的速率；所有系數(shù)為正。

然而要為病毒感染提供更精確的模型，考慮免疫反應(yīng)必不可少[9-10]。人體內(nèi)存在多種不同的免疫反應(yīng)，然而許多研究資料表明，在多種免疫反應(yīng)中，HIV特異的CTL反應(yīng)對疾病的發(fā)展進(jìn)程最大，是控制HIV復(fù)制和擴(kuò)散的主要機(jī)制。當(dāng)病毒進(jìn)入易被感染的細(xì)胞后，機(jī)體中的巨唾細(xì)胞等會首先起作用殺死病毒，然后是CTL免疫細(xì)胞和抗體的作用。也就是說CTL免疫細(xì)胞的作用至關(guān)重要。因此，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注具有CTL免疫應(yīng)答的HIV感染的群體動力學(xué)研究，其中包含CTL免疫應(yīng)答的最基本的模型如下：

這里z(t)表示CTL的濃度，p表示CTL對已感染細(xì)胞的清除強(qiáng)度，k是CTL的死亡率，函數(shù)f(x,y,z)描述了感染細(xì)胞刺激下CTL產(chǎn)生的速率。假設(shè)CTL的產(chǎn)生不僅依賴已感染細(xì)胞的濃度，還依賴CTL自身的濃度，于是可取f(x,y,z)=qyz，具體模型為

(2)

模型(2)中，細(xì)胞的感染率是以雙線性函數(shù)βxv的形式給出。

文獻(xiàn)[6]建立了如下的時滯動力學(xué)模型：

(3)

(4)

這里τ表示健康細(xì)胞被感染到新病毒產(chǎn)生并釋放出來所需要的時間，所有系數(shù)均為正數(shù)，其他參數(shù)與模型(2)有相同的含義。

1　基本性質(zhì)

模型(4)是一個時滯微分方程系統(tǒng)。設(shè)X=C([-τ,0];R4)，根據(jù)時滯微分方程基本理論，系統(tǒng)(4)在初始條件

(5)

下存在唯一解(x(t),y(t),v(t),z(t))。

從生物學(xué)意義出發(fā)，假設(shè)初始函數(shù)x(θ)，y(θ)，v(θ)，z(θ)均非負(fù)，即

(6)

根據(jù)泛函微分方程的基本理論，在初始條件(5)、(6)下可得如下結(jié)論：

定理1在初始條件(5)、(6)下，系統(tǒng)(4)的所有解都是非負(fù)的，并且一致有界，即存在M>0使得x(t)

即

兩邊從0到t1積分，有

即

同理可解出

若t1∈[0,τ]，顯然x(t1)>0，y(t1)>0，z(t1)≥0。

2　無病平衡點的穩(wěn)定性分析

定理2當(dāng)R0<1時，系統(tǒng)(4)的無病平衡點E0=(s/a,0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的。當(dāng)R0>1時，無病平衡點E0=(s/a,0,0,0)不穩(wěn)定。

證明構(gòu)造Lyapunov泛函：

結(jié)合系統(tǒng)(4)有：

下面證明當(dāng)R0>1時，無病平衡點E0=(s/a,0,0,0)不穩(wěn)定。系統(tǒng)(4)對應(yīng)的線性系統(tǒng)在E0=(s/a,0,0,0)處的特征方程為

整理可得

因此無病平衡點的穩(wěn)定性取決于方程

(7)

記f(λ)=λ2+(b+μ)λ+bμ-cβx0e-(μ1+λ)τ，則當(dāng)R0>1時，

且

從而方程(7)至少存在一個正根。因此無病平衡點E0=(s/a,0,0,0)是不穩(wěn)定的。

3　數(shù)值模擬

為了證實定理2的正確性，我們用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬。初始條件由健康細(xì)胞、感染細(xì)胞、病毒顆粒和CTL細(xì)胞組成，記為(x0,y0,v0,z0)，即初值函數(shù)為常值函數(shù)，即?θ∈[-τ,0]，有x(θ)=x0，y(θ)=y0，v(θ)=v0，z(θ)=z0。

