聯(lián)系圖形，巧解數(shù)學(xué)題

姜紅

聯(lián)系圖形，巧解數(shù)學(xué)題

姜紅

七年級(jí)下學(xué)期第九章，同學(xué)們學(xué)習(xí)了《整式乘法與因式分解》，在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，我們用了以下圖形進(jìn)行驗(yàn)證，用圖1的兩個(gè)正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖2的大正方形，再算其面積.

圖1

圖2

比較二者可得，完全平方公式：（a+b）2= a2+2ab+b2.

在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，我們也用到了類似的方法.

看下面的問(wèn)題：

如圖3，陰影部分是邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后所得到的圖形4，請(qǐng)借助此圖，驗(yàn)證平方差公式.

圖3

圖4

比較二者可得，平方差公式：a2-b2=（a+ b）（a-b）.

以上解決問(wèn)題的思想方法，叫作“數(shù)形結(jié)合”.

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化.初中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象大致可分為數(shù)和形兩大部分.數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系就稱之為數(shù)形結(jié)合.

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系.即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.

其實(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想方法，我們上學(xué)期就接觸到的.比如，在學(xué)習(xí)“絕對(duì)值”的概念時(shí)，我們說(shuō)：數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)

同學(xué)們仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)這兩題是同一類型.我們以第一題為例來(lái)探討其解法.

方法一：依據(jù)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)方法.即：

故此，我們需要，逐一判斷每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)部的代數(shù)式的符號(hào)，找到它們的零點(diǎn)x=1、x=3，再分類討論，加以解決.解法如下：

當(dāng)x=1時(shí)，此式最小值為2；

當(dāng)x=3時(shí)，此式最小值為2.

方法二：數(shù)形結(jié)合

圖5

結(jié)合圖5，若表示數(shù)x的點(diǎn)P在數(shù)軸上移動(dòng)，易知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到1與3之間時(shí)，兩個(gè)距離之和最小，相當(dāng)于表示1與3的兩點(diǎn)之間的距離，即為2.故此，原式的最小值為2.

其實(shí)，數(shù)形結(jié)合這個(gè)獨(dú)特的思想方法，還有著很多的應(yīng)用.據(jù)傳，古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯借助八個(gè)完全相同的直角三角形進(jìn)行拼圖，驗(yàn)證了直角三角形的三邊a、b、c之間有著特殊的關(guān)系，你能借助下圖進(jìn)行探索嗎？

圖6

圖7

同學(xué)們找到a、b、c之間的關(guān)系了嗎？這就是我們下學(xué)期即將要學(xué)到的著名的勾股定理：直角三角形的兩直角邊a、b與斜邊c之間符合：a2+b2=c2.這個(gè)定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理.

用心觀察，運(yùn)用經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法，也許將來(lái)的某一天，在數(shù)學(xué)論著中也能出現(xiàn)以你的名字命名的數(shù)學(xué)結(jié)論呢.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）