觀千劍而后識(shí)器*
——記一道不等式題目的品題歷程

●李學(xué)軍

(平湖中學(xué)　浙江平湖　314200)

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觀千劍而后識(shí)器*

——記一道不等式題目的品題歷程

●李學(xué)軍

(平湖中學(xué)浙江平湖314200)

數(shù)學(xué)教師要學(xué)會(huì)研究解題，更要學(xué)會(huì)從學(xué)生的角度去研究解題.數(shù)學(xué)的解題可以通過審題、觀題、品題、賞題達(dá)到一定的境界.文章結(jié)合一個(gè)引題和一個(gè)變式題，通過多角度的剖析，去感知、體驗(yàn)解題過程中的糾結(jié)和成功之后的快樂，從而實(shí)現(xiàn)真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

審題;觀題;品題;賞題

品茶講究審茶、觀茶、品茶這3道程序.筆者認(rèn)為做數(shù)學(xué)題也應(yīng)該講究程序，即審題、觀題、品題，除此之外還應(yīng)該增加賞題的環(huán)節(jié).在做題過程中，大多數(shù)學(xué)生能夠達(dá)到審題的層次，小部分學(xué)生能夠達(dá)到觀題的層次，很少有學(xué)生能夠達(dá)到品題和賞題的層次.數(shù)學(xué)家克萊因說過：教師掌握的知識(shí)要比他所教的知識(shí)多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過懸崖、渡過險(xiǎn)灘.因此，作為數(shù)學(xué)教師，一定要加強(qiáng)試題的鉆研，努力達(dá)到“觀”后有“品”，“品”后有“賞”.

下面筆者以一道不等式試題為例，把筆者對(duì)該題的品題歷程呈現(xiàn)如下：

1　審題：小荷才露尖尖角

對(duì)于二元不等式最值的處理，常規(guī)的方法是構(gòu)造不等式和構(gòu)造函數(shù).構(gòu)造不等式的關(guān)鍵是：構(gòu)造形式、配湊系數(shù)，這樣的操作流程對(duì)于大部分學(xué)生來說是能夠理解的，通過一定的訓(xùn)練，學(xué)生可以熟練準(zhǔn)確地解決這樣的常規(guī)題目.關(guān)于構(gòu)造函數(shù)，首先減元，接著尋找主元，然后利用函數(shù)的思想求解最值[1].因此，對(duì)于大部分學(xué)生來說，非常自然地產(chǎn)生了下列的2種解法：

解法1不等式視角

因?yàn)閍≥0,b≥0,所以

解法2函數(shù)視角

解后反思將不等式視角和函數(shù)視角這2種方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)合結(jié)論所求代數(shù)式的最大值，學(xué)生認(rèn)為該題是考查有關(guān)不等式的知識(shí)，因此會(huì)首先想到用不等式知識(shí)來解決[2].筆者認(rèn)為：以上2種方法在解決問題的實(shí)效上后者更優(yōu)于前者.

2　觀題：橫看成嶺側(cè)成峰

利用解決不等式的常規(guī)方法處理好這個(gè)問題之后，重新觀察、審視這個(gè)題目:已知條件是關(guān)于2個(gè)變量a,b的二元一次方程,結(jié)論要研究的代數(shù)式是關(guān)于a,b的二次不等式.我們要把代數(shù)式想辦法轉(zhuǎn)化為等式的形式.因此，通過令b(a+1)=t，可以產(chǎn)生以下3種解法.

解法3方程視角

故

圖1

解法4規(guī)劃的視角

a2-a-2+2t=0,

解法5“1”的視角

解后反思代數(shù)式和等式相比，在解決問題時(shí)等式更有利于尋找到解決問題的思路及解決問題的方法(這2個(gè)等式可以從方程的角度來看，也可以從函數(shù)的角度來看).

3　品題：梅花香自苦寒來

文首的題目研究到此，對(duì)于學(xué)生來說應(yīng)該是比較開心和快樂的，但是細(xì)品之后，將該題目進(jìn)行變式，以上解法是否依然高效、實(shí)用呢?筆者進(jìn)行了嘗試，成果展示如下.

