小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的化歸法及其教學(xué)方法

曹鵬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容要反映社會的需求、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法?！盵1] 化歸法是最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一?；瘹w即轉(zhuǎn)化歸結(jié)的意思，化歸法就是把當(dāng)前有待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已經(jīng)解決或容易解決的問題[2]。匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝》中寫到“數(shù)學(xué)往往不是對問題進行正面攻擊，而是不斷對它進行變形，直到把它轉(zhuǎn)化成能夠解決的問題”。[3]我國關(guān)于化歸法最早的研究，起源于東漢時期成書的數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》，書中很多問題的解答都體現(xiàn)了化歸法。

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，化歸法貫穿于一年級到六年級始末，有著廣泛應(yīng)用?；瘹w法符合小學(xué)生的思維能力及他們的實際生活經(jīng)驗，易于被他們理解和掌握?；瘹w法有利于小學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu)，從而提高自學(xué)能力。學(xué)生領(lǐng)會了化歸法后，不僅能解決學(xué)習(xí)上碰到的問題，更能在生活中靈活運用。[4]如何進行化歸法的教學(xué)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力呢？本文在系統(tǒng)梳理和總結(jié)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊含的化歸法的基礎(chǔ)上，對化歸法進行分類，并提出一些化歸法的教學(xué)策略。

一、 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的化歸法分類舉隅

化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的和基本的知識為基礎(chǔ)，將未知的化為已知的、復(fù)雜的化為簡單的、抽象的化為具體的、一般的化為特殊的、非基本的化為基本的，從而得出正確的解答。鑒于小學(xué)生的年齡和學(xué)習(xí)特點，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的化歸法主要分為三類。

1.化抽象為具體

化抽象為具體，通俗地說就是把抽象枯燥的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體形象的東西來理解的方法。這種方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中普遍存在。眾所周知，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它的研究對象都是抽象的。比如數(shù)，現(xiàn)實生活中是沒有1、2、3等數(shù)存在的，它是人腦抽象的產(chǎn)物，但一年級學(xué)生在認(rèn)識100以內(nèi)數(shù)的時候，并沒有遇到障礙和困難，而是非常自然地接受和認(rèn)識了這些數(shù)，這是因為教材已經(jīng)用化歸法把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為生活中具體的物體個數(shù)了。教材用大量生動形象、多姿多彩的圖片，展示了很多生活中的實物。學(xué)生們從3只小猴、3個桃子、3塊橡皮擦等很多具體的個數(shù)為3的物體中認(rèn)識了數(shù)“3”，把抽象的數(shù)“3”轉(zhuǎn)化為具體物體的個數(shù)。這就是最樸素、最簡單的化歸法。再比如圖形，現(xiàn)實生活中也不存在長方形、正方形、平行四邊形等幾何圖形。教材提供了一些生活中長方形、正方形、平行四邊形等形狀的實物，比如四年級上冊，教材用圖片給出了生活中的樓梯、窗格、停車位等，并要學(xué)生自己說說生活中包含平行四邊形的物體，從這些物體中發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征，并歸納概括出平行四邊形的概念。實際上這也是化歸法，化抽象的幾何圖形的認(rèn)識為具體的生活實物的認(rèn)識。

2.化未知為已知

化未知為已知就是把未知的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)問題來解決。這種方法在“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩大領(lǐng)域應(yīng)用非常之多。

在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，尤其是數(shù)的運算中，隨處可見化未知為已知的化歸法。20以內(nèi)的退位減法和20以內(nèi)的不進位加法都可用化歸法計算解答。如計算15減9（退位）時，可以通過將15拆分成10加5，再用10減9得1，最后計算1加5，進而把未知的15減9的計算問題轉(zhuǎn)化為已知的1加5的問題。

再如計算12加6時，可以通過將12拆分成10加2，再用2加6得8，最后計算10加8得18。通過巧妙的數(shù)的拆分，將未知的20以內(nèi)的退位減法轉(zhuǎn)化為已知的10減一位數(shù)和一位數(shù)加一位數(shù)的計算，將未知的20以內(nèi)的不進位加法轉(zhuǎn)化為已知的一位數(shù)加一位數(shù)和10加一位數(shù)的計算。整十?dāng)?shù)加減整十?dāng)?shù)也可轉(zhuǎn)化為已知的一位數(shù)加減一位數(shù)來計算。將幾百幾十加、減幾百幾十的計算轉(zhuǎn)化為已知的兩位數(shù)加、減兩位數(shù)的計算。同分母分?jǐn)?shù)的加減法轉(zhuǎn)化為分子的加減法，即已知的整數(shù)的加減法。

