曲柄滑塊機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

譚偉超

（江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江門 529000）

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

譚偉超

（江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江門 529000）

對于電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)，由于在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)速度波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生附加的動(dòng)力，從而降低機(jī)械的壽命和工作可靠性。所以，需要研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)速度的波動(dòng)、調(diào)節(jié)方法以及驅(qū)動(dòng)電機(jī)和機(jī)構(gòu)。

曲柄滑塊機(jī)構(gòu) 動(dòng)力學(xué) FORTRAN 仿真

過去的三十年里，國內(nèi)外學(xué)者對電動(dòng)機(jī)與傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)系統(tǒng)開展了動(dòng)力學(xué)分析。例如，張策[1-3]等人都對電動(dòng)機(jī)-機(jī)構(gòu)系統(tǒng)開展了一系列工作，并取得了不錯(cuò)的成果。

1　曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

圖1為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖，各連桿的尺寸代表符號(hào)已經(jīng)標(biāo)在圖上。已知連桿質(zhì)量m2，滑塊質(zhì)量m3，曲柄對其轉(zhuǎn)動(dòng)中心A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA，其角速度為w1，連桿對其質(zhì)心S2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JS2，其角速度為w2，兩個(gè)極限位置角1?、2?，質(zhì)心S2在x、y方向的速度分別為vS2x和vS2y，偏心距為e。

圖1　曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

根據(jù)動(dòng)能定理，曲柄滑塊系統(tǒng)在一段時(shí)間的動(dòng)能增量應(yīng)該等于作用于該系統(tǒng)所有外力所做的功。因此，曲柄滑塊系統(tǒng)動(dòng)能增量為：

系統(tǒng)外力所做的功：

用等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和等效力矩替代：

分別求解滑塊在兩處極點(diǎn)角度，滑塊運(yùn)動(dòng)最右端時(shí)：

滑塊運(yùn)動(dòng)到最左端時(shí)：

當(dāng)加載在滑塊上的負(fù)載為F3時(shí)，設(shè)lT為彈簧的自然狀態(tài)長度,則可得如下兩種情況：

（1）當(dāng)?2＞?＞?1，F(xiàn)3方向?yàn)檎?，則：

（2）當(dāng)?2＜?＜?1，F(xiàn)3方向?yàn)樨?fù)，則：

2　穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)分析

機(jī)械的運(yùn)轉(zhuǎn)一般分為三個(gè)階段：啟動(dòng)階段、穩(wěn)定階段和制動(dòng)階段。在工程應(yīng)用上，一般都想知道穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下所發(fā)生的速度波動(dòng)情況。在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，多采用數(shù)值方法求解微分方程。為了求解曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下的速度波動(dòng)情況，可使用預(yù)估初值法，即任意給定一個(gè)初始角速度，然后求解運(yùn)動(dòng)方程。經(jīng)過n個(gè)周期就可以滿足周期性條件：

圖2　預(yù)估初值法求解過程

如圖2所示，實(shí)線是穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律。當(dāng)取任意不同的初值時(shí)，求解運(yùn)動(dòng)方程的解以虛線表示?？梢钥闯?，虛線是逐步接近于穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律。理論上，需要無限長的時(shí)間才能到達(dá)穩(wěn)定下狀態(tài)，實(shí)際上只要滿足一定的控制精度（見式（10））就可以。

3　快速算法求解曲柄動(dòng)力學(xué)微分方程

若等效力矩可以表達(dá)為兩個(gè)函數(shù)之和，分別是角速度w的函數(shù)和轉(zhuǎn)角?的函數(shù)。那么，可以采用能量形式，建立其運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解。

當(dāng)采用電動(dòng)機(jī)為原動(dòng)機(jī)時(shí)，等效驅(qū)動(dòng)力矩為：

等效阻力矩為：

在1?到2?兩個(gè)區(qū)間運(yùn)用動(dòng)能定理，得：

用梯形公式求積分，式子（13）可寫成：

如圖3所示，將等效構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)周期分為n等分，與機(jī)構(gòu)等效構(gòu)件的位置角?1,?2,???,?n+1相對應(yīng)的等效阻力矩與轉(zhuǎn)角有關(guān)的部分是已知量。

圖3　快速算法

聯(lián)立（11）、（12）和（13），可寫為：

該方程是以w2為未知數(shù)的一元二次方程。假如w1已知，則可以求出w2的大小。

同理，對第i個(gè)區(qū)間，即i?和1i?+之間的區(qū)間，可以有如下遞推公式：

式子：

運(yùn)用遞推公式，當(dāng)初始條件分別為?=?1, ω=ω0時(shí)，便可以求出每一個(gè)位置的角速度。

下面求解等效驅(qū)動(dòng)力矩方程，圖4為電機(jī)的機(jī)械特性。其中，AC運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)最穩(wěn)定；當(dāng)負(fù)載最大時(shí)，機(jī)械減速，輸出力矩將會(huì)增大，并與外載荷達(dá)到新的平衡，AD段運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)不穩(wěn)定；當(dāng)外載荷增加導(dǎo)致轉(zhuǎn)速下降時(shí)，輸出力矩也下降，無法與外載荷平衡，造成轉(zhuǎn)速進(jìn)一步下降。因此，電機(jī)機(jī)械特性曲線主要在AC段，這是動(dòng)力學(xué)分析中最常用到的。

圖4　電機(jī)機(jī)械特性曲線

ABC段可以通過A、B、C三點(diǎn)的二次拋物線表示。確定機(jī)械特性曲線上三個(gè)特征點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A(Mn,ωn)，B(M,ω)，C(MO,ωO)，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入式（11），則可以得出一個(gè)線性方程組：

求解式（19），則可以得到系數(shù)a、b、c，從而求出等效驅(qū)動(dòng)力矩方程。

4　本文小結(jié)

本文綜合運(yùn)用了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力學(xué)和數(shù)值分析方法，建立曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用FORTRAN語言編程，求解出曲柄角速度的變化規(guī)律和理論曲線，以及不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下曲柄角速度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

[1]岳士崗，白師賢．輸入轉(zhuǎn)速波動(dòng)對柔性連桿機(jī)構(gòu)振動(dòng)平衡特性的影響[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，1994，（1）：59-64.

[2]高廣娣，秦偉.機(jī)械系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)及性能測試綜合試驗(yàn)臺(tái)的設(shè)計(jì)[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，（5）：630-632.

[3]劉建琴，張策.電機(jī)-彈性連桿機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，32（3）：265-269.

Slider-crank Mechanism Established System Dynamics Model

TAN Weichao
(Jiangmen Polytechnic, Jiangmen 529000)

In t he anal ysis of inst itutions, are generally assumed to be the movement of the movable member of the original determination, but the act ual movement of the movable member is a primary mechanism by the mass of each member institution, moment of inertia and the forces a cting on the machine, etc. different factors. For motor driven mechanical s ystems, due to the speed of the proces s in motion fluctuations resulted in additional power deputy campaign, which will reduce the mechanical reliability of life and wor k. So it needs to fluctuations in the mechanical movem ent speed and the method of their adjustment to study, it is necessary to drive the motor and mechanism studies.

sl ider-crank mechanism, kinetics, FORTRAN, simulation