幾何思維能力培養(yǎng)的教學(xué)路徑

黃紅成

何謂幾何思維？簡(jiǎn)單地說，是指學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)中的形象思維；概括地說，是以幾何圖形為符號(hào)語言，以對(duì)幾何對(duì)象的直接感知為基礎(chǔ)，建構(gòu)幾何知識(shí)和解決幾何問題的思維過程。小學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)成長(zhǎng)的起始階段，也是發(fā)展學(xué)生幾何思維能力的重要階段。然而，由于教師認(rèn)識(shí)的疏忽與不足，學(xué)生幾何思維能力的培養(yǎng)和品質(zhì)的提高并沒有得到應(yīng)有的重視，局限了學(xué)生思維能力的最大發(fā)展。主要體現(xiàn)在如下兩個(gè)方面。

一是意識(shí)淡薄，操作膚淺?？赡苁芙忸}需要或教學(xué)目標(biāo)的牽制，在幾何知識(shí)教學(xué)中，“就題講題”“浮光掠影”的教學(xué)現(xiàn)象十分常見，以致成為教學(xué)的常態(tài)。他們要么狹隘地認(rèn)為，習(xí)題的要求就是教學(xué)的要求，習(xí)題解答完了教學(xué)的任務(wù)也就結(jié)束了；要么機(jī)械地認(rèn)為，滲透數(shù)學(xué)意識(shí)和提高幾何思維能力是多此一舉的行為，至于深入研究問題更是一種超越學(xué)生認(rèn)知水平的教學(xué)方式。

二是認(rèn)識(shí)偏頗，視聽混淆?？梢哉f，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)環(huán)境中，由于教師對(duì)小學(xué)生幾何思維的認(rèn)識(shí)不夠全面、深刻，導(dǎo)致對(duì)學(xué)生幾何思維能力的發(fā)展重視程度不夠，甚至混淆了幾何思維與幾何直觀的概念與作用，將兩者混為一談，分不清兩者的區(qū)別和關(guān)聯(lián)，錯(cuò)誤地認(rèn)為幾何思維是一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和尋找解題思路的方法和途徑。教師認(rèn)識(shí)的不足，導(dǎo)致了教學(xué)的粗糙和膚淺，也導(dǎo)致了學(xué)生的思維能力得不到應(yīng)有的發(fā)展。

那么，如何培養(yǎng)學(xué)生幾何思維能力呢？

一、 重視分析，在增強(qiáng)思維清晰度中培養(yǎng)幾何思維能力

就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，強(qiáng)調(diào)學(xué)生思維的清晰性具有重要而普遍的意義，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外。清晰分析出問題中的數(shù)量關(guān)系，是解決幾何問題的前提和基礎(chǔ)。所以在解決條件比較隱蔽、關(guān)系不夠明顯的幾何問題時(shí)，須要重視對(duì)問題中條件的分析，理清數(shù)量間的關(guān)系，增強(qiáng)思維的清晰程度。

例如，教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的展開圖”時(shí)，教材通常都讓學(xué)生將事先準(zhǔn)備的長(zhǎng)方體和正方體紙盒剪開，然后觀察它們的表面展開圖。在觀察過程中，由于受前一節(jié)課中長(zhǎng)方體和正方體特征的影響，教師并沒有挖掘展開圖中的教學(xué)資源，學(xué)生通常把觀察的重心放在對(duì)特征的 “再次確認(rèn)”上，判斷一些類似“哪個(gè)面和哪個(gè)面是相對(duì)的面？它們的大小怎樣？”“長(zhǎng)方體或正方體的展開圖是什么樣子的？”等淺顯的問題。這樣的教學(xué)明顯存在不足，因?yàn)榇伺e僅清晰了展開圖中面和面之間的關(guān)系，但是邊與邊的關(guān)系被疏忽了。如若這樣，學(xué)生在求圖1中展開前長(zhǎng)方體的體積時(shí)，不少學(xué)生在分析“寬是多少厘米”時(shí)存在困難。教學(xué)中，缺少了對(duì)展開圖中邊與邊位置和長(zhǎng)度關(guān)系的分析，學(xué)生理不清邊與邊之間的長(zhǎng)度關(guān)系，不能正確地找出需要的數(shù)據(jù)，出錯(cuò)是再正常不過的事情了。因此教學(xué)時(shí)，可以補(bǔ)充展開前長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高數(shù)據(jù)，結(jié)合展開圖（如圖2）讓學(xué)生說一說展開圖中各條邊的長(zhǎng)度及分別是怎么算出來的。有了這樣的分析過程，學(xué)生對(duì)展開圖中的邊與邊、面與面的關(guān)系就非常清晰了，這樣就能大大降低解決圖1中問題的困難，也教給了學(xué)生分析幾何問題的方法。

