尋找數(shù)學的美與理

董文彬

小學數(shù)學主題作業(yè)的優(yōu)化設計主要是針對當前教學中作業(yè)設計的現(xiàn)實困境，圍繞單元學習中的知識、技能、思想、方法、現(xiàn)象方面的困惑為主題，引導學生在作業(yè)中經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、研究、快樂的學習體驗，注重體現(xiàn)學生數(shù)學思考主動參與的全過程，注重體現(xiàn)學生經(jīng)歷問題解決自主探究的完整過程，形式新穎多樣，內(nèi)容豐富有趣，讓兒童感到數(shù)學“好吃而有營養(yǎng)”、好玩而有深度，力求以此為載體，整體發(fā)展兒童的數(shù)學核心素養(yǎng)。下面，筆者僅以北師大版小學數(shù)學中段教材教學為依托，例談小學數(shù)學主題作業(yè)優(yōu)化設計的主要策略。

一、關注兒童身邊的數(shù)學問題—超市中的混合運算

身邊的生活是最好的數(shù)學百科情境。教學中我們絞盡腦汁地為學生創(chuàng)設問題情境，有時創(chuàng)設得不好還會偏離兒童的現(xiàn)實生活，顯得“假生生”而經(jīng)不住追問和考驗，殊不知身邊的生活就是給兒童的最好的學習情境。比如超市、操場、社區(qū)、游樂園等，我們的作業(yè)能不能把孩子扔到身邊這些活生生的“生活”里，讓他們自己去探索、去發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題？

在學習完三年級（上）“混合運算”單元后，筆者設計了超市中的混合運算主題作業(yè)，要求學生用一周時間走進家門口附近的超市購購物、找一找、看一看，可以針對自己感興趣的售貨區(qū)域認真觀察，收集、記錄、整理商品的價格信息，自己嘗試發(fā)現(xiàn)和提出這其中與混合運算相關聯(lián)的數(shù)學問題并嘗試解答，最終以文字、圖示、表格、算式等多種方式呈現(xiàn)成果，并寫出自己的反思、收獲和感受。

學生走進超市用相機、筆、紙等收集記錄下商品價格，在作業(yè)本上用剪、貼、畫等方式分類整理出這些價格信息，然后根據(jù)自己在數(shù)學課堂上剛剛學習過的不同類型的混合運算，提出了很多有價值的相關問題，并通過畫圖、列式等方式表達對問題的思考、解釋和理解。孩子們發(fā)現(xiàn)和提出的數(shù)學問題豐富多元又不失深刻。

例1：超市大促銷時，優(yōu)益C 6元一瓶，買五贈一，純牛奶8元一盒，第2盒半價。笑笑五共有54元錢，她買6瓶優(yōu)益C還剩多少元？剩下的錢還能買幾盒純牛奶？學生得出的算式如下：54-5×6=54-30=24（元）;8+8÷2=8+4=12（元）;24÷（12÷2）=24÷6=4（盒）

運算教學一直以來被公認為是重要的、抽象的，同時又是枯燥的、乏味的。三年級的孩子初次接觸混合運算，無論是問題的發(fā)現(xiàn)和提出、數(shù)量關系的分析和表達、運算順序合理性的理解對學生來說都是難度不小的挑戰(zhàn)。如何把運算內(nèi)容的學習變“枯燥”為“好玩”，讓孩子們親近數(shù)據(jù)信息、親近問題、親近運算、培養(yǎng)數(shù)感、熱愛數(shù)學是教師義不容辭的責任。通過這樣的主題作業(yè)，學生經(jīng)歷了數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的創(chuàng)生的全過程，同時對整個單元的乘加、乘減、除加、除減、加減、小括號等各種類型混合運算的意義和拓展運用實現(xiàn)了再認識、再理解、再建構。學生通過這種開放性的作業(yè)，需經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)—提出—分析—解決”數(shù)學問題的全過程，學生需要收集、記錄、整理生活情境中的信息，然后從這些信息中發(fā)現(xiàn)并把數(shù)學問題抽離出來，并通過畫圖、算式等方式表征和解答這些問題，這是真正把生活問題數(shù)學化的過程。學生得到的不僅僅是對運算意義本身深層次的理解，更是在從頭到尾問題解決過程中達成的一種豐富體驗。

