帶乘性噪聲附等式約束的非線性系統(tǒng)濾波算法*

王昌盛，張　玲，臧愛(ài)云，王　琨

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東省高校海洋機(jī)電裝備與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 山東 青島 266100)

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帶乘性噪聲附等式約束的非線性系統(tǒng)濾波算法*

王昌盛，張玲，臧愛(ài)云，王琨

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東省高校海洋機(jī)電裝備與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 山東 青島 266100)

隨著控制理論與計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，非線性濾波已在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。本文針對(duì)一類帶乘性噪聲附等式約束非線性系統(tǒng)，提出了一種狀態(tài)濾波算法。該算法首先將狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別通過(guò)泰勒公式展開(kāi)，得到新的帶乘性噪聲附等式約束的線性系統(tǒng)模型，然后通過(guò)最優(yōu)觀測(cè)的方法將觀測(cè)方程擴(kuò)維，再基于投影定理進(jìn)行求解得到濾波算法，最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

乘性噪聲； 等式約束； 非線性濾波;投影定理； 最優(yōu)觀測(cè)

引用格式：王昌盛， 張玲， 臧愛(ài)云. 帶乘性噪聲附等式約束的非線性系統(tǒng)濾波算法[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(8): 137-140.

WANG Chang-Sheng，ZHANG Ling，Zang Ai-Yun. Filtering algorithm for nonlinear systems with equation state constraints and multiplicative noise[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(8): 137-140.

隨著控制理論與計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，非線性濾波已在通信與信號(hào)處理、航空航天、導(dǎo)航定位等眾多領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，觀測(cè)手段的豐富使得對(duì)于物理特征及現(xiàn)象有了更深入的了解，從而得到更多的先驗(yàn)信息，建立約束，結(jié)合非線性濾波，可以提高濾波精度。

國(guó)內(nèi)外的眾多學(xué)者針對(duì)帶有約束條件的非線性系統(tǒng)濾波做了大量的研究工作。Simon J等人系統(tǒng)地闡述了非線性等式約束的卡爾曼濾波算法[1]，KandePu等人和Brunoo等人研究了等式約束無(wú)跡卡爾曼濾波算法[2]，Simon D概述了狀態(tài)約束的卡爾曼濾波的線性和非線性算法[3]，X Fu等人利用卡爾曼濾波對(duì)于線性和非線性混合約束下的系統(tǒng)進(jìn)行濾波[4],Linfeng Xu等人在對(duì)于約束不是嚴(yán)格要求的條件下，提出了卡爾曼濾波的線性和非線性算法[5],劉杰將等式約束轉(zhuǎn)化成凸二次規(guī)劃，給出了約束濾波估計(jì)值的顯式表達(dá)式[6]。

盡管對(duì)帶等式約束的非線性系統(tǒng)濾波的研究進(jìn)行了深入研究，但其算法大都建立在一般狀態(tài)空間模型，而在實(shí)際系統(tǒng)中，往往還存在著乘性噪聲，而帶乘性噪聲系統(tǒng)在非線性系統(tǒng)[7]、水聲通信[8]、故障檢測(cè)[9]、衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)[10]等領(lǐng)域有了廣泛的應(yīng)用。

本文針對(duì)帶乘性噪聲附等式約束的非線性系統(tǒng)的濾波算法進(jìn)行了研究。通過(guò)泰勒展開(kāi)、狀態(tài)擴(kuò)維等方法以及投影定理得到了帶乘性噪聲附等式約束非線性系統(tǒng)的濾波算法。

1　模型描述

1.1 非線性模型

對(duì)于帶乘性噪聲非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)空間模型為：

xk=f(xk-1)+wk，

(1)

zk=mkh(xk)+vk。

(2)

其中：xk∈Rm為狀態(tài)向量；zk∈Rn為量測(cè)向量；wk∈Rr為系統(tǒng)噪聲；vk∈Rn為量測(cè)噪聲；mk為一維乘性噪聲，f()、h()分別是m、n維非線性向量函數(shù)。設(shè)系統(tǒng)滿足以下條件：

D5：隨機(jī)序列{mk},{wk},{vk}及初始狀態(tài)x0彼此相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

假定系統(tǒng)(1)(2)有如下?tīng)顟B(tài)約束：

Dkxk=dk。

(3)

其中：Dk是s×m階常量矩陣；dk是s×1階常向量。s是狀態(tài)約束量。并且s≤m。本文假設(shè)Dk是滿秩矩陣，且秩為s階。

1.2線性模型

則原系統(tǒng)的近似狀態(tài)空間表達(dá)：

xk=Akxk-1+uk+wk，

(4)

zk=mkCkxk+mkgk+vk。

(5)

xk=Akxk-1+uk+wk，

(6)

(7)

2　算法推導(dǎo)

針對(duì)(6)、(7)帶乘性噪聲附等式約束的系統(tǒng)，有如下定理：

定理對(duì)于式(6)、(7)的系統(tǒng)滿足假設(shè)條件，則有如下的狀態(tài)濾波遞推算法：

狀態(tài)濾波估計(jì)

