關(guān)于比例尺教學(xué)的幾點(diǎn)思考

吳良標(biāo)

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材（第4版）將“比例尺”的教學(xué)內(nèi)容放在六年級下冊的第二單元“比例”中，在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過比的意義、比的化簡和比的應(yīng)用。應(yīng)該說，我們生活在一個(gè)瞬息萬變的時(shí)代，科學(xué)技術(shù)日新月異，從數(shù)學(xué)的角度研究變量和變量之間的關(guān)系無疑是十分必要的，讓學(xué)生從小學(xué)階段開始非正式接觸函數(shù)，開啟一種新的思維方式，將有助于學(xué)生更好地認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界。而對于比例尺的知識，學(xué)生并不會感到陌生，生活經(jīng)驗(yàn)比較豐富，如圖形的放大與縮小、地圖上的比例尺等。盡管如此，比例尺的應(yīng)用對于學(xué)生來說還是比較抽象的，教學(xué)中存在不少困惑，值得我們思考。

一、 怎樣計(jì)算更簡便

“比例尺”這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一確定為：結(jié)合具體情境，認(rèn)識比例尺，能根據(jù)圖上距離、實(shí)際距離和比例尺中的兩個(gè)量求第三個(gè)量。教材中也很明確地給出比例尺的定義：比例尺=圖上距離：實(shí)際距離。據(jù)此可以推導(dǎo)出另外兩個(gè)計(jì)算公式：圖上距離=實(shí)際距離×比例尺；實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺。那教學(xué)中是否也應(yīng)如此按部就班呢？筆者在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)行了比較：讓學(xué)生去識記這三個(gè)抽象無味的計(jì)算公式無疑會增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)和學(xué)習(xí)難度，這樣的教法阻擾了學(xué)生自由的“呼吸”。鑒于以上情況，在教學(xué)比例尺讓學(xué)生計(jì)算實(shí)際距離時(shí)，只要學(xué)生懂得實(shí)際距離是圖上距離的幾倍，可先進(jìn)行單位的轉(zhuǎn)化，如1：15 000 000，表示圖上1厘米相當(dāng)于實(shí)際15 000 000厘米，即15千米，而圖上5厘米可直接乘15千米等于75千米。如要計(jì)算圖上距離時(shí)，可用實(shí)際距離除以比例尺的后項(xiàng)，這樣就能有效地促使學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解放出來，有更多的時(shí)間進(jìn)行更有意義的思考。

二、 是放大還是縮小

在此后的單元測試中出現(xiàn)這樣一道題：一種精密儀器長0.5毫米，畫在圖紙上長是3厘米，你能求出這幅圖的比例尺嗎？學(xué)生解答：3厘米=30毫米，0.5毫米：30毫米=1：60。班級有51名學(xué)生，竟有38人這樣做，面對這一典型錯(cuò)誤，筆者不由得反思是哪個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題了呢？思索一番后得出以下結(jié)論：首先，教材編寫中雖明確指出比例尺的定義，但例題中出現(xiàn)的比例尺皆為將實(shí)際距離縮小后畫在圖紙上的，它們的前項(xiàng)是1，因此學(xué)生便會先入為主產(chǎn)生負(fù)遷移。當(dāng)然編者也考慮到了這一問題，因?yàn)樵诖苏n后面又安排了一份閱讀材料——“你知道嗎”：說明在生產(chǎn)、科技研究中，有時(shí)由于機(jī)器零件比較小，需要把實(shí)際距離擴(kuò)大一定的倍數(shù)以后，再畫在圖紙上。但這一補(bǔ)充因?yàn)楣P者在教學(xué)中的疏忽而未能達(dá)到預(yù)期的目的。其次，教師在教學(xué)中，對于比例尺這一抽象概念的解析不到位，導(dǎo)致學(xué)生的一知半解。因此，在教學(xué)前教師得做足功課：比例尺是表示一幅圖上圖上距離和實(shí)際距離的比，可分為放大比例尺和縮小比例尺兩種。其中，放大比例尺的后項(xiàng)一般是1，用于設(shè)計(jì)圖紙，縮小比例尺的前項(xiàng)一般是1，用于地圖。在課堂上還應(yīng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的練習(xí)讓學(xué)生有針對性地訓(xùn)練，從而有效突破思維定勢，正確認(rèn)識比例尺。其實(shí)深入分析后，便可得知：比例尺的后項(xiàng)為事物原來的實(shí)際大小，而前項(xiàng)則為畫在圖上的大小，如2∶1便是將實(shí)際放大2倍畫在圖上，而3∶4則是將實(shí)際縮小四分之三畫在圖上等。此外，還可適當(dāng)介紹比例尺的三種表示方法：數(shù)字式、線段式、文字式，增加學(xué)生對比例尺相關(guān)知識的了解，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系。

