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    放縮法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2016-09-07 07:40:22鄭春靈廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué)
    新課程(中學(xué)) 2016年4期
    關(guān)鍵詞:通項(xiàng)做題結(jié)論

    鄭春靈(廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué))

    放縮法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    鄭春靈
    (廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué))

    高中數(shù)學(xué)是高中生在高中階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及難點(diǎn)課程,其解題方法多種多樣,主要探討高中數(shù)學(xué)解題方法中的放縮法。

    放縮法;函數(shù);不等式

    高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容繁多,解題方法多樣,學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生畏難、抵觸情緒。因此,要想提高課堂的教學(xué)質(zhì)量,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī),教師就要把知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來,讓學(xué)生在腦中形成整體的框架。下面本文主要從函數(shù)、數(shù)列、不等式及解析幾何這四個(gè)方面探討一下放縮法的應(yīng)用。

    一、放縮法在函數(shù)中的應(yīng)用

    函數(shù)部分是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)與重點(diǎn)。在高考中函數(shù)部分的題占有很大的比重,由于函數(shù)的題型復(fù)雜多變,一個(gè)不同的條件,解題思路就會(huì)截然不同,因此很多學(xué)生學(xué)起來都覺得很困難。下面我就簡(jiǎn)單分析一下放縮法在函數(shù)證明題中的作用。

    又因?yàn)閚∈N*且n≥3,所以只需證:2n>2n+1,

    分析:此題涉及用二項(xiàng)式定理法的放縮,將二項(xiàng)式定理與函數(shù)結(jié)合起來運(yùn)用放縮法解題也是近年來高考的重點(diǎn)。很多學(xué)生在看到這道題后,都能很快地想到利用作差的方法將該題進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形,將n代入函數(shù)關(guān)系式中,從而經(jīng)過推導(dǎo)得出須證2n>2n+ 1。然后很多學(xué)生就束手無策了,其實(shí)看到這樣的式子,我們就要在腦海里搜索,什么樣的表達(dá)式跟它相關(guān),然后就能想到二項(xiàng)式,利用二項(xiàng)式定理法就能將該題簡(jiǎn)單地進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而放縮得出所求結(jié)論。

    放縮法在函數(shù)中的應(yīng)用較為普遍,因此,教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中,要注意學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合掌握,以便于能夠綜合利用所學(xué)的知識(shí),采用最簡(jiǎn)便快捷的解題方法,提高解題的效率,提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量。

    二、放縮法在數(shù)列中的應(yīng)用

    放縮法在數(shù)列中的應(yīng)用可以分成兩種思路,即先求和后放縮、先放縮再求和兩種。下面我舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來幫助學(xué)生了解一下解題思路。

    (一)先求和再放縮

    (1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    解:(1)由已知得:4Sn=(an+1)2,當(dāng)n≥2時(shí),4Sn-1=(an-1+1)2,

    將兩式進(jìn)行作差,得:4an=an2+2an-an-12-2an-1,

    將上式進(jìn)行整理,有(an+an-1)(an-an-1-2)=0,

    又因?yàn)椋鸻n}為正數(shù)數(shù)列,

    分析:由于該題的已知條件為數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系,那么,學(xué)生自然而然地就想到利用作差的方式來求數(shù)列的通項(xiàng)公式。對(duì)于問題(2),根據(jù)學(xué)生的做題經(jīng)驗(yàn)以及總結(jié),由于an的通項(xiàng)公式的特征,那么我們很容易就想到要利用裂項(xiàng)相消的方法來求bn的通項(xiàng)公式,從而得出bn的前n項(xiàng)和,再利用函數(shù)的基本性質(zhì)得出該題的證明結(jié)論。

    總結(jié):在做題時(shí)我們一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式,如果此數(shù)列是等差或等比數(shù)列,就可以直接進(jìn)行求和,或是能通過變形轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列,再進(jìn)行求和,再或者,可以利用裂項(xiàng)相加減求和、分組求和、倒序相加等求和方法求和。

    (二)先放縮再求和

    1.放縮成等差數(shù)列求和

    例.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an2+an= 2Sn

    解:(1)由條件可知,若令n=1,則可以得到a1+a12=2S1=2a1,

    因?yàn)閍1>0,所以a1=1。

    又由條件可知:an2+an=2Sn,則an+12+an+1=2Sn+1。

    上述兩式相減可得:an+12+an+1-an2-an=2Sn+1-2Sn。①

    又∵an+1=Sn+1-Sn,代入①可得:an+12+an+1-an2-an=2an+1

    整理后得:(an+1+an)(an+1-an-1)=0

    分析:由于給定的已知條件是數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系,那么,學(xué)生自然而然地就想到利用作差的方式來求解,通過計(jì)算找出an+1與an的關(guān)系,得出數(shù)列{an}的公差為1,進(jìn)一步再求證完成。對(duì)于(2)問,我們就要將已知與結(jié)論結(jié)合起來,并根據(jù)已經(jīng)得證的結(jié)論運(yùn)用合理的放縮,此題的放縮是問題的關(guān)鍵,若是放縮不恰當(dāng),得出的結(jié)論就難以證明該題,從而覺得該題無從下手,沒有解題的技巧,只有熟練掌握放縮的原則,運(yùn)用合適的方法,才能夠得出正確結(jié)論。因此,我們?cè)跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中,也要讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)與反思,從而使他們的思維能夠深化,在解題時(shí)能夠多方面思考,從而快速地找到解題思路。

    2.放縮成等比數(shù)列求和

    例.(1)(2012年廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列。

    ①求a1的值;

