實施概念教學策略，促進學生概念理解
——基于“函數(shù)的概念”的教學策略研究

☉浙江臨安天目高級中學 趙國勝

實施概念教學策略，促進學生概念理解
——基于“函數(shù)的概念”的教學策略研究

☉浙江臨安天目高級中學 趙國勝

中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員李邦河院士曾指出：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”概念是反映事物本質屬性的思維形式，正確的概念是科學抽象的結果.數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生的認知基礎，是進行數(shù)學思維的核心，在數(shù)學學習與教學中具有重要地位.

一、問題的提出

例1（2015年浙江卷·理7）存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有（）

A.f（sin2x）=sinx B.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1| D.f（x2+2x）=|x+1|

本題依托三角函數(shù)的周期性、對稱性、二次函數(shù)的對稱性，以具體函數(shù)考查抽象的函數(shù)概念.試題言簡意賅，符號表述內涵豐富.然而對于這樣一道本來是運用最基本、最熟悉的函數(shù)概念解決的問題，學生卻如墜云霧，不知其然，更不知其所以然，真的是有勁使不出.本題出現(xiàn)了兩個量詞：一個是存在，即只要有就可以；一個是任意，即所有的.由此將本題加以重新闡述就是“存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有且僅有唯一的實數(shù)值與其對應”，這不就是函數(shù)的概念嗎？考慮到直接判斷難度較大，采用特殊值法加以驗證，比如取x=，x=代入A選項，發(fā)現(xiàn)當x=時，當x=時，結合“一對多”可知A選項不正確，同理判斷B、C錯誤.

函數(shù)是整個高中學習的核心概念，函數(shù)概念已經成為中學數(shù)學中最為重要的概念之一.因此，在中學數(shù)學課程改革中，理解函數(shù)思想，把握函數(shù)本質，處理好函數(shù)的教學是很重要的.函數(shù)概念本身就不好理解，又是學生在數(shù)學學習過程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學生對其理解有困難是不言而喻的.

二、高中數(shù)學概念教學的重要性

數(shù)學概念（mathematical concepts）是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數(shù)學的思維形式.在數(shù)學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學概念則是構成它們的基礎.正確理解并靈活運用數(shù)學概念，是掌握數(shù)學基礎知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.“只有圍繞數(shù)學概念的核心展開教學，在概念的本質和數(shù)學思想方法的理解上給予點撥、講解，讓學生在理解概念及其反映的數(shù)學思想和方法的基礎上，對細節(jié)問題、變化的問題進行深入思考，這樣才能實現(xiàn)有效教學.因為概念的核心、思想方法是不容易把握的，這是教師發(fā)揮主導作用的重點所在；具體細節(jié)正好是鍛煉學生應用概念解決問題的機會，是促進學生理解概念的平臺.”

1.課標對概念教學的要求

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“高中數(shù)學課程應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念的發(fā)展過程和本質，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數(shù)學概念逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài).”

2.高考對概念理解的關注

概念的教學不是簡單的告訴，而是一種經歷，一種體驗，一種感悟，一種深化，一種升華.有效的數(shù)學概念教學需要學生認知結構、教材邏輯結構、教師教學方法三者的有機統(tǒng)一.

例2（2013年浙江卷·理16）在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，若sin∠BAM=，則sin∠BAC=_______.

本題考查的是三角函數(shù)的理解和靈活運用，切入點就是三角函數(shù)的概念.正弦函數(shù)值的直觀意義：角的終邊與單位圓交點的縱坐標，把三角形放入單位圓中，由于角C是直角，所以實際上就是求正弦線BC的長.根據(jù)單位圓中的三角函數(shù)線以及直角三角形中的關系可以很快求解.

圖1

3.概念教學是學習能力的教學

在學生熟悉的背景下，從具體事例中，通過“歸納—演繹”而學習數(shù)學概念，關鍵是讓學生獲得理解概念本質所需要的親身體驗，這種體驗構筑了理解抽象概念的背景和根基，也是學生能掌控自身學習過程的必要條件.

數(shù)學教育使學生掌握數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰、思考有條理，使學生具有實事求是的態(tài)度，使學生學會用數(shù)學的思考方式解決問題、認識世界.因此，在一個完整的教學過程中，將凝結在數(shù)學概念中的數(shù)學思維活動打開，引導學生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同的本質屬性，使數(shù)學概念被“發(fā)現(xiàn)”得更自然、更合理.

