低速非達西滲流動邊界移動規(guī)律

王建俊， 鞠斌山， 羅二輝

( 1. 中國地質(zhì)大學(北京) 能源學院，北京　100083；　2. 中國石油勘探開發(fā)研究院，北京　100083 )

?

低速非達西滲流動邊界移動規(guī)律

王建俊1， 鞠斌山1， 羅二輝2

( 1. 中國地質(zhì)大學(北京) 能源學院，北京100083；2. 中國石油勘探開發(fā)研究院，北京100083 )

低滲透油藏非達西滲流動邊界的產(chǎn)生歸因于啟動壓力梯度。在考慮動邊界的基礎(chǔ)上，建立包含表皮效應和井筒存儲的單一、以Warren-Root模型為基礎(chǔ)的雙重和三重介質(zhì)低速非達西滲流數(shù)學模型；并通過定義無量綱壓力得到模型的Laplace解，利用Stehfest數(shù)值反演獲得動邊界的傳播規(guī)律，對比動邊界與無限大、封閉及定壓等三類外邊界條件下的壓力及壓力導數(shù)分布特征。結(jié)果表明：對于低速非達西滲流，啟動壓力梯度越大，動邊界向外傳播越慢；在雙重介質(zhì)和三重介質(zhì)中，動邊界移動出現(xiàn)短暫的停滯，曲線上表現(xiàn)為水平段或平緩段；動邊界主要影響壓力及壓力導數(shù)曲線的中后期，而無限大、封閉及定壓等三類外邊界主要影響曲線的后期形態(tài)。

非達西滲流； 啟動壓力梯度； 動邊界； 單一介質(zhì)； 雙重介質(zhì)； 三重介質(zhì)

0　引言

達西定律已廣泛應用于多孔介質(zhì)的滲流力學問題，當滲流速度過快或過慢時，達西定律描述的滲流速度與壓力梯度之間的線性關(guān)系不再成立，偏離達西定律線性關(guān)系的滲流問題可以歸結(jié)為非達西滲流。低速非達西滲流是指流速較慢而導致偏離達西定律的流動，如低滲透儲層或深部弱透水層[1-2]。李凡華等[3]研究表明，當啟動壓力梯度值大于0時，壓力的傳播并非瞬時達到無窮遠，可以采用數(shù)值離散化方法計算動邊界隨時間的變化；賈振岐等[4]通過實驗證明，低滲透油藏的孔隙越小、喉道越窄、固液表面的分子作用力越強，啟動壓力越高；程時清等[5]對低速非達西動邊界問題進行積分求解；閆棟棟等[6]通過氣泡法巖心測試表明流度越低，啟動壓力梯度越高；計秉玉等[7]運用穩(wěn)態(tài)逐次逼近方法，求解定流量和定流壓條件下的非達西滲流模型；王曉冬等[8]采用數(shù)理方法，求解包含啟動壓力梯度和動邊界的非線性不定常滲流數(shù)學模型；王軍磊等[9]利用疊加原理，求解考慮啟動壓力梯度的七點井網(wǎng)穩(wěn)態(tài)壓力方程，表明啟動壓力梯度越大，有效動用程度越低。

當儲層中存在溶洞、裂縫時，滲流通道不再是單一的孔隙介質(zhì)，而是形成雙重介質(zhì)和三重介質(zhì)。多重介質(zhì)中低速非達西滲流問題更加復雜。姜瑞忠等[10]利用油藏工程方法，研究裂縫存在時形成的優(yōu)勢滲流通道。針對雙重介質(zhì)，羅二輝、程林松、Xu Jianchun等考慮啟動壓力梯度，得到非達西滲流的特征[11-13]。羅二輝等[14]利用解析方法，得到三重介質(zhì)中壓力分布，并分析敏感因素。由于低速非達西滲流具有高度非線性，難以獲得解析解，目前還沒有針對不同介質(zhì)中動邊界的移動規(guī)律的研究。在考慮動邊界的基礎(chǔ)上，基于啟動壓力梯度的非達西滲流，筆者建立包含表皮效應和井筒存儲的單一、以Warren-Root模型為基礎(chǔ)的雙重[15]和三重介質(zhì)[16]低速非達西滲流有效井徑數(shù)學模型；利用Laplace變換和Stehfest數(shù)值反演獲得壓力分布的解析解表達式，分析不同介質(zhì)類型中啟動壓力梯度對動邊界傳播規(guī)律的影響，并對比動邊界與無限大、封閉及定壓等三類外邊界條件下的壓力及壓力導數(shù)的變化動態(tài)特征。

