基于“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”下的“均值不等式”教學(xué)與思考

☉浙江省象山縣職業(yè)高級中學(xué) 鄭 琰

教材教法

基于“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”下的“均值不等式”教學(xué)與思考

☉浙江省象山縣職業(yè)高級中學(xué) 鄭 琰

數(shù)學(xué)知識具有較強(qiáng)的抽象性，這造成了數(shù)學(xué)難懂、難教、難學(xué)，乃至于談“數(shù)”色變.能否像物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)菢樱屝问交臄?shù)學(xué)在“實(shí)驗(yàn)”過程中變得“可視化”，這便是“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的起點(diǎn)與歸宿.

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是通過動手動腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具及計算機(jī)等），在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指導(dǎo)下進(jìn)行的一種以實(shí)際操作為主要特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動.其目的是讓學(xué)生在活動中直觀形象地看清數(shù)學(xué)知識，并逐步對其適度抽象，進(jìn)行更高層次上的“再實(shí)驗(yàn)”.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”可以培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，這正是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)的人文價值之所在.

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”在職高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已被廣泛地接受和運(yùn)用，在普通高中情況如何呢？筆者以“均值不等式”為載體，在普通高中學(xué)生中作了一次體驗(yàn)，現(xiàn)總結(jié)和思考如下，供同行參考.

一、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”下的教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：模擬生活實(shí)際引出課題

一年輕人去金店買項(xiàng)鏈，但電子秤壞了，只有一個斷了一臂并用繩子捆住的天平（圖1），不知咋辦.于是，店主提議：先將項(xiàng)鏈置于左盤，砝碼置于右盤，平衡時讀得砝碼為a，再將項(xiàng)鏈與砝碼交換，平衡時讀得砝碼為b.最后以作為項(xiàng)鏈重量賣給小伙子.假如是你去買，你同意這個方案嗎？

圖1

事實(shí)上，設(shè)項(xiàng)鏈的重量為x，天平左右兩臂的長度分別為l1和l2，則由杠桿原理有兩式相乘可得x=，這樣，問題就轉(zhuǎn)化為比較與的大小了.

效能分析：數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的基本特征，以實(shí)際問題引出課題，讓學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的同時，更能激發(fā)學(xué)生的好奇性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

環(huán)節(jié)2：嘗試用線段（一維空間）構(gòu)建幾何模型

在一維空間中，a、b可以用線段的長度來表示，不妨設(shè)AD=a，DB=b，于是，問題指向于可以用怎樣的線段來表示？結(jié)合初中學(xué)過的射影定理（直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)），把AD、DB作為兩直角邊在斜邊AB上的射影，這樣構(gòu)建的Rt△ABC（∠C=90°），其斜邊上的高CD=（圖2）.

圖2

即對于a，b∈R+，恒有≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

效能分析：利用線段比長短是學(xué)生最容易想到的方法.教學(xué)中，筆者進(jìn)一步作出Rt△ABC的外接圓O，并延長CD交圓O于點(diǎn)E（圖3），則AB=a+b，CE=2.于是，“均值不等式”便有了自己的幾何解釋——在一個圓內(nèi)，任何半弦長不大于半經(jīng).

圖3

環(huán)節(jié)3：嘗試用面積（二維空間）構(gòu)建幾何模型

模型1：將a表示為正方形ABCD的面積，b表示為正方形AB′C′D′的面積，則就是以上兩個正方形的兩邊AD和AB′為邊長的長方形AB′ED的面積，將這三個圖形以角A重合為標(biāo)準(zhǔn)疊合在一起（圖4）.顯然S△ACD+S△AB′C′=，S長方形AB′ED=.因?yàn)閮蓚€三角形的面積之和大于

的邊長相等，即a=b時取等號.

圖4

圖5

在圖5④中，四個直角三角形的面積為S△=2，正方形BDEF的面積為S正方形BDEF=a+b，于是有a+b≥2即，當(dāng)且僅當(dāng)長方形ABCD為正方形時，即a= b時取等號.

圖6

觀察圖4，△CEC′的面積就是“均值不等式”兩邊的差量，即這給不等式的代數(shù)證明提供了啟示，同時也給不等式兩端到底相差多少給出了幾何注釋.通過幾何直觀，不僅比較了兩者的大小，還能加深對均值不等式的深層理解.

環(huán)節(jié)4：嘗試用二元函數(shù)（三維空間）構(gòu)建幾何模型

從圖7中不難發(fā)現(xiàn)，平面總是在曲面的上方，也就是說對于任意的x，y∈R+，都有（fx，y）≥g（x，y），即成立.

效能分析：信息技術(shù)正在改變著人們的生活方式、學(xué)習(xí)方式和工作方式，也改變著傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育方式.通過3D技術(shù)的智能論證，既活躍了課堂教學(xué)形式，也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新方式.