4.概念教學培養(yǎng)學生思維能力

任何新思維、新觀念的產生，都是建立在已有的科學知識基礎上，并且是一個相對的過程.概念的生成是一個艱難的解構、分析、比較、概括的過程，在這個過程中有大量的數(shù)學思維，必然會涉及到數(shù)學思想方法.概念教學是建立數(shù)學公式的基礎，數(shù)學是思維的科學，概念是思維的細胞，理解概念是一切數(shù)學活動的基礎，概念不清就無法進一步開展其他的教學活動，學生對概念的理解和應用也是衡量教學質量高低的重要標志之一，數(shù)學課堂教好概念是教好數(shù)學的內在要求.

三、目前概念教學的現(xiàn)狀分析

概念教學的核心是概括：將凝結在數(shù)學概念中的數(shù)學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納得出數(shù)學概念.然而目前在教學實踐中往往對于概念教學存在許多的偏頗.

1.直奔主題，輕視發(fā)展過程

教師則往往喜歡直奔主題，不愿意將時間花在研究概念的形成發(fā)展過程和思想方法上，導致概念的生成生硬不自然，以致學生難以建立宏觀視野，難以實現(xiàn)學生思維過程的“理性重建”.

例3《函數(shù)的概念》引入1.

（1）復習初中對函數(shù)的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應，此時y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量.

（2）討論：以下三個實例存在哪些變量？變量的變化范圍分別是什么？兩個變量之間存在著怎樣的對應關系？三個實例有什么共同點？

例題一枚炮彈發(fā)射，經26秒后落地擊中目標，射高為845米，且炮彈距地面高度h（米）與時間t（秒）的變化規(guī)律是h= 130t-5t2.近幾十年，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)臭氧層空洞問題，圖中曲線是南極上空臭氧層空洞面積的變化情況.國際上常用恩格爾系數(shù)（食物支出金額÷總支出金額）反映一個國家人民生活質量的高低.“八五”計劃以來我們城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)如下表.對應關系h=130t-5t2.定義域A=｛t |0≤t≤26｝ A=｛t|1979≤t≤2001｝ A=｛1997，1998，1999，2000，2001｝年份 1997 1998 1999 2000 2001恩格爾系數(shù)% 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9197919811983198519871989199119931995199719992001t/年南極臭氧層空洞的面積30 26 25 20 15 10 50 s/103km3值域B=｛h|0≤h≤845｝ B=｛s|0≤s≤26｝ B=｛46.4，44.5，41.9，39.2，37.9｝

在探究的過程中，教師試圖通過以表格的形式來刻畫關系式和圖表中體現(xiàn)的對應關系，從而引入函數(shù)的概念，然而課后調查反饋，超過一半以上的學生不知道老師講的是什么？這里并不是說具體實例不好，而是如何用好，教師在教學中更多的是放電影一般，在學生頭腦中一閃而過，未能起到歸納函數(shù)的概念的作用.

2.以解題代替概念教學，顧此失彼

教師講解概念，完全是直接告訴式的，“一個定義，三項注意”，不提供概念的問題背景，不給學生概括、理解的機會，匆匆忙忙給出概念，把更多的時間花費在解題上面，以解題教學代替概念教學的做法，結果可能是學生在數(shù)學上耗費大量時間、精力，卻對數(shù)學的內容、方法和意義知之甚少.導致學生對概念理解的先天不足，嚴重制約解題能力.

四、函數(shù)概念教學的策略

“數(shù)學是自然的”，數(shù)學概念的產生過程也應合乎情理，在情感上能被學生所接受.每一個數(shù)學概念，從它產生的背景、形成過程、應用以及與其他概念的聯(lián)系，都是水到渠成的，不僅合情合理，而且富有人情味.然而受教材篇幅限制，教材中數(shù)學概念就以冰冷的學術狀態(tài)的形式呈現(xiàn).為此教師在教學過程中有必要對教材進行深入研究，吃透摸準，把握學情，分析教情，教師自己準確理解所教內容.

1.研究教材，有的放矢

與以往教科書比較，函數(shù)概念的處理方式從“先講映射后講函數(shù)”轉變?yōu)椤跋戎v函數(shù)后講映射”.這樣做的目的是使學生在一個豐富的具體背景上理解抽象的函數(shù)概念.在定義域、值域問題上，教科書只對最基本的函數(shù)提出要求，教學中也不要做拓展.應當把主要精力放在使學生理解函數(shù)的基本概念和函數(shù)思想上.

