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    “二元一次方程組”中考試題研究

    2016-09-05 09:59:23姜紅
    初中生世界 2016年29期
    關(guān)鍵詞:二元一次方程組電風(fēng)扇頭牛

    姜紅

    “二元一次方程組”中考試題研究

    姜紅

    像2x-y=5這樣,含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知項(xiàng)的次數(shù)都為1次,那么這樣的整式方程就叫作二元一次方程.二元一次方程有無數(shù)組解,若添加條件限定(例如求正整數(shù)解),亦可有有限個(gè)解,甚至無解.

    一、二元一次方程組的解法

    【點(diǎn)評(píng)】多元方程的解法原則是“消元”.而“消元”的具體方法有代入法和加減法兩種.

    有時(shí),試題也會(huì)涉及“整體代換”等思想方法,比如:

    解:將方程②變形:4x+10y+y=5,即

    2(2x+5y)+y=5③,

    把方程①代入③得:2×3+y=5,∴y=-1.

    把y=-1代入①得x=4.

    請(qǐng)你解決以下問題:

    【解析】第(1)題模仿小軍的“整體代換”法,把方程②變形為:

    【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組,弄清閱讀材料中的“整體代換”方法,是解本題的關(guān)鍵.

    二、二元一次方程組的應(yīng)用

    例4(2015·北京)《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中,方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就.

    《九章算術(shù)》中記載:“今有牛五、羊二,直金十兩;牛二、羊五,直金八兩.問:牛、羊各直金幾何?”

    譯文如下:“假設(shè)有5頭牛、2只羊,值金10兩;2頭牛、5只羊,值金8兩.問:每頭牛、每只羊各值金多少兩?”

    設(shè)每頭牛值金x兩,每只羊值金y兩,可列方程組為__________.

    【點(diǎn)評(píng)】這類問題中兩個(gè)量呈一次關(guān)系,往往可以抽象出二元一次方程組,解決本題的關(guān)鍵是找到題目中所存在的等量關(guān)系.

    例5(2015·佛山)某景點(diǎn)的門票價(jià)格如表:

    購票人數(shù)/人 1~50 51~100 100以上每人門票價(jià)/元 12 10 8

    某校七年級(jí)(1)、(2)兩班計(jì)劃去游覽該景點(diǎn),其中(1)班人數(shù)少于50人,(2)班人數(shù)多于50人且少于100人,如果兩班都以班為單位單獨(dú)購票,則一共支付1118元,如果兩班聯(lián)合起來作為一個(gè)團(tuán)體購票,則只需花費(fèi)816元.

    (1)兩個(gè)班各有多少名學(xué)生?

    (2)團(tuán)體購票與單獨(dú)購票相比較,兩個(gè)班各節(jié)約了多少錢?

    (2)用一張票節(jié)省的費(fèi)用乘該班人數(shù)即可求解.(2)七年級(jí)(1)班節(jié)省的費(fèi)用為:(12-8)×49=196(元),七年級(jí)(2)班節(jié)省的費(fèi)用為:(10-8)×53=106(元).

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問題的運(yùn)用、二元一次方程組的解法的運(yùn)用,解答時(shí)建立方程組求出各班的人數(shù)是關(guān)鍵.

    三、與二元一次方程組有關(guān)的綜合題

    例6(2014·益陽)某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇,下表是近兩周的銷售情況:

    銷售數(shù)量銷售時(shí)段 銷售收入A種型號(hào) B種型號(hào)第一周 3臺(tái) 5臺(tái) 1800元第二周 4臺(tái) 10臺(tái) 3100元

    (進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤=銷售收入-進(jìn)貨成本)

    (1)求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià);

    (2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái),求A種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購多少臺(tái)?

    (3)在(2)的條件下,超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤為1400元的目標(biāo)?若能,請(qǐng)給出相應(yīng)的采購方案;若不能,請(qǐng)說明理由.

    (2)設(shè)采購A種型號(hào)電風(fēng)扇a臺(tái),則采購B種型號(hào)電風(fēng)扇(30-a)臺(tái),根據(jù)金額不多于5400元,列不等式得:200a+170(30-a)≤5400,解得:a≤10.所以超市最多采購A種型號(hào)電風(fēng)扇10臺(tái)時(shí),采購金額不多于5400元.

    (3)設(shè)利潤為1400元,列方程(250-200)·a+(210-170)(30-a)=1400,解得:a=20.

    若不符合(2)的條件,可知不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo).∵a≤10,

    ∴在(2)的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤1400元的目標(biāo).

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系,列方程組和不等式求解.這類試題把二元一次方程組與一次不等式結(jié)合起來考查,難度有所加大.

    (作者單位:江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校)

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