艾里光束的產(chǎn)生及對(duì)微小粒子的操作

馬振新,王海鳳,劉仲之,朱厚飛（上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海 200093）

艾里光束的產(chǎn)生及對(duì)微小粒子的操作

馬振新,王海鳳,劉仲之,朱厚飛
（上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海 200093）

近年來(lái),艾里光束因具有橫向加速、無(wú)衍射以及自愈等獨(dú)特性質(zhì)引起了人們的廣泛關(guān)注。該光束的光場(chǎng)振幅分布遵從艾里函數(shù),并滿足類似薛定諤型的波動(dòng)方程。從理論和實(shí)驗(yàn)、線性和非線性、應(yīng)用等多個(gè)方面對(duì)它進(jìn)行研究。從理論上闡述了艾里光束產(chǎn)生的原理,用相位空間光調(diào)制器從實(shí)驗(yàn)上產(chǎn)生了艾里光束。在此基礎(chǔ)上,采用瑞利近似方法,重點(diǎn)分析了在一維艾里光束作用下,粒子所受的光學(xué)散射力、梯度力以及粒子所受的光學(xué)散射力和梯度力與粒子半徑、折射率的關(guān)系。

艾里光束；橫向加速；瑞利近似；散射力和梯度力

引 言

1979年Berry與Balazs在量子力學(xué)領(lǐng)域有重大發(fā)現(xiàn):描述自由粒子的薛定諤方程具有無(wú)衍射艾里光束解［1-3］。其中,艾里光束最顯著的特點(diǎn)是其在沒(méi)有任何外力作用下具有自加速特性［4］。

同其它無(wú)衍射光束一樣,艾里光束是一種在傳播過(guò)程中強(qiáng)度空間分布保持不變的光束。當(dāng)然在實(shí)際操作中由于空間距離和光束能量的限制,無(wú)衍射艾里光束一般都通過(guò)孔徑光闌進(jìn)行“截趾”,從而使得它在傳播過(guò)程中逐漸趨向于衍射。如果“截趾”孔徑超過(guò)理想艾里光束的時(shí)空特征值,在一定傳播距離內(nèi)艾里光束強(qiáng)度會(huì)衰減,因此從實(shí)際情況考慮,認(rèn)為有限能量艾里光束為無(wú)衍射光束［5］。

艾里光束和另一類“無(wú)衍射”的貝塞爾光束相比,它除了同樣具有無(wú)衍射和自愈合性質(zhì)之外,艾里光束還經(jīng)歷一個(gè)橫向的自加速過(guò)程,在自由空間傳播過(guò)程中能夠發(fā)生自彎曲［6］,這是由于艾里光束的非對(duì)稱場(chǎng)分布特點(diǎn)決定的。國(guó)外一個(gè)研究小組利用艾里光束把二氧化硅粒子從一個(gè)容器運(yùn)輸?shù)搅肆硗庖粋€(gè)容器中,它僅僅依靠光學(xué)手段,就可以將粒子進(jìn)行運(yùn)輸,這一點(diǎn)將會(huì)成為光學(xué)微操控的一個(gè)有力工具。

本文首先從實(shí)驗(yàn)上產(chǎn)生了艾里光束,在理論和實(shí)驗(yàn)兩方面證明了在自由空間傳播的艾里光束將沿拋物線軌跡傳播。重點(diǎn)對(duì)艾里光束操控微粒進(jìn)行深入的理論模擬,分析了粒子所受的的光學(xué)梯度力和散射力,同時(shí)還分析了粒子的半徑、折射率對(duì)光學(xué)梯度力和散射力的影響。這些分析將會(huì)更好地指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)研究,為了研究的簡(jiǎn)單性,在這只考慮粒子半徑遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的情況,即瑞利近似方法。

1　理論基礎(chǔ)

為了研究艾里光束的傳播特性,引入歸一化傍軸情況下（1+1）維的衍射方程［7］

式中:s=x/x 0為無(wú)量綱橫坐標(biāo),x 0為任意橫向尺度；為歸一化傳輸距離（與瑞利長(zhǎng)度有關(guān)）；k=2πn/λ0表示波數(shù)；φ為電場(chǎng)包絡(luò)。

