在比較中激發(fā)學生思考

張莉

近段時間，學校的一位教師正在準備調(diào)研課，課題是人教版（2011年版課標教材）小學數(shù)學五年級上冊的“小數(shù)除以整數(shù)”。因為參加了磨課的過程，故有了自己的一點想法。

第一次教學

【教學過程】

一、初步感知，嘗試計算

1.從“體育老師為學校買體育用品”的實際情境引出生活中常常需要用小數(shù)除法解決的問題。在解決羽毛球單價和毽子單價的問題中，列出兩個算式：

38.4÷4= 9.6÷12=

2.在初步估算后，嘗試解決38.4÷4。

學生中出現(xiàn)了以下幾種方法：

（1）38.4元=384角，384角÷4=96角=9.6元

（2）38.4÷4=36÷4+2.4÷4=9+0.6=9.6（元）

（3）38.4÷4=9.6 （4）38.4÷4=9.6 （5）38.4÷4=9.6

生匯報自己的想法。

師（追問）：第四種和第五種方法有什么不一樣嗎？

生：一個是2.4，一個是24。

師：那到底是寫2.4還是24呢？

生：我覺得上面就是2.4，下面寫下來也應該是2.4。

生：我覺得這個小數(shù)點不用寫，只要在商的上面點上小數(shù)點就行了。

兩方爭執(zhí)不下，都等著教師來定奪。

師：其實，這個小數(shù)點可以不寫，因為24表示24個十分之一，除以四，商就是6個十分之一。明白了嗎？

生：明白了！

師：大家想出這么多種方法，真棒！現(xiàn)在我們用第五種方法一起來做一遍。

教師一邊板演方法5，一邊講算的過程。

師：想一想，商的小數(shù)點寫在哪里？被除數(shù)的小數(shù)點在哪里？

師：也就是說商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點怎么樣？

生：對齊。

3.引導學生獨立筆算9.6÷12。

反饋時，有學生算對了，也有學生沒有在整數(shù)部分寫“0”占位。

師：這兩種方法，哪種是正確的？

生：第一種，因為如果不寫零的話，商就是8了，不可能。

師：是的，當整數(shù)部分不夠商“1”時，我們要寫“0”占位。

師：誰來說說，小數(shù)除以整數(shù)的除法計算方法？（靜默許久）

生：先把小數(shù)變成整數(shù)，小數(shù)點向右移幾位，商的小數(shù)點就向左移動幾位。

生：計算時，小數(shù)點可以不寫。

師：別忘了商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；如果整數(shù)部分不夠商“1”，要寫“0”占位。

二、練習鞏固

1.估一估，算一算。

34.5÷15 4.08÷8 14.21÷7

反饋中，學生的錯誤率比較高，主要有：

[2.3][15][3 4.5

3 0][4 5

4 5][0][2.3][15][34.5

30][4.5

4.5][0][5.1][8][4.08

40][8

8][0]

于是，教師對每一種錯誤進行再次的講解和糾正，耗費了大量的時間，那些沒掌握的學生還是云里霧里。

……

【課后反思】

聽課后，回顧嘗試計算環(huán)節(jié)，學生的方法豐富而有價值。而如此豐富的生成，不是偶然現(xiàn)象，是因為學生對小數(shù)除以整數(shù)已有樸素的認知直覺，這種直覺來自于剛學完的小數(shù)乘法和以前的整數(shù)除法的經(jīng)驗，以及平時計算教學中估算經(jīng)驗的積累。面對這些即時生成，教師也加以關(guān)注，并進行了追問和評價，但看似順利的新授環(huán)節(jié)，在練習時，卻遭到了重創(chuàng)：因為學生出現(xiàn)的算法失誤和不合理，不是個別現(xiàn)象，那么就有必要對教師的新授環(huán)節(jié)進行剖析和反思了。

而練習中學生出錯的主要原因在于對小數(shù)除以整數(shù)的算理理解得不夠透徹，關(guān)鍵性的算法總結(jié)也不是學生自己悟到的。如為什么商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊？除到小數(shù)部分時，除的過程中為什么不寫小數(shù)點？除了先把被除數(shù)擴大成整數(shù)去除，再縮小的方法，還有其他更方便的計算方法嗎？因為學生對于這些關(guān)鍵的問題沒有進行深入思考，所以算法也停留在對教師的模仿上，無法真正內(nèi)化，一旦碰到新數(shù)據(jù)和新問題，自然無從應對。

同時，由于沒有展開對每種方法的優(yōu)劣比較和分析，所以學生最終并沒有在新授中得到什么新發(fā)展，練習時，他們還是按照自己原有的認知來解答。

另外，由于教師沒能巧妙而有效地利用學生已有的認知經(jīng)驗對各種方法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和區(qū)別加以關(guān)注，所以學生對每一種方法的理解是孤立的、無關(guān)聯(lián)的，聽過算數(shù)，沒有進一步探究的欲望，那么這些生成也就成了過眼云煙，不但沒有對理解算理、形成一般化的方法起到積極作用，反而引起了干擾，故練習中出現(xiàn)問題也在情理之中了。

