含有柔順關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人應(yīng)力分析

李　淵，余躍慶

含有柔順關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人應(yīng)力分析

李淵1，2，余躍慶1

（1.北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124；2.大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西大同037003）

為了研究含有柔順關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人系統(tǒng)疲勞壽命和優(yōu)化設(shè)計，基于含有柔順關(guān)節(jié)的三自由度平面并聯(lián)機器人動力學(xué)模型，推導(dǎo)動應(yīng)力理論公式.運用MATLAB軟件進行計算，并且與SolidWorks、ANSYS和ADAMS三種軟件聯(lián)合共同構(gòu)建的仿真模型結(jié)果進行了對比.結(jié)果表明:理論計算和軟件仿真所得的應(yīng)力值變化趨勢總體一致，兩者相對誤差最大值為6.71%，從而相互驗證其基本正確有效.

并聯(lián)機器人；柔順關(guān)節(jié)；動應(yīng)力

近年來，廣泛應(yīng)用于細胞與基因操作、精密外科手術(shù)、微電子裝配、微細加工、光纖對接等微操作領(lǐng)域的微/納米微操作并聯(lián)機器人［1］，是綜合并聯(lián)機器人、柔順機構(gòu)［2］和微納米技術(shù)發(fā)展形成的一個新的研究方向.它不僅具有并聯(lián)機器人剛度大、精度高、速度高、承載能力強等優(yōu)點，還有柔順機構(gòu)減少零件數(shù)目、提高精度和減輕質(zhì)量等優(yōu)點.在結(jié)構(gòu)設(shè)計及運動分析方面取得了大量研究成果［3-7］，但在動力學(xué)方面［8-9］比較少.

本文以含有柔順關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人動力學(xué)模型［10］為基礎(chǔ)，從理論計算和軟件仿真來研究機器人中柔順關(guān)節(jié)應(yīng)力的變化情況，為研究含有柔順關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人系統(tǒng)的失效形式和疲勞壽命及其優(yōu)化設(shè)計打下堅實的基礎(chǔ).

1　動力學(xué)模型

將3-RRR剛性平面并聯(lián)機器人中的驅(qū)動桿和連桿之間的傳統(tǒng)轉(zhuǎn)動副用柔順關(guān)節(jié)來代替，構(gòu)成新型的含有柔順關(guān)節(jié)的平面并聯(lián)機器人，如圖1所示.其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示.

圖1所示的模型是基于SolidWorks、ANSYS和ADAMS三種軟件聯(lián)合共同構(gòu)建的機器人仿真模型.

文獻［10］基于初始彎曲柔性梁的1R偽剛體模型建立柔順關(guān)節(jié)雙1R偽剛體模型，并將其融入到并聯(lián)機器人中，其結(jié)構(gòu)如圖2所示.

基于矢量法，可得機器人運動學(xué)方程

矢量表達式（1）在絕對坐標系里展開為

表1　含有柔順關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1　Structural parameters of the parallel robot with compliant joints

基于拉格朗日方程和虛擬切割法建立的含有柔順關(guān)節(jié)并聯(lián)機器人動力學(xué)方程為

式中:Me=JTMJ表示慣性矩陣；Ce=JT（MJ·+CJ）表示阻尼矩陣；Ke=JTKDJ表示剛度矩陣；τc= JTKq0表示機器人的初始載荷向量的修正量.

以動平臺的中心點為目標點，機器人的名義運動規(guī)律如式（4）所示，其中長度單位為m，轉(zhuǎn)角單位為rad.

式中:x、y為動平臺目標點在x軸、y軸方向上的位置；φ為動平臺轉(zhuǎn)角.

2　應(yīng)力分析

高速運動的含有柔順關(guān)節(jié)并聯(lián)機器人，大多在循環(huán)變化的載荷下工作，有時可能會發(fā)生一系列低階諧振或共振現(xiàn)象.柔順關(guān)節(jié)所承受的應(yīng)力值較高并且循環(huán)變化，可能導(dǎo)致關(guān)節(jié)的疲勞破壞；如果柔順關(guān)節(jié)的最大應(yīng)力超過材料的許用應(yīng)力，會造成柔順關(guān)節(jié)的失效破壞.所以，研究柔順關(guān)節(jié)的應(yīng)力是非常必要的.應(yīng)力分析是研究系統(tǒng)的失效形式和疲勞壽命的基礎(chǔ)，對含有柔順關(guān)節(jié)并聯(lián)機器人的優(yōu)化設(shè)計具有重要的意義.