二、 加強(qiáng)辨析，在增進(jìn)思維深刻度中培養(yǎng)幾何思維能力

數(shù)學(xué)思維的深刻性是指數(shù)學(xué)活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動(dòng)的廣度、深度和難度等。深刻性是思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，其水平的高低將影響思維品質(zhì)其他方面的發(fā)展水平。幾何思維是一類數(shù)學(xué)思維，也講求思維的深刻性，其深刻性的水平是衡量學(xué)生思維能力高低的重要標(biāo)尺。教學(xué)中，需要結(jié)合具體的問題，適時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的幾何思維。

例如，學(xué)了“多邊形面積的計(jì)算”后，為了溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，增進(jìn)學(xué)生幾何思維的深刻性，可以讓學(xué)生先計(jì)算這些圖形的面積：（1）平行四邊形底12厘米，高8厘米；（2）三角形底12厘米，高16厘米；（3）三角形底24厘米，高8厘米；（4）梯形上底9厘米，下底15厘米，高8厘米。學(xué)生算出這些圖形的面積，發(fā)現(xiàn)這四個(gè)圖形的面積都相等后，辨析“為什么這些圖形的面積是相等的？”“怎樣的平行四邊形和三角形或梯形的面積相等？”應(yīng)該說，這樣兩個(gè)問題比較抽象，也存有一定的思考難度。但是因?yàn)橛辛饲懊娴挠?jì)算過程，有了之前圖形面積公式推導(dǎo)的經(jīng)歷，解決這兩個(gè)問題還是有路可尋的。在討論和交流之后，學(xué)生覺得可以用割補(bǔ)的方法將圖形進(jìn)行等積變形來判斷（如圖3示意），并且總結(jié)出了諸如“一個(gè)平行四邊形和三角形等底等面積，平行四邊形的高是三角形的一半，三角形的高是平行四邊形的2倍?！钡容^為抽象的結(jié)論。這樣，學(xué)生對(duì)類似的幾何問題就有了更加全面而深入的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也為解決類似“畫一個(gè)與已知平行四邊形面積相等的三角形或梯形”的幾何問題做好了準(zhǔn)備。

三、 善于追問，在增大思維拓展度中培養(yǎng)幾何思維能力

適度的拓展練習(xí)，是課堂教學(xué)的必要延伸和補(bǔ)充，可以讓學(xué)生開闊知識(shí)視野，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，加深問題認(rèn)識(shí)，發(fā)展思維能力。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)需要發(fā)掘和利用教學(xué)資源，適時(shí)進(jìn)行置疑和追問，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)更加全面，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)思維能力的目的。

例如，在“圓的面積”的練習(xí)課中，有這樣一個(gè)問題：計(jì)算邊長(zhǎng)40厘米的正方形中最大的圓的面積（如圖4）。學(xué)生計(jì)算出面積3.14×（40÷2）2=1256平方厘米之后，隨即改變條件：“如果正方形的邊長(zhǎng)是20厘米，那么其中最大的圓的面積是多少平方厘米？”學(xué)生算出3.14×（20÷2）2=314平方厘米。此時(shí)，我們不妨追問：“不知道同學(xué)們有沒有想過，最大的圓面積和正方形面積是不是存在某種特殊的關(guān)系？怎樣的關(guān)系？它們的比是不是相同呢？”富有挑戰(zhàn)意味的問題一出，學(xué)生開始大膽猜測(cè)，然后決定分組算出兩個(gè)問題中圓和正方形的面積比，發(fā)現(xiàn)都是157∶200?！笆遣皇遣还苷叫蔚倪呴L(zhǎng)有多長(zhǎng)，最大的圓與它的面積比都是157∶00呢？如果是，那怎樣來證明呢？”有的學(xué)生說再舉例，只要不出現(xiàn)反例就可以了；有的學(xué)生假設(shè)圓的半徑為a厘米，那么最大的圓和正方形的面積比是（3.14a2）：（4a2）=157∶200，說明他們的比是不變的。通過適度的拓展和適時(shí)的追問，學(xué)生對(duì)“方中有（最大的）圓”這一數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)更加全面，而且將問題的研究從特殊推向一般的教學(xué)方式，拓寬了學(xué)生幾何思維的寬度，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