1　低速非達西滲流數(shù)學模型

1.1假定條件

(1)平面徑向流動，儲層厚度為h；(2)介質(zhì)分別為單一、雙重和三重孔隙介質(zhì)且各向同性，外邊界為無限大、封閉、定壓、動邊界等四類；(3)儲層流體和巖石微可壓縮；(4)動邊界條件下符合低速非達西滲流，啟動壓力梯度為G；(5)考慮表皮效應和井筒存儲，不考慮重力和毛管力。

1.2參數(shù)無量綱化

無量綱化可以使?jié)B流方程變得簡潔整齊，便于分析和求解。對滲流方程中參數(shù)進行無量綱化，包括壓力、時間等，其中啟動壓力梯度的影響體現(xiàn)在孔隙介質(zhì)壓力與裂縫系統(tǒng)壓力上。

其中:pi為原始地層壓力；pd為單一介質(zhì)中孔隙介質(zhì)壓力，pdD為對應的無量綱形式；pf為裂縫系統(tǒng)壓力，pfD為對應的無量綱形式；pv為溶洞系統(tǒng)壓力，pvD為對應的無量綱形式；pm為基質(zhì)系統(tǒng)壓力，pmD為對應的無量綱形式；pw為井底流動壓力；kd為單一介質(zhì)滲透率；kf為裂縫系統(tǒng)滲透率；km為基質(zhì)系統(tǒng)滲透率；r為距井中心的距離，rD為對應的無量綱形式；rw為井筒半徑；rf為壓力擾動邊界，rfD為對應的無量綱形式；μ為地下原油黏度；B為原油體積系數(shù)；t為生產(chǎn)時間，tD為對應的無量綱形式；q為油井產(chǎn)量；φ為單一介質(zhì)儲層孔隙度；φf為裂縫系統(tǒng)孔隙度；φm為基質(zhì)系統(tǒng)孔隙度；φv為溶洞系統(tǒng)孔隙度；ct為單一介質(zhì)地層壓縮系數(shù)；cm為基質(zhì)系統(tǒng)壓縮系數(shù)；cf為裂縫系統(tǒng)壓縮系數(shù)；cv為溶洞系統(tǒng)壓縮系數(shù)；C為井筒存儲系數(shù)，CD為對應的無量綱形式；S為井底附近表皮因子；GD為G的無量綱形式。

1.3滲流控制方程

根據(jù)連續(xù)性方程、運動方程和狀態(tài)方程，建立低速非達西滲流微分方程的無量綱表達形式。

對于單一介質(zhì)滲流微分方程(只存在孔隙介質(zhì)系統(tǒng))為

(1)

對于雙重介質(zhì)滲流微分方程(存在裂縫和基質(zhì)系統(tǒng))，其中裂縫系統(tǒng)的滲流方程為

(2)

基質(zhì)系統(tǒng)的滲流方程為

(3)

式(2-3)中：λm為基質(zhì)竄流系數(shù)；ωf為裂縫彈性儲容比；ωm為基質(zhì)彈性儲容比。

對于三重介質(zhì)滲流微分方程(存在裂縫、溶洞和基質(zhì)系統(tǒng))，其中裂縫系統(tǒng)的滲流方程為

(4)

溶洞系統(tǒng)的滲流方程為

(5)

基質(zhì)系統(tǒng)的滲流方程為

(6)

式(4-6)中：λv為溶洞竄流系數(shù)；ωv為溶洞彈性儲容比。

1.4定解條件

滲流控制方程必須在一定的定解條件下才能求得特定解，定解條件包括初始條件和邊界條件。

(1)初始條件為

(7)

(2)邊界條件分為內(nèi)邊界條件和外邊界條件。其中，內(nèi)邊界定產(chǎn)，外邊界分為4種，無量綱表達。

內(nèi)邊界定產(chǎn)條件為

(8)

對于外邊界條件，無限大外邊界條件為

(9)

封閉外邊界條件為

(10)

定壓外邊界條件為

(11)

動邊界條件為

(12)

(13)

2　有限井徑Laplace解

對式(1-13)作Laplace變換(tD/CD→u，u為Laplace變換量)。

滲流控制方程式(1-6)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為

(14)

對定解條件進行轉(zhuǎn)化，內(nèi)邊界條件為

(15)