解法1函數(shù)視角

令ab+b=t(其中t≥0)，則

從而

于是

解法2三角函數(shù)視角

t=ab+b=sinθcosθ+cosθ，

求導(dǎo)得t′=cos2θ-sin2θ-sinθ=

-2sin2θ-sinθ+1=

-(2sinθ-1)(sinθ+1).

令t′>0，則2sinθ-1<0，即

令t′<0，則2sinθ-1>0，即

解法3平方的視角

令T(a)=[b(a+1)]2=(1-a2)(a+1)2.

角度1用函數(shù)處理

角度2用不等式處理

T(a)=[b(a+1)]2=(1-a2)(a+1)2=

解后反思解法1和解法2構(gòu)造后的函數(shù)不是基本初等函數(shù)，因此函數(shù)的單調(diào)性很難判定，必須要借助導(dǎo)數(shù)工具才可以判別函數(shù)的單調(diào)性.解法3構(gòu)造不等式時(shí)發(fā)現(xiàn)：很難構(gòu)造出定值，但是在通過平方變形之后，可以用基本不等式解決.

4　賞題：吹盡狂沙始到金

對(duì)于題干是二次型、結(jié)論也是二次型的題目，函數(shù)及不等式的構(gòu)造難度明顯較已知條件中是一次型的要大很多，是否還有其他方法呢？其他方法的效果和難度又如何呢？下面是變式1的其他3種解法.

圖2

解法4規(guī)劃的視角

令t=ab+b,則

當(dāng)2條曲線相切時(shí)，t取到最小值.設(shè)2條曲線的切點(diǎn)為M(a0,b0),對(duì)于⊙O:a2+b2=1來說，過點(diǎn)M(a0,b0)的切線方程為

a0a+b0b-1=0,

即

ta+(a0+1)2b-2ta0-t=0,

因此2條切線為同一條直線,從而

故

解法5“湊”的視角

通過上述分析，可以進(jìn)行如下構(gòu)造

解法6構(gòu)造的視角

由題意構(gòu)造

從而

于是

因此

從而

即

變式3已知a,b,c>0，a2+b2+c2=1，求3ab+3bc+2c2的最大值.

解后反思解法4利用規(guī)劃的視角也就是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，首先要構(gòu)建出圖形，然后通過圖形的觀察、分析以及必要的計(jì)算得出想要的結(jié)論，解決問題的關(guān)鍵是把二次問題轉(zhuǎn)化為一次問題進(jìn)行求解[3].直接構(gòu)造不等式求解的難度是相當(dāng)大的，也是十分不容易想到的，但是仔細(xì)品味，似乎又在情理之中，結(jié)論是二次與一次的和的形式，要把其中一個(gè)二次分為2個(gè)部分:一部分與二次結(jié)合放縮出二次，另一部分二次與常數(shù)結(jié)合放縮出一次的形式，最后與結(jié)論進(jìn)行對(duì)比.

美國(guó)著名作家海明威曾經(jīng)談到過“冰山理論”，他認(rèn)為：人們看到的小說只是冰露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得讓讀者自己去體會(huì)揣摩.我們的數(shù)學(xué)教學(xué)又何嘗不是這樣的呢？數(shù)學(xué)教育家波利亞也指出：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是要加強(qiáng)解題的訓(xùn)練.在數(shù)學(xué)解題過程中，思想方法是解題之魂，有什么樣的思想方法就會(huì)產(chǎn)生什么樣的解法，見識(shí)廣博了很自然就會(huì)產(chǎn)生“神奇”的想法[4]，正所謂：觀千劍而后識(shí)器！通過教師的正確引領(lǐng)以及學(xué)生的頑強(qiáng)訓(xùn)練，筆者相信：總有一天，我們的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的舞臺(tái)上能夠自信而充滿激情地奔跑！

[1]毛良忠.一道函數(shù)問題的多角度探究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(10):13-15.

[2]吳冠男，沈新權(quán).微過程深反思——記一次數(shù)學(xué)微課比賽的歷程[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(9):34-36.

[3]李晶，李德安.數(shù)學(xué)習(xí)題課上教師的無為和學(xué)生的有為[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(1):7-11.

[4]馮濤.“教”讓道于“悟”——從一節(jié)高三復(fù)習(xí)課談起[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(10):5-8.

*收文日期：2016-01-12；2016-04-06

李學(xué)軍(1976-)，男，吉林德惠人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)08-15-04