2.融入數(shù)學史，了解概念生成

數(shù)學概念不是數(shù)學家隨意建造的空中樓閣，數(shù)學概念的起源有著豐富的社會歷史背景.函數(shù)概念又是微積分的中心概念，它的形成和發(fā)展與微積分緊密相連.正如其他數(shù)學概念一樣，函數(shù)概念伴隨著數(shù)學的發(fā)展而不斷地改進，不斷地精確化，其經歷的漫長過程，體現(xiàn)了人們認識世界，追求真理的科學探索精神.

教材安排了“閱讀與思考：函數(shù)概念的發(fā)展歷程”，簡要介紹了函數(shù)的概念的產生、形成與發(fā)展經歷的數(shù)學史，使學生在追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡的過程中，能夠看到數(shù)學知識形成的過程和發(fā)展的趨勢，觸摸到知識的來龍去脈，了解概念的生成背景.幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學觀.

教材還給出了“實習作業(yè)”，要求學生根據(jù)某個主題，收集一些對數(shù)學發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物的有關資料，了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程.

3.溫故知新，概念自清

概念教學以對數(shù)學概念的準確理解、數(shù)學概念的教學解析和對學生已有認知基礎的把握為前提，確定教學目標，以使教學目標處于學生思維最近發(fā)展區(qū)內.高中階段的函數(shù)概念教學，應從初中已學的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)出發(fā)，反思和提煉它們各自的抽象過程，并歸納它們的共性，從而形成一般函數(shù)概念的認識基礎.

例4《函數(shù)的概念》引入2.

（1）我們學過哪些函數(shù)？你能畫出它們的圖像嗎？

（2）名稱上為什么不叫一次直線，二次拋物線，反比例曲線而都叫某某函數(shù)？它們有什么共同的性質特點？

（3）判斷下例哪些圖像與上題中的圖像有共同的特點？

利用學生已有的函數(shù)知識，結合函數(shù)圖像來得到生成函數(shù)概念中的唯一性和任意性，再得出函數(shù)概念.通過這樣一個具有與已有知識參與的思維過程，學生對函數(shù)概念的理解還是比較到位的，不會覺得知識的突然和僵硬.

4.設置問題串，啟發(fā)理解

以目標為定向，圍繞概念的核心，針對學生的理解困難，以數(shù)學知識“再發(fā)現(xiàn)”為線索，

設置問題串，引導學生獨立思考和探索，在教師或同伴幫助下主動獲取知識，這是中國“啟發(fā)式教學”傳統(tǒng)與當代認知主義、建構主義教學的綜合；以“問題串”方式所提出的問題應當注意適切性，對學生理解數(shù)學概念和領悟思想方法有真正的啟發(fā)作用，達到“跳一跳摘果子”的效果.

5.變式教學，深化理解

形式化定義是科學嚴謹?shù)?，然而于學生而言不易理解、不易記憶，這就要求教師例題講解基礎上，適當增加變式題組，強化概念的辨析與理解，使學生在從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性的認知過程中，逐步養(yǎng)成由表及里的思維習慣，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、理解思維能力等.重點概念采取“問題驅動”，在解決問題中獲取概念.在理解概念的基礎上，通過變式訓練，使學生掌握概念應用的基本技能，促進學生記憶知識.

例5（必修1第25頁習題1.2B組第2題）畫出定義域為｛x|-3≤x≤8，且x≠5｝，值域為｛y|-1≤y≤2，y≠0｝的一個函數(shù)的圖像.（1）如果平面直角坐標系中點P（x，y）的坐標滿足-3≤x≤8，-1≤y≤2，那么其中哪些點不能在圖像上？（2）將你的圖像和其他同學的比較，有什么差別嗎？

變式：若函數(shù)y=f（x）的定義域為｛x|-3≤x≤8，x≠5｝，值域為｛y|-1≤y≤2，y≠0｝，則y=f（x）的圖像可能是（）.

解：根據(jù)函數(shù)的概念，任意一個x只能有唯一的y值和它對應，故排除C；由定義域為｛x|-3≤x≤8，x≠5｝排除A、D，選B.