二、關注數(shù)學本身意義的理解—算式變故事

數(shù)學其實是生活的數(shù)學，數(shù)學是故事的數(shù)學，數(shù)學更是意義的數(shù)學。每個數(shù)學算式或代數(shù)式背后都有與其意義相關的現(xiàn)實故事，這個故事就是算式或代數(shù)式在生活中的原型。北師大第四版教材十分重視對數(shù)學算式回歸生活原型的體現(xiàn)—給算式講故事。

在學習“混合運算”的過程中，筆者設計了算式變故事的主題作業(yè)，要求學生給3×6+7、12÷2+6、（48-24）÷6、（6+2）×4、20-20÷4、36÷（3+3）、100-75+23、7×9-50這八個算式（有想法的同學也可以自己寫算式）編故事，用圖文并茂的方式清晰表達出算式背后故事的意思、算式所解決的問題，并嘗試解答。

學生很喜歡這樣有創(chuàng)造性的作業(yè)，每個人都講述出了合理的故事—算式背后所能解決的生活中的實際問題。比如，有一位學生講了一系列阿拉丁的故事，非常有創(chuàng)意。

例1：阿拉丁的媽媽每天縫7條褲子可掙7個第納爾，為了多掙些錢，還要縫6件上衣，每件上衣可掙3個第納爾，阿拉丁的媽媽每天掙多少第納爾？其算式為3×6+7=25（第納爾）

例2：一天一個自稱阿拉丁叔叔的人來到他家里，給阿拉丁買了十分華貴的衣服：12個金幣2條的褲子和1件價值6個金幣的綢緞上衣，問阿拉丁穿一套衣服價值多少個金幣？可得算式為12÷2+6=12（個）

在學生眼中，這些算式有了學習者所賦予他們的特定的現(xiàn)實意義，它們能解決很多問題，如購物、公交車站上下人、公園租船、會場布置盆花、吃糖、讀書、年齡、桶內(nèi)加水等問題……學生這種對運算抽象意義的感悟是非常難能可貴和了不起的。講故事看似很簡單，實則是在溝通運算與生活的聯(lián)系，通過尋找生活情境中的例子或原型最終理解算式解決的是個什么問題。在這樣有意義、有創(chuàng)造性的作業(yè)中，數(shù)學算式不再是冷冰冰的枯燥無味的符號、式子，而是兒童依托自身的知識經(jīng)驗所賦予它的在生活中隨處可見、承載著情感的、具有鮮活意義的東西。這是一種數(shù)學問題生活化的過程，這樣的經(jīng)歷體驗能夠幫助孩子親近算式、理解算式，培養(yǎng)孩子們對數(shù)學的熱愛。

三、關注數(shù)學不同思維方式的培養(yǎng)—玩轉“鋪地磚”

北師大版四（上）第三版教材第59頁第1題“鋪地磚中的學問（如下圖）”（第1問）引發(fā)了筆者的思考：

這是一道考察學生用乘法解決實際問題的題目。然而，這道題目又是非常鮮活的教學資源，認真審視其蘊含的價值遠不止于此—它既是對第三單元用乘法解決實際問題的運用，同時又是五年級學習“組合圖形面積”問題的前奏。求“鋪了多少塊地磚”不就是求這個組合圖形的“面積”嗎？為什么不放手讓學生自己來探索解決問題的策略呢？如果在講解之前讓學生嘗試從不同角度思考解決此問題，學生就會不滿足于一種方法，思維方式也許會更發(fā)散，在加深對所學知識內(nèi)容的理解的同時，還可以有效地發(fā)展學生多角度思考問題的多元的數(shù)學思維能力。

于是，筆者設計了“玩轉鋪地磚”的主題作業(yè)，要求學生用一周時間嘗試思考用多種方法和思路解答本題。盡量詳細記錄在解決此問題時思考的過程性痕跡，畫圖說明，列式計算，并附帶必要的文字解釋，給所用的方法起個合適的名稱。