(a) 未感染細(xì)胞x(t)的圖形　　　　　　　　　　　　(b) 已感染細(xì)胞y(t)的圖形

(c) 病毒顆粒v(t)的圖形　　　　　　　　　　　(d) CTL的濃度z(t)的圖形圖1　模擬結(jié)果

從圖1可以看出模擬結(jié)果與定理2的理論結(jié)果一致。我們觀察到，該系統(tǒng)的軌跡傾向于無病平衡點E0=(166.7,0,0,0)，也就是說在這種情況下，沒有病毒感染，同時免疫反應(yīng)和時滯不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4　結(jié)　論

本文討論了一類具有免疫反應(yīng)的時滯HIV動力學(xué)模型，給出了在給定的初始條件下，模型解的非負(fù)性和有界性。最后利用Lyapunov函數(shù)方法，應(yīng)用LaSalle不變原理，證明了當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定，并通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果的正確性。

[1]李益群,李建全,李琳.一類具有CTL作用的HIV感染模型的全局穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2013,28(3):467-472.

[2]LYU Cui-fang,HUANG Li-hong,YUAN Zhao-hui.Global stability for an HIV-1 infection model with Beddington-DeAngelis incidence rate and CTL immune response[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2014,19(1):121-127.

[3]HUANG Dong-wei,ZHANG Xiao,GUO Yong-feng,et al.Analysis of an HIV infection model with treatments and delayed immune response[J].Applied Mathematical Modelling,2016,40(4):3081-3089.

[4] NOWAK M A,BONHOEFFER S,HILL A M,et al.Viral Dynamics in hepatitis B virus infection[J].Proceedings of the National Academy of Sciences,1996(9):398-402.

[5]眭鑫,劉賢寧,周林.具有潛伏細(xì)胞和CTL免疫反應(yīng)的HIV模型的穩(wěn)定性分析[J].西南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,34(5):23-27.

[6]鄭重武,張鳳琴.一類具有感染時滯的HIV模型的穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2010,40(13):247-252.

[7]常俠,袁朝暉.一類具免疫應(yīng)答和非線性感染函數(shù)的時滯HIV-1感染模型的全局穩(wěn)定性[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2011,28(4):1-5.

[8]TIAN Xiao-hong,XU Rui.Global stability and Hopf bifurcation of an HIV-1 infection model with saturation incidence and delayed CTL immune response[J].Applied Mathematics and Computation,2014,237(7):146-154.

[9]陳美玲.具免疫應(yīng)答的時滯HIV感染模型動力學(xué)性質(zhì)研究[D].衡陽:南華大學(xué),2010.

[10]曹艷紅.具有免疫應(yīng)答和細(xì)胞內(nèi)部時滯的HIV感染模型的穩(wěn)定性分析[D].衡陽:南華大學(xué),2011.

[責(zé)任編輯：魏 強(qiáng)]

Stability of a delay HIV infection model with immune response

TIAN Hai-yan,GUO Jian-min,GUO Cai-xia

(School of Mathematics and Computer Science, Datong University, Datong 037009, China)

In this paper, we built a delay infection model with immune response and discussed the nonnegativity and boundedness of the solution. The basic reproduction number is obtained, which determines the dynamical behaviors of the infection model. By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle we have proven that the infection-free equilibrium is globally asymptotically stable. Then numerical simulations are carried out to support the result.

virus infection;global stability;immune response;delay;Lyapunov function

1673-2944(2016)04-0080-06

2016-04-09

2016-06-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(11301312)；山西大同大學(xué)青年科學(xué)基金資助項目(2014Q10)；山西大同大學(xué)科學(xué)基金資助項目(2015K5)

田海燕(1984—)，女，山西省朔州市人，山西大同大學(xué)助教，碩士，主要研究方向為微分方程；郭建敏(1971—)，女，山西省大同市人，山西大同大學(xué)教授，碩士，主要研究方向為微分方程；郭彩霞(1981—)，女，山西省大同市人，山西大同大學(xué)講師，碩士，主要研究方向為泛函分析。

O175.13

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