在圖形與幾何領(lǐng)域，化未知為已知的化歸法應(yīng)用也很多，主要集中在圖形的測量。在求平行四邊形面積時，可利用割補法將平行四邊形的面積化歸為已知的長方形的面積來計算。[5]而三角形的面積又可利用割補法或拼湊法將其化歸為已知的平行四邊形面積來計算。而梯形的面積也用割補法化歸為平行四邊形面積或三角形和平行四邊形的面積之和來計算。這一系列平面圖形面積的求法十分精妙地體現(xiàn)了化未知為已知的化歸法思想。長方形的面積作為最初的已知條件，在長方形面積基礎(chǔ)上求出平行四邊形面積，在平行四邊形面積基礎(chǔ)上求出三角形面積和梯形面積，或者在平行四邊形面積和三角形面積基礎(chǔ)上求出梯形面積。這種化歸法層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生把這一系列平面圖形面積的推導(dǎo)作為一個有機整體來看待，從而形成一個關(guān)于面積的完整的知識結(jié)構(gòu)。

3.化復(fù)雜為簡單

化復(fù)雜為簡單就是把復(fù)雜的、困難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、容易的問題來解決。這種方法在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領(lǐng)域皆有應(yīng)用。兩位數(shù)和三位數(shù)的加減法計算可以轉(zhuǎn)化為簡單的20以內(nèi)的數(shù)的進位加法（退位減法）。異分母分?jǐn)?shù)的加減法通過通分，轉(zhuǎn)化為簡單的同分母分?jǐn)?shù)的加減法。形如5x+3=18的一元一次方程的求解，利用等式的性質(zhì)，將其化為5x=15的形式，再利用等式的性質(zhì)，將其化為簡單的x=5的形式，從而求得其解。求多邊形的內(nèi)角和，可通過作輔助線，將多邊形拆分成很多個三角形，從而將多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為多個簡單的三角形的內(nèi)角和來計算。求有些不規(guī)則平面圖形的面積，學(xué)生會遇到一定的困難，因為沒有關(guān)于不規(guī)則圖形的面積計算公式，但可以通過分割將不規(guī)則圖形的面積分割為多個簡單的規(guī)則圖形的面積之和。

二、 滲透化歸法的課堂教學(xué)策略

化歸法作為一種隱性的數(shù)學(xué)思想方法，隱含在小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教學(xué)中。要讓學(xué)生領(lǐng)略并掌握化歸法，需要教師系統(tǒng)挖掘和整理教材中蘊含的化歸法，精心準(zhǔn)備化歸法的教學(xué)設(shè)計，在課堂教學(xué)中有效滲透化歸法。滲透劃歸法的教學(xué)策略有很多，要根據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)環(huán)節(jié)選擇合適的教學(xué)策略。下面結(jié)合相關(guān)的教學(xué)案例，就課堂教學(xué)的幾大環(huán)節(jié)，談一談化歸法的課堂教學(xué)策略。

1.在復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)用復(fù)習(xí)為化歸法埋下伏筆

化歸法是把待解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，為了化歸法能順利實施，就一定要復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。例如，對于一年級下冊第六單元的 “兩位數(shù)加一位數(shù)（不進位）、整十?dāng)?shù)”的新授課，就要復(fù)習(xí)一年級上冊第四單元“整十?dāng)?shù)加一位數(shù)”的內(nèi)容。具體來講，為了講授“25+2=”和“25+20=”，在創(chuàng)設(shè)情境引入新知識以前，教師可用PPT或者小紙板出示如下算式讓學(xué)生回答 “25=20+ ”“5+2= ”“20+7= ”“40+5= ”目的是為了提示學(xué)生可以通過拆分，把兩位數(shù)加一位數(shù)（不進位）、整十?dāng)?shù)化歸為已知的整十?dāng)?shù)加一位數(shù)來計算。

為了化歸法的順利實施，有時只需復(fù)習(xí)上一節(jié)課或者上一個單元的相關(guān)內(nèi)容，有時需復(fù)習(xí)前幾個單元或者前幾冊的相關(guān)內(nèi)容。這種復(fù)習(xí)策略對教師的教材整體把握能力提出了較高的要求。教師必須熟悉一到六年級的教材，把前后知識點之間的聯(lián)系了然于胸，用起化歸法時才能游刃有余。

2.在引入新知環(huán)節(jié)用故事講述化歸法

在引入新知環(huán)節(jié)，可以用有趣的故事來講述化歸法。例如，在講授二年級上冊第二單元100以內(nèi)數(shù)的連加這一知識點時，可以用我國古代曹沖稱象的故事引入新課，并且把石頭的重量用整數(shù)來表示。故事講完了，提出問題：曹沖是用什么辦法稱大象的？然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，曹沖實際上是把有待解決的較難的大象體重問題轉(zhuǎn)化為較易解決的石頭重量和的問題，從而轉(zhuǎn)化為整數(shù)的連加問題來解決，進而導(dǎo)入新課。再例如，學(xué)習(xí)四年級上冊第四單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)容時，可以為學(xué)生講述德國數(shù)學(xué)王子高斯在小時候計算“1+2+…+100”的故事。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，高斯就是把1到100這100個數(shù)的連加，轉(zhuǎn)化為50個101的和，從而把復(fù)雜繁瑣的100個整數(shù)的加法問題轉(zhuǎn)化為簡單的整數(shù)乘法問題。用古今中外生動形象的故事引入新課，讓文學(xué)融入數(shù)學(xué)，實現(xiàn)文理交融，不僅讓學(xué)生興趣盎然，而且讓學(xué)生對化歸法有非常感性的認(rèn)識，輕松愉快地接受化歸法。