圖7

環(huán)節(jié)5：嘗試用代數(shù)方法證明不等式

在a，b∈R+的條件下，要證，只要證a+b≥，只要證a+b-2，只要證（）2≥ 0，顯然上式是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

效能分析：強(qiáng)調(diào)“均值不等式”的代數(shù)證明，還是要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時，觀察圖5，正方形GHIJ的面積等于（）2，這也是上述代數(shù)證明的最終歸屬，至此，幾何與代數(shù)雖方法迥異，但殊途同歸，兩者相得益彰.

二、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”后的教學(xué)思考

課后，教研部門組織了部分教師、學(xué)生對此作了研討、評價，結(jié)論褒貶不一.學(xué)生普遍呈雀躍狀，不同的學(xué)習(xí)方式極大地提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課堂參與率很高，對所學(xué)的知識理解深刻.教師多數(shù)抱擔(dān)憂形，本來幾分鐘就能解決的“均值不等式”竟花費(fèi)一節(jié)課，課堂效率何在，高考題目咋解？作為當(dāng)事人，筆者也有幾點(diǎn)思考：

1.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是課程標(biāo)準(zhǔn)的一貫堅持

關(guān)于“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年年版）》首先提出了“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等活動過程”，明確了“動手實(shí)踐也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式”.并要求“有條件的學(xué)校可以建立‘?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室’供學(xué)生使用，以拓寬他們的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力，發(fā)展其個性品質(zhì)與創(chuàng)新精神”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》則進(jìn)一步提出“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式”，并強(qiáng)調(diào)“這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過程”.同時，普通高中數(shù)學(xué)課程還設(shè)立了“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動，其目的是“為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣”.由此可見，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，無論是義務(wù)階段還是高中階段，對數(shù)學(xué)教學(xué)的方法手段都提出了新的要求，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”正是新課程所倡導(dǎo)的積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式之一.通過構(gòu)建“做”數(shù)學(xué)的教學(xué)環(huán)境，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能得到最大的開發(fā)，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一貫堅持.

2.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是課程理念的具體體現(xiàn)

課程基本理念強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程和本質(zhì).要通過典型例子的分析和自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)含其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).依據(jù)課程理念，人教版數(shù)學(xué)課程也安排了“探究與發(fā)現(xiàn)”、“實(shí)習(xí)與思考”等小欄目，為教師開展“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”提供素材和基本線索.數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾在20世紀(jì)就說過“要實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育，必須從根本上以不同的方式組織教學(xué)，否則是不可能的.它要求有個實(shí)驗(yàn)室，學(xué)生在那里可以個別活動或是小組活動”.［4］因此，根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)活動，讓學(xué)生去觀察、分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，從中獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，是實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育的企求，也是高中數(shù)學(xué)課程理念的具體體現(xiàn).

3.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”不分普通高中與職業(yè)高中

有研究表明，高中學(xué)生的認(rèn)知水平處于由直觀感知到描述抽象的演變期，思維水平處于直覺經(jīng)驗(yàn)思維向邏輯推理思維的過渡期，他們對概念的理解、判斷和推理很大程度上還離不開直觀形象的實(shí)物支撐.而“實(shí)驗(yàn)教學(xué)”注重實(shí)測和直觀，具有可操作性和實(shí)踐性，能有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，將抽象的數(shù)學(xué)概念“可視化”，符合學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)，無疑能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)思維的物質(zhì)實(shí)踐方法，掌握數(shù)學(xué)研究規(guī)律，形成理性思維.另一方面，高中學(xué)生年齡還決定了他們好奇、好動，喜歡富有挑戰(zhàn)性的特點(diǎn).因此，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生通過操作、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)，既滿足學(xué)生的天性，又培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、思維能力.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”其實(shí)就是一個科學(xué)研究的過程、探索真理的過程.通過“各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探索活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”不分普通高中還是職業(yè)高中.

4.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”想說愛你不容易

長期以來，普高老師處于“好心”，為了節(jié)約時間，追求“高效率”，把教材中的知識嚼細(xì)后喂給學(xué)生.教師的講授替代了學(xué)生的學(xué)習(xí)、替代了學(xué)生的思維過程，使學(xué)生喪失了獨(dú)立思考、自主探索的機(jī)會.導(dǎo)致大部分學(xué)生只會對著題型套路解題，而在面對新的問題時則茫然不知所措.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，離開教師的指導(dǎo)和提示，多數(shù)學(xué)生很難開展獨(dú)立的實(shí)驗(yàn).此外，針對不同的教學(xué)內(nèi)容，如何構(gòu)建實(shí)驗(yàn)素材，如何理清數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與高考解題的關(guān)系，如何轉(zhuǎn)變教師的教育觀念等問題也困擾著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展.

總之，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”還有很長的路要走，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”想說愛你不容易.

1.劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）A版［M］.北京：人民教育出版社，2015.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

4.弗賴登塔爾，著.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.F