由已知點探索未知點

季佳寧

在學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系這一章后，我們經(jīng)常會遇到這幾類問題：確定點的位置并將其與點的坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換；運(yùn)動過程中，平面內(nèi)點位置的變化；坐標(biāo)系中的圖形問題.今天我想和同學(xué)們共同分享我在平時的學(xué)習(xí)中是如何由已知點入手，通過數(shù)形結(jié)合求未知點的坐標(biāo).

在對平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)中我們知道，坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序數(shù)對（x，y）之間是一一對應(yīng)關(guān)系，換言之，一個點對應(yīng)且僅對應(yīng)一對有序數(shù).根據(jù)這一性質(zhì)，我們一起來解決下面這一道例題.

例1 如圖1所示，一個平行四邊形的三個頂點為A（0，-1），B（2，-1），C（2，0），求另一個頂點D的坐標(biāo).

【解析】對于這道題而言，首先是對未知平行四邊形進(jìn)行分類，即分別以AB，AC，BC為對角線所構(gòu)成，接下來就是本次探究重點，數(shù)形結(jié)合求點的坐標(biāo)，我們以AB為對角線的平行四邊形為例：由B、C點的縱坐標(biāo)可以得到，線段BC的長=0-（-1）=1，那么線段AD的長也就為1，因為以AB為對角線，結(jié)合圖像可以得到D1（0，-1-1）即D1（0，-2）.按照這樣的思路，我們不難解得以AC為對角線時，D2（0，0）；以BC為對角線時，D3（4，0）.

同學(xué)們可能覺得直接作圖就可以得出答案，就本題而言，這個方法也是可行的，但是，如果某個點的坐標(biāo)含根號，我們還可以直接作圖看出嗎？也就是說，多數(shù)題僅通過“形”來解是不可行或不合適的，還常需要“數(shù)”的結(jié)合，比如下面這一題.

例2 線段AB在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)平移后A點由（2，1）至（5，3），那么原來坐標(biāo)為（1，5）的點B平移后的坐標(biāo)為_______.

【解析】已知點A的平移前后位置關(guān)系是本題的關(guān)鍵，分析其橫坐標(biāo)的運(yùn)動可以得到，A點向右平移了3個單位長度，而分析其縱坐標(biāo)可以得到，A點向上平移了2個單位長度，由此我們可以解得B點的運(yùn)動規(guī)律，所以B（1+3，5+2），即B（4，7）.

通過上面兩道題的練習(xí)，我們可以得出解決平面直角坐標(biāo)系內(nèi)由已知點求未知點的一般規(guī)律：首先由一個或多個已知點得到與未知點相關(guān)的長度關(guān)系，再利用數(shù)形結(jié)合的思想，將長度與圖形或與坐標(biāo)系聯(lián)系起來（有時需添加輔助線），根據(jù)題意解得未知點的坐標(biāo).

最后一題是對于這次探究的拓展，所以相對上面有一些難度哦，但是利用已知點——長度——未知點的思路，問題自然就迎刃而解了.親愛的同學(xué)，你有興趣試試嗎？

【探究再思考】如圖3，正方形OACB的邊長為4，且OB與y軸夾角為30°，求B，A，C點的坐標(biāo).

（指導(dǎo)教師：何林峰）