學生作答效果較好，大部分學生都用到了5種及以上解決問題的方式方法。如數(shù)一數(shù)，分割法（左右分、上下分）—將原圖分割成兩部分分別計算地磚數(shù)再相加，填補法—將原圖右上角填補成一個新的長方形，再用長方形的地磚數(shù)減去右上角小長方形的地磚數(shù)，挪移法—根據(jù)圖形邊長的數(shù)據(jù)，在將圖形分割后將上半部分挪到剩余圖形的右邊，或者將分割后的右半部分挪移到剩余圖形的上邊等。通過這種方法，同學們深刻地體會到多角度解決問題的妙趣。數(shù)學題不但不可怕，反而很好玩。

教材中的習題因其科學性、合理性、開放性，蘊含著數(shù)學知識和數(shù)學思想的核心本質，同時傳達著編者的意圖及思考，一直以來成為鞏固和評價學生學習效果的重要載體。深入挖掘這些有價值的課后習題資源，并將這些資源深入挖掘、用實、用活，在原來的基礎上進一步豐富和加工，能夠幫助學生創(chuàng)造性地理解和解決數(shù)學問題。如果教師認真研讀教材中充滿智慧和挑戰(zhàn)的這些有價值的習題資源，啟發(fā)學生讀懂教材和編者意圖，更多地關注對數(shù)學問題解決的不同思維方式，這樣就能避免大量的機械性練習給學生帶來的負擔和煩擾，幫助學生真正理解數(shù)學知識、掌握技能、內(nèi)化數(shù)學的思想方法，進而切實提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力。

四、關注數(shù)學刻畫的多元表征方式—豐富的分數(shù)

北師大版三（下）第六單元“認識分數(shù)”在數(shù)的認識領域中是十分重要的內(nèi)容，由于學生在小學階段第一次接觸分數(shù)，而北師大版教材更是在初識階段就把對分數(shù)認識平均分的對象由“個”擴展到“群”，增加了學生認知和理解上的難度，因此對“分數(shù)意義”的理解更是成為這個單元的重中之重。在學習完這個單元后，為考察學生通過多種表征方式所達成的對分數(shù)意義的理解程度，筆者設計了豐富的分數(shù)主題，要求學生用課堂35分鐘時間自己任意舉1～2個分數(shù)，如、等，并用用自己喜歡的方式方法表示出這個分數(shù)（至少3種），并嘗試表達出這個分數(shù)所表示的意思。

學生的表示方法多種多樣，文字表述、實物、圓形圖、長方形圖、正方形圖、三角形圖、數(shù)軸、線段圖等，有96%的學生都用到了三種以上的表征方式，從平均分一個物體、一個圖形到平均分多個物體、多個圖形等都得以呈現(xiàn)。特別是有的學生出現(xiàn)了這樣兩種思維來表示“”：一個是借助數(shù)軸找到“”這個數(shù)所對應的點，一個是借助線段圖表示出“”所表達的關系，實際一個是“量”，一個是“率”，三年級學生能夠對分數(shù)理解到這樣的程度實屬不易。

在數(shù)的領域中，分數(shù)的意義是最豐富的，同時也是最抽象的，三年級的孩子理解起來比較困難，這就需要借助各種直觀模型幫助學生真正理解分數(shù)的意義，讓分數(shù)看得見摸得著說得清。無論是面積模型還是集合模型，學生都要經(jīng)歷平均分的過程，平均分的對象也由“個”擴展到“群”，學生在平均分、取的過程中深入地理解了分數(shù)。這種對同一個分數(shù)的多元表征方式，對同一整體的不同分法，從面積模型到集合模型，進一步增強了學生對分數(shù)意義的理解，旨在豐富學生對分數(shù)的再認識，更重要的是學生還積累了多角度理解數(shù)學的思維活動