在含有柔順關(guān)節(jié)并聯(lián)機器人的運動過程中，柔順關(guān)節(jié)時刻發(fā)生變形運動，其所承受的最大應(yīng)力會因載荷作用點位置和方向的變化而發(fā)生變化.對于初始彎曲梁，它的最大應(yīng)力發(fā)生在固定端［2］.而本文的柔順關(guān)節(jié)是基于初始彎曲梁偽剛體模型建立的雙1R偽剛體模型，該模型可以計算出偽剛體桿BiDi兩端由于扭簧作用而引起的力矩的變化.

如圖3（a）所示，第i支鏈上柔順關(guān)節(jié)的B端和D端所受彎矩分別為

式中θi10、θi20、θi30分別為角θi1、θi2、θi3的初始值.

式（5）（6）可以整理為

其中

給定機器人的各關(guān)節(jié)位移的初始值X0以及隨時間變化驅(qū)動力矩τa，根據(jù)機器人動力學(xué)方程式（3），基于newmark法，可以計算出機器人動平臺的位移X、速度和加速度，再結(jié)合機器人位移表達式（2），基于牛頓-辛普森迭代法，可以計算出機器人各關(guān)節(jié)位移θ.

基于雙1R偽剛體模型建立的柔順關(guān)節(jié)模型中，柔順關(guān)節(jié)的短桿長度為4.45 mm，相對于柔順關(guān)節(jié)模型長桿BiDi的長度（35.03 mm），只是其1/10左右.所以柔順關(guān)節(jié)偽剛體模型中，BiDi兩端所受的力矩，可以等效到原始柔順關(guān)節(jié)的固定位置處，即Bi點和Di點處，如圖3（b）所示.

柔順關(guān)節(jié)主要承受彎曲正應(yīng)力.在彎曲時，以中性層為對稱軸，橫截面的上一部分受拉應(yīng)力，另一部分受壓應(yīng)力.彎曲正應(yīng)力的計算式為

式中Wz為抗彎截面系數(shù).

式中:b為柔順關(guān)節(jié)橫截面的寬度；h為柔順關(guān)節(jié)橫截面的厚度；M為柔順關(guān)節(jié)橫截面所受的彎矩.

柔順關(guān)節(jié)的強度失效的判定條件為

式中［σ］為材料的許用應(yīng)力.

基于Matlab從理論上計算每個支鏈柔順關(guān)節(jié)固定端處的最大應(yīng)力值，并且和軟件仿真模型中測量出的應(yīng)力值進行對比，如圖4～9所示.表2給出各支鏈柔順關(guān)節(jié)固定端的最大應(yīng)力統(tǒng)計值.

根據(jù)圖4～9及表2，可以得出以下結(jié)論:

1）每個支鏈理論計算和軟件仿真所得的應(yīng)力值變化趨勢總體一致；由于ADAMS柔性仿真結(jié)果與仿真步長、柔性構(gòu)件的網(wǎng)絡(luò)劃分情況關(guān)系較大，兩者相對誤差最大值為6.71%，這可基本驗證理論計算及結(jié)果的正確性.

2）軟件仿真所得高頻振動的幅度稍大于理論計算結(jié)果；軟件仿真的最大應(yīng)力值大于理論計算上的最大應(yīng)力值.

3）每個支鏈的應(yīng)力交替變化，最大應(yīng)力出現(xiàn)的時間不同.

4）在整個機器人中，最大應(yīng)力值出現(xiàn)在第1支鏈的B端處，理論計算值為467.61 MPa，軟件仿真所得為497.30 MPa，均小于柔順關(guān)節(jié)厚度為0.3 mm時在變載荷作用下的許用應(yīng)力值973 MPa.

5）每個支鏈上柔順關(guān)節(jié)兩端的應(yīng)力變化基本一致，和驅(qū)動桿固定B端的最大應(yīng)力值稍大于和連桿固定C端的最大動應(yīng)力值；在設(shè)計的時候需要適當?shù)卣{(diào)整B端的柔順關(guān)節(jié)的設(shè)計參數(shù)，改善其應(yīng)力狀況，使機器人柔順構(gòu)件的動應(yīng)力均衡，從而提高機器人動力學(xué)性能.研究柔順關(guān)節(jié)的應(yīng)力，可為含有柔順關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人優(yōu)化設(shè)計提供必要的準備.

表2　各支鏈柔順關(guān)節(jié)固定端的最大應(yīng)力Table 2　Maximum stress of fixed end on compliant joints in chains　MPa

3　結(jié)論

1）基于含有柔順關(guān)節(jié)的三自由度平面并聯(lián)機器人動力學(xué)模型，推導(dǎo)了應(yīng)力理論公式，基于MATLAB軟件進行理論計算，并與 SolidWorks、ANSYS和ADAMS三種軟件聯(lián)合共同構(gòu)建的仿真模型結(jié)果進行了對比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)理論計算和軟件仿真所得的應(yīng)力值變化趨勢總體一致，兩者相對誤差最大值為6.71%，這基本驗證了理論計算和軟件仿真及其結(jié)果的正確性.