(8)

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)

(9)

增益矩陣

(10)

輸出殘差方差陣

(11)

其中

(12)

狀態(tài)相關(guān)矩陣

(13)

狀態(tài)均值

jk=E[xk]=Ajk-1+uk-1。

(14)

一步預(yù)測(cè)誤差方差陣

(15)

誤差方差陣

(16)

初值：

x0/0=E(x(0))。

(17)

P0=S(0)。

(18)

證明針對(duì)(4)、(5)，由投影定理得，

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)為

由假設(shè)條件及投影定理公式，有觀測(cè)一步預(yù)測(cè)為

而輸出殘差為

其中

其中

其中

可得一步預(yù)測(cè)誤差方差陣

濾波誤差

誤差方差陣

至此，算法推導(dǎo)完畢。

3　算法仿真

假設(shè)一輛行駛中的汽車，狀態(tài)x的前兩個(gè)狀態(tài)分量是地面車輛的北坐標(biāo)和東坐標(biāo)，后兩個(gè)狀態(tài)分量由北方向速度和東方向速度表示。給出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模型：

用一個(gè)參考點(diǎn)來(lái)確定其行駛路線，即(x0,y0)，取為(100,100)，其中每個(gè)參考點(diǎn)都是通過(guò)汽車的北方向與東方向位置來(lái)定的，在運(yùn)動(dòng)期間不可避免的存在抖動(dòng)振動(dòng)的影響，為了更客觀的描述測(cè)量模型的隨機(jī)干擾，還要考慮乘性噪聲，則系統(tǒng)的觀測(cè)模型為：

Dkxk=dk，其中

利用Matlab對(duì)本文的算法進(jìn)行仿真，歷元總數(shù)為100s，北方向跟蹤效果如圖所示。

圖1　北方向的真值和濾波值

圖1給出了狀態(tài)第一分量,既北方向的濾波結(jié)果。圖中示出了狀態(tài)第一分量的真值和濾波值，從整體趨勢(shì)上來(lái)看，跟蹤效果明顯，驗(yàn)證了算法的有效性。

圖2為狀態(tài)第一分量真值和濾波值的相對(duì)誤差值，濾波相對(duì)誤差平穩(wěn)，但一直存在，但這是由于將系統(tǒng)模型線性化時(shí)，去掉了泰勒展開(kāi)的高階項(xiàng)后，模型的不精確造成的，同時(shí)由于帶乘性噪聲系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，這個(gè)問(wèn)題涉及到線性模型轉(zhuǎn)化的方面，是以后要繼續(xù)研究的方向。

圖2　北方向的真值和濾波值相對(duì)誤差

4　結(jié)語(yǔ)

針對(duì)等乘性噪聲附等式約束的非線性系統(tǒng)的狀態(tài)濾波問(wèn)題，該算法通過(guò)泰勒公式將系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程展開(kāi)，得到線性系統(tǒng)，利用觀測(cè)最優(yōu)的方法對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行擴(kuò)維，最后利用投影定理對(duì)變形后的系統(tǒng)進(jìn)行濾波求解。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性。

本文的算法也存在著不足，只考慮了擴(kuò)展卡爾曼濾波的方法，還沒(méi)有分析線性化對(duì)于誤差的影響，同時(shí)關(guān)于非線性系統(tǒng)的濾波方法還有其他方法沒(méi)有考慮。

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責(zé)任編輯陳呈超

Filtering Algorithm for Nonlinear Systems with Equation State Constraints and Multiplicative Noise

WANG Chang-Sheng， ZHANG Ling， ZANG Ai-Yun, WANG Kun

(College of Engineering, Ocean University of China, The Key Laboratory of Marine Mechanical and Electrical Equipment & Instruments of Shandong Provincial Universities, Qingdao 266100, China)

With the development of controlling theory and computers, the filtering for nonlinear systems has been widely used in some areas. This paper figures out a flitering algorithm for a kind of nonlinear system with equality state constraints and multiplicative noise. By changing the state equation and observation equations based on taylor formula, a new model of linear system with equation constraints and multiplicative noise can be obtained correspondingly. The dimension of the measurement equation is augmented by perfect measurements, and the filering algorithm is derived based on the projection throrem. At last, the simulation results show the effectiveness of the proposed algorithms.

multiplicative noise; equation state constraints; nonlinear filtering; projection theorem; perfect measurements

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51279185,41506114)；留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目([2015]1098)；青島市博士后研究人員應(yīng)用研究項(xiàng)目資助

2014-11-12；

2015-06-10

王昌盛(1989-)，男，碩士生。主要研究方向：智能控制與智能信息處理。E-mail：wcswang@qq.com

TN929.3

A

1672-5174(2016)08-137-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20140339

Supported by the National Natural Science Foundation of China(51279158,41506114),the Scientific Research Foundation for Returned Overseas([2015]1098), the Applied Research Projectfor Postdoctorof Qingdao.