教學中應當通過設置各種具體的例子和習題的分析幫助學生理解函數(shù)概念.概念的理解不到位，制約解題能力的提升；反之，解題過程有助于概念的深化理解.

6.互聯(lián)網+，輔助理解

全面、準確地理解概念是數(shù)學學習的關鍵.概念從直觀到形式化，教師需要讓學生充分體驗概念的非形式化過程.現(xiàn)代化信息技術可視化的特點使得數(shù)、式、圖、表等形式能直觀、動態(tài)、相關聯(lián)地得以呈現(xiàn)，為概念的認知提供了有力的支撐，為概念非形式化教學過程提供了傳統(tǒng)教具與手段難以比擬的優(yōu)勢，相對于嚴謹推理的枯燥，技術的輔助不僅可以引起學生的興趣，而且還可以揭示問題的本質.

7.居高臨下，拓寬理解

在不脫離中學數(shù)學的課程標準和教材的前提下，教師可以對重要的概念做必要的拓寬.教師倘若能站在高等數(shù)學的角度，溝通初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系，居高臨下地去釋疑，將會更有利于學生深刻領悟數(shù)學概念的精髓及其后續(xù)發(fā)展.

例6（2009年浙江卷·理10）對于正實數(shù)α，記M為滿足下述條件的函數(shù)（fx）構成的集合：?x1，x2∈R且x2＞x1，有-α（x2-x1）＜（fx2）-（fx1）＜α（x2-x1）.下列結論正確的是（）.

A.若（fx）∈Mα1，g（x）∈Mα2，則（fx）·g（x）∈Mα·1α2

B.若（fx）∈Mα，g（x）∈Mα且g（x）≠0，則

12

C.若（fx）∈Mα1，g（x）∈Mα2，則（fx）+g（x）∈Mα1+α2

D.若（fx）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且α1＞α2，則（fx）-g（x）∈Mα1-α2

利普希茨連續(xù)條件（Lipschitz continuity）是以德國數(shù)學家魯?shù)婪颉だ障４拿?，是一個比一致連續(xù)更強的光滑性條件.若存在常數(shù)K，使得對定義域D的任意兩個不同的實數(shù)x1、x2均有：|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨條件.直觀上，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于一個利普希茨常數(shù)的實數(shù).問題中正實數(shù)α就是這個常數(shù)，該常數(shù)依函數(shù)而定，問題中的集合就是滿足利普希茨條件的Mα的函數(shù)集合.

五、反思

1.打鐵還須自身硬

“詩人對宇宙人生，須入乎其內，以須入乎其外.”王國維先生在《人間詞話》中如是說.高中數(shù)學概念教學亦是如此.教師應重視自己的生活經驗和對生活的感悟，將自己的學科教學與學科的歷史發(fā)展、與學生的生活實際相聯(lián)系，形成對數(shù)學概念教學的系統(tǒng)思考，并潛移默化地影響學生.準確的概念教學目標定位，來自于教師的廣泛閱讀、仔細分析，來自于教師對概念的深刻領會，深入的理解，更源自于教師的學習和研究，概念教學目標定位策略的形成過程也是教師教學境界的提升過程，境界高遠才能視野開闊.用教師的視野去引領學生，就不會只是在抱怨學生一代不如一代中而無所作為.

2.路漫漫其修遠兮

學生的認知發(fā)展是一個連續(xù)不斷地建構與平衡過程，呈螺旋狀地不斷上升，每一種已達到相對平衡狀態(tài)的建構，都將為新的平衡提供條件與可能，認知螺旋的建構過程及其質量決定了學生的學習水平.學生對數(shù)學概念及其思想方法的認識和理解，不是“直線式”地發(fā)展，而是“螺旋式”地上升，可謂“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.”

布魯納在《教育的過程》中說“他所學習的概念越基礎或越基本，幾乎由定義構成，它應用于新問題的廣度就越大.”數(shù)學教學要有核心概念，最好能整理出每章的核心概念是什么，這樣每堂課的教學就有一條準線，不會偏離太遠.學生概念的建構需要教師的指導與幫助；教師概念的正確理解是概念教學的基礎.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書：A版數(shù)學1［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.劉亞平.蘇教版高中數(shù)學“數(shù)列的概念”教材研讀與認識［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2015（3）.

4.曹鳳山，陳朝陽.年年新氣象 歲歲求本真——2015年浙江高考試題評析［J］.中學數(shù)學（上），2015（8）.