方程對(duì)應(yīng)的非色散艾里光束解為

我們研究指數(shù)“截趾”的有限能量艾里光束,在初試位置（ξ=0）的波包分布為

式中:Ai表示艾里函數(shù)；衰減系數(shù)a＞0表示對(duì)無(wú)限能量艾里光束的抑制,且能在實(shí)際中產(chǎn)生。式（2）說(shuō)明光束在加速過(guò)程中其強(qiáng)度保持不變,s—（ξ/2）2反映了光束傳播的拋物線軌道。這種光束可以繞過(guò)障礙物,到達(dá)直射光束所不能到達(dá)的區(qū)域。艾里光束的橫向加速特性無(wú)疑是艾里光束最重要的光束傳輸特性。引入衰減系數(shù)a以后,由式（1）得到有限能量艾里光束為

根據(jù)帕塞法爾定理,可以直接得到艾里光束的能量為

上面討論的均是一維艾里函數(shù)解。

2　艾里光束的產(chǎn)生

首先從實(shí)驗(yàn)上產(chǎn)生艾里光束,實(shí)驗(yàn)裝置如圖1［3］。氦氖激光器發(fā)出一束高斯光束,入射激光經(jīng)過(guò)空間光調(diào)制器的反射即可完成對(duì)其相位的立方調(diào)制,再經(jīng)過(guò)傅里葉透鏡即可在透鏡焦點(diǎn)處觀察到艾里光束的強(qiáng)度輪廓分布。透鏡的焦平面為艾里光束的初始位置,通過(guò)CCD的位置可以采集到不同傳輸距離處艾里光束的橫向光場(chǎng)分布和坐標(biāo)信息,從而可以驗(yàn)證艾里光束的橫向自加速特性。為產(chǎn)生艾里光束,空間光調(diào)制器需加載如圖2所示的相位灰度圖,相位灰度圖的設(shè)計(jì)對(duì)產(chǎn)生艾里光束是至關(guān)重要的［8］。另外,實(shí)驗(yàn)中,在相機(jī)之前放置一個(gè)5倍的顯微物鏡是用來(lái)放大光斑,以便觀察艾里光束能量分布變化的細(xì)節(jié)。

圖1　艾里光束實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.1　Experiment setup for generating Airy beams

圖2　艾里光束的相位掩模板Fig.2　Cubic phase mask of Airy beam

圖3　產(chǎn)生的二維艾里光束截面圖Fig.3　Profile of two-dimensional Airy beam

圖4　一維艾里光束光強(qiáng)分布Fig.4　Intensity distribution of one-dimensional Airy beam

基于上述光路,我們采用焦距為f=500 mm的傅里葉變換透鏡產(chǎn)生艾里光束,實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的艾里光束二維截面圖如圖3所示。艾里光束的產(chǎn)生主要取決于相位掩膜板的設(shè)計(jì),確定的相位掩膜板只能產(chǎn)生特定傳輸特性的艾里光束,這時(shí)艾里光束的傳輸特性是確定的,因此它的橫向加速度也是確定的。圖4給出了這個(gè)艾里光束在一定傳播距離內(nèi)的光強(qiáng)分布（其中,z為光軸方向,x為光偏轉(zhuǎn)方向）。可以看出,艾里光束經(jīng)歷了一個(gè)橫向自加速的過(guò)程,光強(qiáng)在起初的距離范圍內(nèi)保持不變,近似無(wú)衍射,該區(qū)域即為無(wú)衍射區(qū)域。對(duì)于艾里光束,主錘是它能量最集中的點(diǎn)。因此,在實(shí)際的科學(xué)研究中,人們最為關(guān)注的是主錘的橫向加速度。

3　艾里光束對(duì)粒子的作用

3.1艾里光束性質(zhì)

根據(jù)瑞利散射理論,當(dāng)介質(zhì)微粒的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光波的波長(zhǎng)時(shí)a＜＜λ（其中λ是真空中的波長(zhǎng),a為粒子的半徑。一般認(rèn)為a≤λ/20的粒子稱為瑞利粒子）,可以用電磁場(chǎng)模型來(lái)解釋介質(zhì)微粒的受力原理。這時(shí)散射粒子內(nèi)和附近的電場(chǎng)呈現(xiàn)靜電場(chǎng)特征,可以用靜電場(chǎng)方程來(lái)近似描述,且粒子內(nèi)外的相位差s也相當(dāng)小。在這種情況下,粒子可以當(dāng)作點(diǎn)偶極子來(lái)處理?；谑剑?）,假設(shè)電場(chǎng)為沿x方向偏振的線偏光,那么艾里光束的電磁場(chǎng)可以解析表示為［9］