第二次教學

在呈現(xiàn)學生原生態(tài)的生成時，教師應進行有效整合和引導，即通過有的放矢地“比較”，建立起各種方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，理順看似雜亂的原生態(tài)生成；讓反饋交流不僅僅停留在展示和介紹，而是引發(fā)學生更深刻地思考，讓學生在對比中理解算理，明確算法的合理性和關(guān)鍵性，自然而條理清晰地凸顯重難點。這種通過多次比較而引發(fā)的思考，能夠讓學生真正地內(nèi)化算理，并指導算法。

【教學過程】

在第二次的教學中，我們是這樣實踐的。

呈現(xiàn)例題后，學生的自主嘗試依然出現(xiàn)了5種不同的方法：

（1）38.4元=384角，384角÷4=96角=9.6元

（2）38.4÷4=36÷4+2.4÷4=9+0.6=9.6（元）

（3）38.4÷4=9.6 （4）38.4÷4=9.6 （5）38.4÷4=9.6

[4][96][384

36][24

24][0][4][9.6][38.4

36][2.4

2.4][0][4][9.6][38.4

36][2 4

2 4][0]

第一次比較：類比求同，感悟化歸。

師：仔細觀察，你看得懂別人的方法嗎？哪幾種有點相似？

生：方法1和方法3差不多，方法2和方法4差不多。

師：具體說說，有什么相同和不同的地方。

生：方法1和方法3都是把被除數(shù)看成整數(shù)來算，因為剛才被除數(shù)擴大了10倍，所以商要縮小到原來的十分之一。

生：方法1是用元角分來轉(zhuǎn)化的，方法3是直接在豎式中擴大。

師：是的，無論是將元轉(zhuǎn)化成角，還是直接將被除數(shù)擴大成整數(shù)，他們都想到把小數(shù)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的整數(shù)除法來算，這種轉(zhuǎn)化的意識挺好！

師：那說說方法2和方法4吧。

生：他們方法差不多，就是一個寫成橫式，一個寫成豎式。

師：你很善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)。那這兩種方法，給你什么啟發(fā)呢？

生：我覺得可以先用整數(shù)部分去除以除數(shù)，剩下的數(shù)再除。

（比較意圖：第一次比較主要是學生自主類比，方法1和方法3都是利用已有的整數(shù)除以整數(shù)學習經(jīng)驗和商的變化規(guī)律將新知轉(zhuǎn)化為舊知加以解決。而方法2和方法4的比較，則突出小數(shù)除以整數(shù)可以先算整數(shù)部分，余下的再繼續(xù)往下除。通過比較，滲透轉(zhuǎn)化思想，并溝通小數(shù)除法與整數(shù)除法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。）

第二次比較：聚焦分歧，理解算理。

師：方法4和方法5一樣嗎？相同處和不相同處都說說。

生：他們都沒有把被除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，而是直接一位一位筆算了。

師：看來不用把被除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，我們也能像整數(shù)除法一樣，從高位開始，一位一位往下除。

生：但是方法4一步一步除的時候，下面是寫2.4，而方法5下面寫的是24。

師：觀察得很仔細?，F(xiàn)在的兩種豎式的分歧在于2.4的這個小數(shù)點要不要寫呢？雙方各自闡述理由來說服對方。

生很賣力地開始辯論：

生：我覺得要寫，因為被除數(shù)上面也有小數(shù)點的，這個4是十分位上移下來的，不能把小數(shù)點去掉。

生：我覺得不用寫，不寫也沒有影響呀，只要商的小數(shù)點別忘就行了。

師：態(tài)度明確，不影響計算，我們就可以一切從簡了?？磥砀饔懈鞯睦?，我想分別采訪一下兩種方法的代表，你的2.4和你的24各表示什么呢？

生：2.4就是個位上的余數(shù)2加十分位移下的0.4，組成了24個十分之一。

生：這個24就表示除到十分位時，用24個十分之一去除以4。

師：這次意見很一致，這里的2.4和這里的24其實都表示24個十分之一。

生：我覺得都表示24個十分之一，那還寫這個小數(shù)點干嗎？還不如不寫更省事呢。（其他學生紛紛表示贊同）

師：但2.4這個小數(shù)點真的就只是為了省事而隨意去掉的嗎？

生：不是，它表示24個十分之一，所以寫成24。

師：看來明確了道理和意義，大家就能作出更正確的判斷。

（比較意圖：方法4與方法5的比較，滲透了小數(shù)除以整數(shù)與整數(shù)除以整數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一致性，即可以不將被除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，而像整數(shù)除法那樣，從高位除起，一位一位往下除。同時旨在引導學生關(guān)注整數(shù)除以小數(shù)的筆算過程中的小數(shù)點問題，以此引出商十分位6 的來龍去脈，進而將算理剝離得更清楚。）

第三次比較：有的放矢，凸顯重點。

師：觀察方法3和方法5，說說你的發(fā)現(xiàn)。

生：他們就是一個商有小數(shù)點，一個沒有。

師：為什么方法5的商有小數(shù)點了呢？位置是怎么確定的呢？

生：因為被除數(shù)就有小數(shù)點。被除數(shù)小數(shù)點在哪兒商的小數(shù)點也在哪兒。

其實方法3橫式里的商也是這么點小數(shù)點的。

師：他的意思你明白嗎？

生：就是商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。

師：概括得更到位了。那為什么商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊呢？如果不對齊，或者不點小數(shù)點，會怎樣？