外邊界條件分別為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式(14-20)中：

根據(jù)式(15-20)，求解滲流控制方程式(14)，得到相應的Laplace空間壓力分布解。

無限大外邊界Laplace解為

(21)

封閉外邊界Laplace解為

(22)

定壓外邊界Laplace解為

(23)

動邊界Laplace解為

(24)

利用貝塞爾函數(shù)相應的Wronskians關(guān)系式，將式(24)代入式(20)，得到動邊界傳播方程為

(25)

式(21-25)中：I0(x)、I1(x)分別為0階、1階第一類變型貝塞爾函數(shù)；K0(x)、K1(x)分別為0階、1階第二類變型貝塞爾函數(shù)。

對前三類邊界條件，直接應用Stehfest數(shù)值反演式(21-23)，求得實空間解。動邊界條件下的計算過程：首先利用Newton迭代法，在Laplace域中計算動邊界傳播方程式(25)；再利用Stehfest數(shù)值反演方法計算動邊界條件下的解析式(24)，獲得實空間下任意時刻低滲透儲層無量綱壓力和壓力導數(shù)曲線。

3　壓力及壓力導數(shù)曲線

低滲儲層非達西滲流動邊界條件對壓力分布的變化產(chǎn)生影響，由式(21-24)得到無限大、封閉、定壓及動邊界條件下壓力及壓力導數(shù)的分布特征，并分析動邊界條件下特征與其他三種邊界條件下的不同。

不同介質(zhì)系統(tǒng)中，四種外邊界條件下壓力及壓力導數(shù)的分布特征有明顯的差異性(見圖1-3)。由圖1-3可以看出，三種介質(zhì)中，無限大、封閉及定壓等三類外邊界效應主要影響晚期流動，其中無限大外邊界壓力導數(shù)晚期為一斜率等于0的水平線；封閉外邊界出現(xiàn)上翹；定壓外邊界出現(xiàn)下掉。動邊界對中期流動也具有一定影響，在井筒存儲和表皮效應流動段后的某一個時間點，壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)緩慢抬升，且最終上翹程度比封閉邊界的要小。低滲透儲層中啟動壓力梯度的存在使?jié)B流過程中阻力增加，即動邊界的影響介于無限大和封閉邊界的影響之間，若簡單地將低滲透油藏中的動邊界簡化成無限大或封閉邊界，則導致壓力及壓力導數(shù)特征分析中產(chǎn)生誤差。

圖1　四類外邊界對單一介質(zhì)壓力及壓力導數(shù)曲線的影響Fig.1 Distribution of pressure and pressure derivate in single-porosity media with four different types of boundaries

圖2　四類外邊界對雙重介質(zhì)壓力及壓力導數(shù)曲線的影響Fig.2 Distribution of pressure and pressure derivate in dual-porosity media with four different types of boundaries

與單一介質(zhì)相比，雙重介質(zhì)中，壓力導數(shù)曲線存在一個“凹子”，下凹表明基質(zhì)與裂縫之間流體交換的典型特征，且在下凹后，動邊界作用下的壓力導數(shù)曲線逐漸上翹(見圖2)，與其他三種外邊界條件下的特征有顯著不同。三重介質(zhì)中，壓力導數(shù)曲線上有兩個“凹子”，符合三重介質(zhì)的典型特征，即第一個“凹子”表示三重介質(zhì)溶洞對裂縫的補給；第二個“凹子”表示基質(zhì)系統(tǒng)對裂縫系統(tǒng)的供液，與其他三種外邊界條件相比，動邊界作用下的壓力導數(shù)曲線第二個“凹子”的下凹程度較小；在第二個下凹后，動邊界作用下的壓力導數(shù)曲線逐漸上翹，但上翹幅度低于封閉外邊界壓力導數(shù)曲線的(見圖3)。

4　動邊界移動曲線

根據(jù)動邊界傳播方程式(25)，得到單一介質(zhì)、雙重介質(zhì)及三重介質(zhì)中不同啟動壓力梯度下的動邊界傳播規(guī)律(見圖4-6)。由圖4-6可以看出，啟動壓力梯度越大，壓力擾動邊界越小，即動邊界移動越慢；同時說明動邊界的存在使得地層能量消耗增加，啟動壓力梯度越大，能量消耗越大。

圖3　四類外邊界對三重介質(zhì)壓力及壓力導數(shù)曲線的影響Fig.3 Distribution of pressure and pressure derivate in triple-porosity media with four different types of boundaries