三、 先算長度還是面積

教學(xué)比例尺后，相信很多教師都會碰到這樣的情況：

例題1：一塊長方形水田，在比例尺1∶2 000的平面圖上，量得它的長25厘米，寬15厘米，這塊水田的實(shí)際面積是多少公項(xiàng)？學(xué)生列式計(jì)算：25×15=375cm2 375×2 000=750 000cm2=0.0 075公項(xiàng)。而正確的列式應(yīng)為：25×2 000=50 000cm=500m 15×2 000=

30 000cm=300m 500×300=150 000m2=15公項(xiàng)

學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是先計(jì)算圖上面積，再用圖上面積×比例尺的后項(xiàng)，對于這種思維偏差，很多教師的通常做法是強(qiáng)調(diào)：一定要先計(jì)算出實(shí)際的長和寬（或底和高），再計(jì)算實(shí)際的面積。除此之外，好像別無他法，然后學(xué)生下次再碰到這種類型的題目，老毛病又犯了……筆者以為，這一錯(cuò)誤資源具有一定的典型性，有進(jìn)一步挖掘的價(jià)值。可以出示正誤兩種方法讓學(xué)生進(jìn)行辨析，為什么計(jì)算的結(jié)果不一樣呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察：如果例題中的0.0075公項(xiàng)再乘2 000就會等于15公項(xiàng)，說明先算出圖上面積也可以，但還要再乘一次比例尺的后項(xiàng)，這是為什么呢？引導(dǎo)學(xué)生思考：比例尺表示的是長度之間的比，如果是面積，那么它們的比就發(fā)生了變化啦。

四、 要不要寫單位名稱

在教學(xué)比例時(shí)，還有一種情況也讓教師比較糾結(jié)——比值要不要寫單位名稱？查閱相關(guān)資料后明白了所謂的“值”在數(shù)學(xué)上指的是演算所得結(jié)果：如數(shù)值、比值、函數(shù)值。而“比值”指的是兩數(shù)相比所得的值。比的概念是由同類量的比較而來的，如一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，但現(xiàn)在比的概念已擴(kuò)充到不同類的量相比。比的定義則趨向采用比較廣義的解釋，如小學(xué)階段比被定義為‘兩數(shù)相除又叫兩數(shù)的比”。因此，比在表示同類量比時(shí)比值不帶單位，類似于倍數(shù)關(guān)系，如比例尺便是此種情況；比在表示不同類量的比時(shí)，其結(jié)果（比值）是要帶單位的，且常常為復(fù)合單位。如一輛轎車3時(shí)行駛180千米，這時(shí)路程和時(shí)間的比值產(chǎn)生了一個(gè)新的量，即速度。單位是千米/時(shí)。因?yàn)樾W(xué)階段沒有強(qiáng)調(diào)復(fù)合單位，我們往往只寫成“千米”。除此之外還有“總價(jià)與數(shù)量”的比是“單價(jià)”、“工作總量和工作時(shí)間”的比是“工作效率”……在此處我們可進(jìn)行模糊處理，不必非此即彼、錙銖必較。

以上關(guān)于比例尺教學(xué)的思考雖力求追本溯源，但此中真意因才疏學(xué)淺只能算淺嘗輒止，權(quán)當(dāng)拋磚引玉，如能引起大家的思索，那就更有意義了。

【責(zé)任編輯：陳國慶】