3.在講授新知環(huán)節(jié)用動畫演示化歸法

在認(rèn)識了等腰直角三角形的特征后，為了讓學(xué)生對等腰直角三角形有更深刻、直觀的印象，可以用動畫演示古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯測量古代埃及金字塔高度的過程。古代埃及金字塔聞名于世，但由于太高，在泰勒斯之前，沒有人能測量它的高度，那么泰勒斯是如何測量的呢？泰勒斯站在烈日下，隔一段時間就量一下自己的影子長度，等到他的影子長度恰好等于他身高的時候，他就立即命人去量金字塔的影子長度，這樣就得到了金字塔的高度。通過動畫演示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，泰勒斯此時的身高和他的影子長實際上是一個小等腰直角三角形的兩條直角邊的邊長，金字塔此時的塔高和它的影子長實際上是一個大等腰直角三角形的兩條直角邊的邊長，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：通過等腰直角三角形的性質(zhì)，泰勒斯把很難測量的金字塔的高度轉(zhuǎn)化為容易測量的金字塔的影子長度。在學(xué)習(xí)圓的面積時，可以用動畫演示我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”。劉徽說：“割之彌細(xì)所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體無所失矣?！奔窗盐粗膱A的面積轉(zhuǎn)化為已知的圓的內(nèi)接正多邊形的面積來計算。在讓學(xué)生理解化歸法的同時，又了解了極限思想，可謂一舉兩得

4.在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)揭示化歸法

在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，可以選取一些典型的案例來揭示化歸思想方法。六年級上冊第9單元總復(fù)習(xí)中有一道有名的數(shù)學(xué)趣題——雞兔同籠問題[6]，就是一個可以用化歸法解答的典型案例。雞兔同籠問題是大約1500年前我國古代數(shù)學(xué)名著“孫子算經(jīng)”中記載的，用現(xiàn)代語言翻譯就是：今有雞兔同籠，共35個頭，94只腳，問雞兔各有多少只？解決這個問題的方法很多，其中方法之一就是化歸法。在出示這個問題之前，我們先讓學(xué)生解決另一個問題——買書問題：用100元買4元一本的書和8元一本的書共17本，兩種書各買多少本？解法之一：假設(shè)所有的4元書都漲價成8元，則17本書的總價錢變?yōu)?7×8=136（元），比原來的總價錢多出136-100=36（元），這多出的36元是所有的4元書漲價為8元書所漲的總價錢，每本4元書漲價8-4=4（元），故4元書有36÷4=9（本），故8元書有17-9=8（本）。接著再解決“雞兔同籠問題”。我們把兩道題一對比，就會發(fā)現(xiàn)，雞兔腳的只數(shù)相當(dāng)于書的價錢，雞兔的數(shù)量相當(dāng)于書的數(shù)量，雞兔腳的總只數(shù)相當(dāng)于書的總價錢。我們可以用化歸法，把雞兔同籠問題轉(zhuǎn)化為買書問題。假設(shè)所有的2腳雞都變成4腳雞，則35只動物的總腳數(shù)變?yōu)?5×4=140（只），比原來的總腳數(shù)多140-94=46（只），這多出的46只是所有的2腳雞都變成4腳雞所增加的腳的總只數(shù)，每只2腳雞的腳增加4-2=2（只），故2腳雞有46÷2=23（只），故4腳兔有35-23=12（只）。

5.在課后習(xí)題環(huán)節(jié)中消化和鞏固化歸法

教師要精心設(shè)計課后相關(guān)習(xí)題，對化歸法的教學(xué)進行有效鞏固。例如，在課堂解決了買書問題和雞兔同籠問題后，我們可以給學(xué)生布置一些類似的課后習(xí)題，如：今有大小兩種鋼珠同盒，共30顆，大鋼珠每顆11克，小鋼珠每顆7克，共266克，問大小鋼珠各多少顆？讓學(xué)生在課后自己嘗試用化歸法來解決問題。通過課后習(xí)題，學(xué)生可以很好地消化和理解化歸法。

化歸法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，貫穿于小學(xué)、中學(xué)和大學(xué)的全部數(shù)學(xué)課程中。在學(xué)生數(shù)學(xué)啟蒙的小學(xué)階段，要把化歸法的教學(xué)，變成春風(fēng)化雨、潤物無聲，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，感受化歸法的魅力，埋下化歸法的種子，為后續(xù)學(xué)習(xí)化歸法打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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[2] 金成良.化歸法與遞推法.江蘇教育[J] .1995（7）.

[3] 潘勇.數(shù)學(xué)化歸思想方法及其教學(xué)探研[D].南京：南京師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2004.

[4] 陳旭飛.淺談如何培養(yǎng)小學(xué)生的劃歸思想[J] .教育與教學(xué)，2014（12）.

[5] 沈華斌，費華.“化歸”思想及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J] .教學(xué)新探，2010（2）.

[6] 盧江，楊剛主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（l-6冊）.北京：人民教育出版社.

【責(zé)任編輯：陳國慶】