經(jīng)驗。

五、關注數(shù)學活動經(jīng)驗的積累—好玩的測量

三年級學生對周長有了一定的認識，而周長概念的建立絕不僅僅是會計算課堂中學習的長（正）方形的周長。課堂或教材中所提供的問題情境往往是把生活數(shù)學化后的靜態(tài)呈現(xiàn)，解決生活中大的不規(guī)則的實物或圖形的周長問題成為學生們認知的難點。盡管課堂中孩子們通過實際操作探索理解樹葉的周長，初步建立了周長的表象，如可通過將細鐵絲沿樹葉邊線繞圍一圈（做好標記），然后將細鐵絲拉直，細鐵絲的長度即是樹葉的周長，或將樹葉在直尺上滾動一周（做好標記），樹葉滾過的長度即表示樹葉的周長，但畢竟課堂時間有限，況且樹葉太小了，有的學生對實際中更大的不規(guī)則實物周長的測量存在一定障礙。因此筆者設計了好玩的測量主題作業(yè)，要求大學用2周時間測量學校操場跑道的周長（寫清研究的是哪條跑道），研究活動以組為單位，分工合作，測量數(shù)據(jù)可以共享。每人完成一份完整的實踐報告。

學生（共68名、分17組）測量情況如下：

（1）研究操場跑道周長所使用的測量方法：有15個組在前期設想中討論出了8種以上不同的測量方法，如：線繩/米尺直接測量法、腳（鞋）測法、步測法、呼啦圈滾動測量法、自行車車輪滾動測量法、手拉手移動測量法、步行速度測量法、排水孔間距測量法、跑道燈測量法等，實際操作中有13個組用了其中4種以上的測量方法。其中有37人在報告中體現(xiàn)了多次實驗追求結論相對準確等。

（2）實踐報告的撰寫情況：經(jīng)統(tǒng)計，有62人方案設計得合理、可行，過程記錄清晰，數(shù)據(jù)合理可信，運用數(shù)據(jù)得出結論、解決問題。報告撰寫得翔實完整，研究的問題明確，小組分工清晰，測前小組討論過程記錄詳細，實施過程細致，過程性數(shù)據(jù)記錄清楚，能夠借助圖片、文字、表格、示意圖等進行后期的思考、計算、整理得出結論，反思具體，收獲與感受深刻，自我評價客觀。有學生最多竟寫出了15頁的實踐報告！

完成這個主題作業(yè)后，學生寫道：“平時上操我沒有注意過操場跑道的周長，這次實踐主題作業(yè)讓我徹底關注了一下。我們小組互相啟發(fā)想到了11種方法。我在測量過程中才知道：測一條跑道這件小事原來還有那么多種方法。數(shù)學就像一臺光譜儀，思考問題總是有多種角度?。　边€有一個學生的感悟著實讓筆者驚訝：“測量不一定非要直接用尺子，其實身邊的許多物體都可以當成‘標準’作為測量工具，然后去數(shù)、算就可以了?！?/p>

課堂教學留在學生頭腦中的是豐富的周長表象。而學生創(chuàng)造性的研究實踐，給學生留下的不僅僅是對概念、對數(shù)學深層次的理解，更重要的是讓學生完整地經(jīng)歷了問題解決的全過程。學生度量操場跑道周長的策略是合理的并且呈現(xiàn)出多元化的樣態(tài)。學生解決實際生活中比較大的且不規(guī)則實物的周長時，能夠合作去思考測量方法，使抽象思維得以擴展，進一步建立周長概念，并在實際操作中理解度量方法。這種實踐性的主題作業(yè)對促進學生學習的自主性、創(chuàng)造性，培養(yǎng)學生的問題解決能力和創(chuàng)新能力，特別是積累數(shù)學活動經(jīng)驗是很有意義的。

日本著名數(shù)學教育家米山國藏曾指出：“學校所培養(yǎng)的學生畢業(yè)后，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學思維方法、研究方法、推理方法才會隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身?！惫P者想，小學數(shù)學主題作業(yè)正是為學生提供數(shù)學方法、啟發(fā)數(shù)學思維、形成數(shù)學能力、悟化數(shù)學精神、發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的重要途徑。抽象的數(shù)學學習通過主題作業(yè)不再冷冰冰，而是多了一層色彩和溫度，數(shù)學在學生的眼睛里不再神秘，不再深不可測。我想，只有這樣從形式到內(nèi)容都不斷優(yōu)化設計的主題作業(yè)，才能真正有效引領學生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題，真正幫助學生不斷尋找數(shù)學的美與理。

（作者單位：清華大學附屬小學）

責任編輯：趙彩俠

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