生：那就全亂了。明明24個十分之一除以4是6個十分之一，應該寫在十分位上，如果不點小數(shù)點，6就象方法3這樣，在個位了。

生：我有點補充，就是除到被除數(shù)的十分位了，商就要寫在十分位上，沒有這個小數(shù)點，怎么表示十分位呢？

師：反問得好！看來，為了確保除到哪一位商就寫在哪一位上面，我們一定要把商的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊。

引導學生選擇和優(yōu)化，學生順利歸納出小數(shù)除以整數(shù)可以按照整數(shù)除法的算法，從高位算起，除到哪一位商就寫在哪一位的上面，商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊。

（比較意圖：方法3與方法5比較，旨在突出算理算法中的重點問題：商的小數(shù)點定位。通過比較，讓學生掌握商的小數(shù)點和被除數(shù)的小數(shù)點對齊，并在比較中領(lǐng)悟到背后的算理：只有這樣，才能做到除到哪一位商就寫在哪一位上面。）

第四次比較：對比求異，解決新問題。

新授后，引導學生獨立筆算9.6÷12，并展示學生的筆算過程。

[0. 8][12][9. 6

9 6][0]

師：與例1比較，這次碰到了什么新問題？

生：例1的商是比1大，這次商是比1小了。

師：為什么會產(chǎn)生這樣的情況呢？

生：因為被除數(shù)的整數(shù)部分比除數(shù)小。

（比較意圖：將38.4÷4和9.6÷12兩道例題進行比較，旨在突出“當被除數(shù)的整數(shù)部分不夠商1時，要在商的整數(shù)部分寫0”這種特殊情況。這也是小數(shù)除以整數(shù)與整數(shù)除以整數(shù)的異處。）

從課堂練習反饋來看，上述的實踐起到了很好的教學效果。

【再次反思】

上述教學中的四次比較，素材都源自學生自己的生成，再通過教師有的放矢地整合與引導，每一次比較都無不引發(fā)學生的思考，具體表現(xiàn)在如下幾方面。

一、通過比較，思考新知的“聯(lián)”

新知的學習，很多時候就是轉(zhuǎn)化和遷移的過程，引導學生思考新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，主動將未知轉(zhuǎn)化成已知，這是教師需要一直關(guān)注和滲透的重要學習方法。而比較，則能很好地承載這一任務(wù)。通過比較找關(guān)聯(lián)，建結(jié)構(gòu)，是數(shù)學學習的重中之重。如第一次的自主比較，從相似的方法中，凸顯“將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法”的轉(zhuǎn)化思想，溝通新舊知識的聯(lián)系。而第二次比較更是由豎式計算過程中的書寫之分歧而引發(fā)學生思考，使學生體會到“小數(shù)除以整數(shù)”與“整數(shù)除以整數(shù)”內(nèi)在方法的一致性，即除到哪一位商就寫在哪一位上，只是后者將數(shù)位由整數(shù)拓展到了小數(shù)部分而已。這次的比較較第一次而言，更具有典型性和深入性，其實是將小數(shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以整數(shù)都歸在了“除數(shù)是整數(shù)”這一類除法中，為學生今后學習除數(shù)是小數(shù)的除法埋下伏筆。

二、通過比較，思考新知的“新”

新舊知識之間只可能部分相同或相似，抓住新知不同于舊知的獨特本質(zhì)，即新在哪里，又是比較的另一重要使命。多次的比較使“小數(shù)除以整數(shù)”的重點和難點不再是教師強加上去，而是在學生的思考中自然凸顯：如第三次比較，即是引導學生關(guān)注新舊知識的“異”——商的小數(shù)點問題，同時凸顯算法算理的重點。第四次比較則是引導學生關(guān)注特殊情況——整數(shù)部分不夠商，需要在商的整數(shù)部分寫“0”占位。通過比較，讓學生對新知的“新”有了更準確的體驗和感悟，相應的解決策略也更合理。

三、通過比較，思考新知的“深”

由這次的教學實踐，我們進一步想到了可以在更多的計算教學乃至其他領(lǐng)域的教學中運用比較的方法。當呈現(xiàn)的素材充分時，設(shè)計幾次有的放矢的比較，求同存異：可以類比——在“同”中概括規(guī)律，把握本質(zhì)，感悟一般性的方法；可以對比——在“異”中不斷創(chuàng)新，學會猜測，感悟特殊性的方法。最重要的是在比較中，學生的觀察、猜測、分析、類比、歸納等數(shù)學素養(yǎng)和能力都在逐步積累，由此，計算教學就不僅僅停留在計算方法的掌握和技能的形成，而是在多次的比較中彰顯其更深的內(nèi)涵和價值，這也是我們新課標倡導的“四基”的一次成功而有效的嘗試。

（浙江省寧波市愛菊藝術(shù)學校 315000）