式中:n為介質(zhì)折射率；ε0為真空中的介電常數(shù)；c為真空中的光速。

3.2粒子所受的梯度力和散射力

因?yàn)樵谶@假設(shè)電場(chǎng)為沿x方向偏振的線偏光,則粒子所受的梯度力可進(jìn)一步表示為［10］

另一類電場(chǎng)力是粒子散射光子引起光子動(dòng)量的改變,從而產(chǎn)生散射力,方向?yàn)檠毓鈧鞑サ姆较?。其?jì)算公式為

3.3數(shù)值模擬與結(jié)果討論

采用瑞利近似法,考慮粒子半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)（a≤λ/20）情況,討論梯度力和散射力受哪些因素的影響。在實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生艾里光束的前提下,輸入的艾里光束強(qiáng)度的峰值I0為定值。如圖5,圖6所示,圖5是當(dāng)n1=1.8,n2=1.33,λ=1 064 nm時(shí),半徑a分別為31 nm、40 nm、53.2 nm的粒子所受梯度力隨距離r的變化關(guān)系。圖6是n2=1.33,λ=1 064 nm,a=40 nm時(shí),折射率n1分別為1.8,1.56,1.4的粒子所受梯度力隨距離r的變化關(guān)系。

圖5　不同半徑粒子所受的梯度力與距離r的關(guān)系Fig.5　The relationship between gradient force of different radius particle and distance

圖6　不同折射率粒子所受的梯度力與距離r的關(guān)系Fig.6　The relationship between gradient force of different refractive index particle and distance

對(duì)于折射率一定的粒子,考慮不同半徑的粒子所受的梯度力和散射力,從圖5可知,半徑越大,粒子所受的梯度力和散射力越大,散射力比梯度力隨半徑增大而增大的幅度要大,因?yàn)樘荻攘桶霃降?次方成正比,散射力和半徑的6次方成正比。另外,粒子所受的梯度力和散射力還和粒子本身的折射率有關(guān)。由圖6分析知,在粒子半徑一定的情況下,不同折射率的粒子所受的梯度力和散射力不同,折射率越大的粒子,所受的光學(xué)梯度力和散射力也越大,同樣,散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大。

4　結(jié) 論

本文在實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生艾里光束的基礎(chǔ)上,探討了艾里光束的橫向加速性質(zhì),重點(diǎn)探究了艾里光束對(duì)粒子的作用。在一維艾里光束的作用下,粒子所受的梯度力和散射力沿x、z兩個(gè)方向,光學(xué)梯度力和散射力隨著粒子的折射率和半徑增大而增大,并且散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大,這為艾里光束應(yīng)用在粒子捕獲和運(yùn)輸這一領(lǐng)域提供了基礎(chǔ)。

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（編輯:張 磊）

Generation and operation of small particles by Airy beams

MA Zhenxin,WANG Haifeng,LIU Zhongzhi,ZHU Houfei
（School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China）

Recently,Airy beams have attracted wide interests due to its unique properties of transverse self-accelerating,diffraction-free and self-healing.The amplitude distribution of light field of Airy beams follows the Airy function,satisfying the similar Schrodinger equation. Researchers have conducted the researches about the Airy beam including theory,experiment, linearity and nonlinearity,application,and other aspects.In this paper,we investigate theoretical principle of generation Airy beams,using a spatial light modulator to experimentally generate Airy beams array.On the basis of it,we use Rayleigh approximation method to investigate the gradient and scattering forces of one-dimensional Airy beams.The impact of particle radius and refractive index on the gradient and scattering forces were discussed.

Airy beams；acceleration；Rayleigh approximation；gradient and scattering forces

O 436

A

10.3969/j.issn.1005-5630.2016.02.008

1005-5630（2016）02-0134-05

2015-04-27

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（2015CB352001）

馬振新（1990—）,男,碩士研究生,主要從事光束調(diào)制與測(cè)量方面的研究。E-mail:497383957@qq.com

王海鳳（1971—）,男,教授,主要從事理論光學(xué)方面的研究。E-mail:wanghaifeng@usst.edu.cn