四、 加強(qiáng)反思，在增添思維嚴(yán)密度中培養(yǎng)幾何思維能力

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。小學(xué)階段的幾何教學(xué)，通常采用直觀教學(xué)的方式，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)一般靠直覺等方式來感知，很少采用推理、證明的方式來分析，這樣很容易出現(xiàn)一些錯(cuò)誤的判斷，也不利于學(xué)生形成正確的認(rèn)知。所以加強(qiáng)反思，可以提高學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，甚至有助于學(xué)生批判意識(shí)的形成。

例如，學(xué)生在解決“一個(gè)平行四邊形兩條相鄰的邊分別長(zhǎng)12厘米和8厘米，一條高為10厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是多少？”的問題時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生不能正確選擇出對(duì)應(yīng)的底和高，而且缺乏謹(jǐn)慎的態(tài)度和反思的意識(shí)，以致胡亂選取一個(gè)底和一條高錯(cuò)誤地計(jì)算出圖形的面積（甚至有學(xué)生把三個(gè)數(shù)據(jù)相乘來算面積）。對(duì)此，教學(xué)“平行四邊形面積”時(shí)，可以結(jié)合如圖5這樣的平行四邊形，讓學(xué)生分別量出兩組對(duì)應(yīng)的底和高，并且在計(jì)算之前，讓學(xué)生面對(duì)圖形進(jìn)行反思：“現(xiàn)在有4個(gè)數(shù)據(jù)，該用哪兩個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算平行四邊形的面積呢？”由于學(xué)生在測(cè)量過程中會(huì)不自覺地思考這樣的問題，加之有直觀的圖形在眼前，所以判斷這個(gè)問題輕而易舉。不過，對(duì)問題的思考不能到此就偃旗息鼓，而是繼續(xù)引導(dǎo)：“4個(gè)條件，你們?cè)趺粗酪眠@兩個(gè)數(shù)據(jù)相乘算出平行四邊形的面積呢？”“因?yàn)榭梢詮膱D上直接看出，這兩個(gè)數(shù)據(jù)是對(duì)應(yīng)的底和高”“你們的意思，是需要借助什么？是誰幫了你們的忙？”“圖形。”“想一想，怎樣變化可以增加問題的難度？”有的學(xué)生說去掉圖形，有的學(xué)生說再去掉一條高或一個(gè)底邊。最后按照學(xué)生的意見，再分析“選擇哪組數(shù)據(jù)‘完整’的對(duì)應(yīng)條件”計(jì)算平行四邊形的面積。從中，不難看出，引導(dǎo)的過程其實(shí)是學(xué)生反思的過程，也是提高學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的過程。在反思的過程中，學(xué)生意識(shí)到解決類似問題需要找準(zhǔn)條件，認(rèn)識(shí)到對(duì)應(yīng)的底和高在數(shù)據(jù)大小方面的特點(diǎn)，掌握了尋找對(duì)應(yīng)條件解決問題的方法，從而誘發(fā)了學(xué)生的反思意識(shí)，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

總之，幾何思維是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分，直接影響學(xué)生后繼學(xué)習(xí)的質(zhì)量，因此，需要我們?cè)诮虒W(xué)中善于挖掘和利用教學(xué)資源，創(chuàng)造性地使用教材，在不斷的辨析和追問中提高學(xué)生的幾何思維品質(zhì)，在不斷的置疑和反思中培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力，為學(xué)生的持續(xù)發(fā)展打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】