    ②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    解:(1)①略;②an=3n-2n

    ③∵an=3n-2n=(3-2)(3n-1+3n-2×2+3n-3×2+3n-3×22+…+2n-1)≥3n-1

    (2)∵A9-A7=a8+a9,A8-A9=-a9,a8+a9=-a9,

    分析:該題的數(shù)列{bn}既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但是要對(duì)其進(jìn)行求和,那么,我們只能將其進(jìn)行放縮,根據(jù)其通項(xiàng)的特點(diǎn)以及要求的結(jié)論,找到合適的放縮方向,從而得出結(jié)論。這就要求學(xué)生對(duì)平時(shí)的學(xué)習(xí)過程加以重視,積累每道題的解題思路與方法,久而久之就能夠快速地找到解題技巧。

    3.放縮為差比數(shù)列求和

    4.放縮為裂項(xiàng)相消求和

    (1)求f(x)的最大值;

    (2)求數(shù)列{an}{bn}的通項(xiàng)公式;

    解析,(1)利用導(dǎo)數(shù)求最大值、此略。

    (2)an=2n-1(疊乘法),bn=2n-1(待定系數(shù)法)。

    由(1)ln(1+x)<x(x≥0)

    分析:放縮成差比數(shù)列與放縮成裂項(xiàng)相消這兩種方式,主要要求學(xué)生對(duì)這類題有一定的積累,從而在做題時(shí)能夠準(zhǔn)確地找到解題思路,用這種仿佛解題可以有效地提高效率,節(jié)省做題時(shí)間。

    以上例題通過不同的解題方法,比較全面地說明了放縮法在數(shù)列解題中的應(yīng)用,不同的解題方法,其思路基本一致,即放縮與求和,只要將這兩個(gè)部分靈活運(yùn)用,那么,運(yùn)用放縮法解數(shù)列題就不成問題,反而學(xué)生還會(huì)覺得這個(gè)解題過程充滿趣味。

    三、放縮法在不等式中的應(yīng)用

    放縮法在不等式證明中常在多項(xiàng)式中“舍掉一些正或負(fù)”從而使不等式各項(xiàng)之和產(chǎn)生變化,變大或變小。又“在分式中放大或縮小分式的分子分母”,或“在乘積式中用較大(較?。┮蚴酱妗钡刃Хǎ_(dá)到其證題目的。如重慶高考題:

    (Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明An≥2;

    (Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x對(duì)x>0成立。

    證明:An<e2(n≥1),其中無理數(shù)e=2.71828…

    分析:由題目的已知條件,提示的思路很明確,首先要根據(jù)該題式子的特點(diǎn),對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù),即證明ln An<2,而在已知An+1與An的遞推關(guān)系的基礎(chǔ)上,就應(yīng)該考慮是否要去掉一些項(xiàng)來進(jìn)行放縮。

    證:(Ⅰ)略。(Ⅱ)由遞推公式及(Ⅰ)結(jié)論有:

    兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),利用已知的不等式,可得:

    上式從1到n求和可得:

    ∴l(xiāng)n An<2,故An<e2(n≥1)

    小結(jié):本題解題過程中同時(shí)使用了多種放縮技巧,如舍項(xiàng)放縮與裂項(xiàng)放縮等,并在放縮的過程中構(gòu)造等比數(shù)列,技巧性和知識(shí)綜合度要求比較高。因此,教師在講課時(shí),要將各知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來進(jìn)行講解,讓學(xué)生在腦中形成整體的框架,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成整體的輪廓,以便學(xué)生在做題時(shí),不會(huì)局限在一個(gè)知識(shí)點(diǎn)中,從而能夠有效地發(fā)散學(xué)生的思維。

    再比如全國卷這道高考題,利用不等式的基本性質(zhì)來進(jìn)行放縮:

    (Ⅰ)求a3+b3的最小值;

    (Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由。

    分析:該題只是利用了不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮,因此解題十分簡(jiǎn)單。只要學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)牢固,就能快速地解決此題。這就要求高中數(shù)學(xué)教師在講解數(shù)學(xué)題時(shí),要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況,學(xué)生只有掌握了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),才能夠做到知識(shí)的融會(huì)貫通。

    四、放縮法在解析幾何中的應(yīng)用

    解析幾何的教學(xué)內(nèi)容也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容,其各種曲線的軌跡方程變化多端,是綜合性很強(qiáng)的題型。下面我就簡(jiǎn)單舉個(gè)例子來說明一下放縮法在解析幾何中的應(yīng)用。

    分析:該題將不等式的性質(zhì)與解析幾何的知識(shí)進(jìn)行了融合,運(yùn)用不等式法進(jìn)行放縮,只有熟練掌握這兩部分的知識(shí),才能夠快速解題。

    綜上所述,在數(shù)學(xué)的教學(xué)中,教師要時(shí)刻注意培養(yǎng)學(xué)生的解題技能,讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)這幾種方法,并且引導(dǎo)他們舉一反三。同時(shí)教師要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況。只有學(xué)生在扎實(shí)的基礎(chǔ)上,熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn),才能夠?qū)⑵渎?lián)系起來,融會(huì)貫通,從而能夠快速而準(zhǔn)確地找到解題的思路,提高解題的效率。

    [1]朱國宏.探析數(shù)列型不等式證明中“放縮法”的妙用[J].高中數(shù)理化,2014(5).

    [2]張徐生.放縮有度,順應(yīng)目標(biāo):例談放縮法在證明不等式中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2007(9).

    ·編輯段麗君

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