圖4　不同啟動壓力梯度下單一介質(zhì)動邊界移動規(guī)律Fig.4 The movement of dynamic boundary in single-porosity media with different threshold pressure gradient

與單一介質(zhì)相比，在中期階段，雙重介質(zhì)中壓力擾動邊界隨時間的變化曲線出現(xiàn)斜率為0的水平段(見圖5)，在這一水平段時間里，動邊界停止移動，即出現(xiàn)停滯現(xiàn)象。原因在于基質(zhì)向裂縫進行供液，當供液結(jié)束后，動邊界繼續(xù)移動。對比雙重介質(zhì)壓力與壓力導數(shù)分布特征曲線(見圖2)，在中期階段tD/CD≈102時，壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)下凹，即基質(zhì)向裂縫供液，證實動邊界移動規(guī)律的正確性。

三重介質(zhì)中，在中期階段，動邊界移動曲線上出現(xiàn)兩個相對平緩段(見圖6)。第一個平緩段斜率為0，表明此時間段動邊界停止移動；而第二個平緩段比第一個平緩段陡一些，表明此時間段動邊界的移動相當緩慢。原因是溶洞系統(tǒng)向裂縫供液導致第一個平緩段的產(chǎn)生，第二個平緩段的產(chǎn)生源自基質(zhì)向裂縫的擬穩(wěn)態(tài)竄流，而且溶洞中的流體比基質(zhì)中的流體更容易流入裂縫，即供液能力不同，導致兩個平緩段的斜率不同。對比三重介質(zhì)壓力與壓力導數(shù)分布特征曲線(見圖3)，壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)兩個下凹，驗證動邊界移動規(guī)律的可靠性。

圖5　不同啟動壓力梯度下雙重介質(zhì)動邊界移動規(guī)律Fig.5 The movement of dynamic boundary in dual-porosity media with different threshold pressure gradient

圖6　不同啟動壓力梯度下三重介質(zhì)動邊界移動規(guī)律Fig.6 The movement of dynamic boundary in triple-porosity media with different threshold pressure gradient

5　結(jié)論

(1)考慮動邊界效應，定義包含啟動壓力梯度的無量綱壓力，建立考慮表皮效應和井筒存儲的三種不同介質(zhì)類型的非達西滲流數(shù)學模型。采用Laplace變換和Newton迭代法求解動邊界方程和壓力控制方程。

(2)與無限大、封閉及定壓三類外邊界相比，低滲儲層中非達西滲流動邊界條件下的壓力及壓力導數(shù)分布特征具有明顯差異。動邊界作用下，無量綱壓力及壓力導數(shù)曲線在中后期上翹，說明在低滲透儲層開發(fā)過程中需要相對較大的能量。

(3)計算得出單一、雙重和三重介質(zhì)中的動邊界移動規(guī)律，隨啟動壓力梯度的增加，動邊界向外移動傳播速度減緩。在雙重介質(zhì)和三重介質(zhì)動邊界移動曲線上出現(xiàn)水平段或者平緩段，表明了動邊界的移動具有停滯性，而不存在啟動壓力梯度的中高滲流儲層中不會出現(xiàn)此現(xiàn)象。

[1]馮文光,葛家理.單一介質(zhì)、雙重介質(zhì)中非定常非達西低速滲流問題[J].石油勘探與開發(fā),1985,12(1):56-62.

Feng Wenguang, Ge Jiali. The unsteady non-Darcy flow in single-porosity and dual-porosity porous media [J].Petroleum Exploration and Development, 1985,12(1):56-62.

[2]謝海瀾,武強,趙增敏,等.考慮非達西流的弱透水層固結(jié)計算[J].巖土力學,2007,28(5):1061-1065.

Xie Hailan, Wu Qiang, Zhao Zengmin, et al. Consolidation computation of aquitard considering non-Darcy flow [J]. Rock and Soil Mechnics, 2007,28(5):1061-1065.

[3]李凡華,劉慈群.含啟動壓力梯度的不定常滲流的壓力動態(tài)分析[J].油氣井測試,1997,6(1):1-4.

Li Fanhua, Liu Ciqun. Pressure tansient analysis for unsteady porous flow with start-up pressuere derivative [J]. Well Testing, 1997,6(1):1-4.

[4]賈振岐,王延峰,付俊林,等.低滲低速下非達西滲流特征及影響因素[J].大慶石油學院學報,2001,25(3):73-76.