2）在機器人運動過程中，每個支鏈上柔順關(guān)節(jié)兩端的應(yīng)力變化基本一致，和驅(qū)動桿固定B端的最大應(yīng)力值稍大于和連桿固定C端的最大動應(yīng)力值；最大應(yīng)力值出現(xiàn)在第1支鏈的B端處，小于變載荷作用下的許用應(yīng)力值；在設(shè)計的時候適當?shù)卣{(diào)整柔順關(guān)節(jié)B端的設(shè)計參數(shù).這為研究含有柔順關(guān)節(jié)并聯(lián)機器人系統(tǒng)的疲勞壽命和優(yōu)化設(shè)計打下基礎(chǔ).

［1］贠遠，徐青松，李楊民.并聯(lián)微操作機器人技術(shù)及應(yīng)用進展［J］.機械工程學(xué)報，2008，44（12）:12-23.

YUN Y，XUQS， LIYM.Surveyonparallel manipulation with micro/nano manipultion technology and applications［J］.ChineseJournalofMechanical Engineering，2008，44（12）:12-23.（in Chinese）

［2］HOWELL L L.Compliant mechanism［M］.New York: John Wiley&Sons，2001.

［3］RYU J W，LEE S Q，GWEONN D G，et al.Inverse kinematic modeling of a coupled flexure hinge mechanism［J］.Mechatronics，1999，9（6）:657-674.

［4］KOSEKI Y，TANIKAWAT，KOYACHIN，etal. Kinematic analysis of a translational 3-DOF micro-parallel mechanism using the matrix method［J］.Advanced Robotics，2002，16（3）:251-264.

［5］YU J J，HU Y D，BI S S，et al.Kinematics feature analysis of a 3-DOF compliant mechanism for micro manipulation［J］.ChineseJournalofMechanical Engineering，2004，17（1）:127-131.

［6］YONG Y K，LU T F.Kinetostatic modeling of 3-RRR compliant micro-motion stages with flexure hinges［J］. Mechanism and Machine Theory，2009，44（6）:1156-1175.

［7］YUN Y，LI Y M.Design and analysis of a novel 6-DOF redundant actuated parallel robot with compliant hinges for high precision positioning［J］.Nonlinear Dynamics，2010，61（4）:829-845

［8］劉平安.柔性關(guān)節(jié)及3-DOF微動平面并聯(lián)機器人設(shè)計與分析［D］.北京:北京交通大學(xué)，2008.

LIU P A.Design and synthesis of fexure hinges and 3-DOF micro-motion planar parallel manipulations［D］.Beijing: Beijing Jiaotong University，2008.（in Chinese）

［9］TIAN Y L，SHIRINZADEHA B，ZHANG D.Design and dynamics of a 3-DOF flexure-based parallel mechanism for micro/nanomanipulation［J］.Microelectronic Engineering，2010，87（2）:230-241.

［10］李淵，余躍慶.柔順關(guān)節(jié)并聯(lián)機器人動力學(xué)模型［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2015，46（7）:345-353.

LI Y，YU Y Q.Dynamic model of a parallel robot with compliant joints［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machine，2015，46（7）:345-353.（in Chinese）

（責(zé)任編輯楊開英）

Stress Analysis of Parallel Robots With Compliant Joints

LI Yuan1，2，YU Yueqing1
（1.College of Mechanical Engineering and Applied Electronics，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China；2.Coal Engineering College，Datong University，Datong 037003，Shanxi，China）

To study the fatigue life and optimized design of the parallel robot with compliant joints based on the model of a 3-DOF planar parallel robot with compliant joints，the formula of the stress was derived.The theory results were obtained on MATLAB，and compared with the results of united simulation model by SolidWorks，ANSYS and ADAMS.Results show that the trends of the stresses of the theoretical calculations and software simulations are generally consistent，and the maximum relative error is 6.71%，which is proven to be correct and effective.

parallel robot；compliant joint；stress

U 461；TP 308

A

0254-0037（2016）06-0832-05

10.11936/bjutxb2015050057

2015-05-20

國家自然科學(xué)基金資助項目（51575006）

李淵（1984—），男，講師，主要從事機器人和柔順機構(gòu)方面的研究，E-mail:lytx2006@163.com

余躍慶（1958—），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事機構(gòu)學(xué)和機器人學(xué)方面的研究，E-mail:yqyu@bjut.edu.cn