Jia Zhenqi, Wang Yanfeng, Fu Junlin, et al. Characteristics of non-Darcy percolation and under the condition of low-permeability and low-velocity [J]. Journal of Daqing Petrpleum Institute, 2001,25(3):73-76.

[5]程時清,張盛宗,黃延章,等.低速非達西滲流動邊界問題的積分解[J].力學與實踐,2002,24(3):15-17.

Cheng Shiqing, Zhang Shengzong, Huang Yanzhang, et al. An integral solution of free-boundary problem of non-Darcy flow behavior [J]. Mechanics and Engineering, 2002,24(3):15-17.

[6]閆棟棟,楊滿平,王剛,等.低流度油藏啟動壓力梯度分析[J].大慶石油學院學報,2010,34(1):39-42.

Yan Dongdong, Yang Manping, Wang Gang, et al. Threshold pressuere gradient analysis for low mobility reservoir [J]. Journal of Daqing Petrpleum Institute, 2010,34(1):39-42.

[7]計秉玉,何應付.基于低速非達西滲流的單井壓力分布特征[J].石油學報,2011,32(3):466-469.

Ji Bingyu, He Yingfu. Formation pressure distribution of a single well based on low velocity non-Darcy flow [J]. Acta Petrolei Sinica, 2011,32(3):466-469.

[8]王曉冬,侯曉春,郝明強,等.低滲透介質(zhì)有啟動壓力梯度的不穩(wěn)定壓力分析[J].石油學報,2011,32(5):847-851.

Wang Xiaodong, Hong Xiaochun, Hao Mingqiang, et al. Pressure transient analysis in low-permeability media with threshold gradients [J]. Acta Petrolei Sinica, 2011,32(5):847-851.

[9]王軍磊,周明旺,羅二輝,等.低滲透油藏七點井網(wǎng)的有效動用程度[J].東北石油大學學報,2013,37(2):102-106.

Wang Junlei, Zhou Mingwang, Luo Erhui, et al. Effective development degree for seven-spot well patterns in low permeability reservoirs [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2013,37(2):102-106.

[10]姜瑞忠,于成超,孔垂顯,等.低滲透油藏優(yōu)勢滲流通道模型的建立及應用[J].特種油氣藏,2014,21(5):85-88.

Jiang Ruizhong, Yu Chengchao, Kong Chuixian, et al. Establishment and application of dominant seepage path model of low-permeability oil reservoirs [J]. Special Oil & Gas Reservoirs, 2014,21(5):85-88.

[11]羅二輝,王曉冬.雙重低滲介質(zhì)含啟動壓力梯度不定常滲流研究[J].中國海上油氣,2011,23(5):318-321.

Luo Erhui, Wang Xiaodong. A study on transient flow under threshold pressure gradient in dual-pore media with low permeability[J]. China Offshore Oil and Gas, 2011,23(5):318-321.

[12]程林松,任勝利,廉培慶.動邊界雙重介質(zhì)油藏低速非達西滲流試井模型[J].計算力學學報,2011,28(6):879-883.

Cheng Linsong, Ren Shengli, Lian Peiqing. Well test analysis on low velocity and non-Darcy flow in dual-porosity reservoir with dynamic boundary [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2011,28(6):879-883.

[13]Xu Jianchun, Jiang Ruizhong, Xie Lisha, et al. Transient pressure behavior for dual porosity low permeability reservoir based on modified Darcy's equation [C]. SPE 153480, 2012.

[14]羅二輝,胡永樂.三重介質(zhì)低滲油藏非達西非穩(wěn)態(tài)滲流研究[J].中國礦業(yè)大學學報,2013,42(1):100-104.

Luo Erhui, Hu Yongle. A study of non-Darcy transient flow in triple porosity media with low permeability reservoir [J]. Journal of China University of Mining Technology, 2013,42(1):100-104.

[15]Warren J E, Root P J. The behavior of naturally fractured reservoirs [J]. SPE Journal, 1963,3(3):245-255.

[16]Abdassah D, Ershaghi I. Triple-porosity systems for representing naturally fractured reservoirs [J]. SPE Formation Evaluation, 1986,1(2):113-127.

2015-11-13；編輯：劉麗麗

國家科技重大專項(2011ZX05016-006)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金項目(35832015034)

王建俊(1986-)，女，博士研究生，主要從事油氣藏工程與滲流機理方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.02.009

TE312

A

2095-4107(2016)02-0071-07