三階和五階非線性自散焦介質(zhì)中的亮孤子

彭賢丁，張少武，黃峻堃

(湖北師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

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三階和五階非線性自散焦介質(zhì)中的亮孤子

彭賢丁，張少武，黃峻堃

(湖北師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石435002)

考察了含3～5階非線性的一維和二維非線性薛定諤方程，獲得了非線性強(qiáng)度是橫向坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)的條件下方程的基態(tài)孤子解，并用分布傅里葉法對其穩(wěn)定性進(jìn)行了數(shù)值分析。結(jié)果表明，三階、五階非線性強(qiáng)度是橫向坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)時，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)可以形成穩(wěn)定的亮孤子，隨著傳播常數(shù)的增大，基態(tài)孤子能穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x越遠(yuǎn)。

非線性薛定諤方程；3～5階非線性；穩(wěn)定性分析

0　引言

孤子因?yàn)槠湓趥鬏斶^程中仍能保持其形態(tài)的特殊性質(zhì)而受到人們的廣泛關(guān)注。在孤子的研究中，支持自持局域模(亮孤子)所采用的一般模型是聚焦非線性，或者散焦非線性聯(lián)合周期性線性勢，后者支持的是間隙亮孤子[1]。近來也報(bào)道了支持亮孤子的一些其他模型，如非線性強(qiáng)度以及符號隨傳播距離或橫向變量變化的非線性晶格[2]，更進(jìn)一步的研究顯示，空間調(diào)制的散焦非線性強(qiáng)度增加得足夠快就可以支持亮孤子[3]。

衍射作用使光束在無色散介質(zhì)中傳輸時沿垂直方向展寬，而非線性介質(zhì)會導(dǎo)致光束橫向收縮，所以在一定條件下衍射與非線性相互作用可形成空間光孤子[4]。Borovkova O V 等人考慮了三階非線性情況，獲得了基態(tài)孤子的精確解。在Borovkova O V 等人的研究基礎(chǔ)上，我們考察了在三階和五階非線性同時存在的情況下對孤子解的結(jié)構(gòu)以及穩(wěn)定性的影響。

1　理論模型

我們考察含3～5階非線性的非線性薛定諤方程

(1)

u(r,ξ)=A(r)exp(ibξ-αr2)

(2)

式中，振幅A(r) 為r的實(shí)函數(shù)或常數(shù)，α和b為常數(shù)。在極坐標(biāo)下，維度為D=1,2 時，具有對稱性的Laplace算符可寫為2=(?/?r)(D-1)/r+?2/?r2。將試探解(2)代入方程(1)，經(jīng)簡單的代數(shù)運(yùn)算有

(3)

作為一個特殊情況考慮，這里設(shè)三階、五階非線性強(qiáng)度與半徑的關(guān)系分別為

(4)

(5)

式中，μ0、μ1和ρ0均為正的常數(shù)。若設(shè)A=常數(shù)，方程(3)可進(jìn)一步簡化為

r2(μ1A3-2α2A)+A(b+Dα+μ0A2+ρ0A4)=0

(6)

在方程(6)中，令r的冪次系數(shù)等于0，則振幅和傳播常數(shù)分別為

于是，滿足條件(4)和(5)時方程(1)的基態(tài)孤子解為

(7)

從(7)式可以看出，在三階和五階非線性取(4)和(5)式的形式情況下，維度D只對傳播常數(shù)有影響，而不改變孤子的振幅；傳播常數(shù)與三階和五階非線性有關(guān)，而振幅只與三階非線性和α有關(guān)。

2　穩(wěn)定性分析

2.1孤子的解析圖

做如下的變量代換

(8)

則方程(1)歸一化變?yōu)?/p>

(9)

2.2基態(tài)孤子的穩(wěn)定性分析

孤子穩(wěn)定性分析是孤子物理學(xué)研究的一個重要方面。我們應(yīng)用分步傅里葉算法[10]模擬方程(1)在初始條件為ψ(r,0)=exp(-αr2)時受微擾擾動的傳輸情況，如圖2所示。微擾取白噪聲，使用正態(tài)分布的高斯隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器產(chǎn)生，其中乘積白噪聲和加法白噪聲的強(qiáng)度分別為Γm=10-4和Γa=10-2.

我們以D=2 的二維情況為例，采用單一改變不同參數(shù)值的方法，考察不同參數(shù)對孤子傳輸?shù)姆€(wěn)定性的影響。圖2(a)和(b)中，ρ0=1，μ1=μ0=1 ，而α值不同，前者為0.05，后者為0.15.比較兩圖發(fā)現(xiàn)，α值較小時孤子的傳輸是非常穩(wěn)定的，隨α值的增大，孤子的傳輸越來越不穩(wěn)定。當(dāng)α=0.15時，孤子只能穩(wěn)定傳輸約ξ=300的距離。圖2(c)中ρ0=10000 ，其余參數(shù)與(a)相同。當(dāng)ρ0=10000 時，孤子只能穩(wěn)定傳輸約ξ=200的距離。可見，隨ρ0值的增大，孤子傳輸?shù)姆€(wěn)定性越來越差。圖2(d)中僅改變μ0值，μ0=100，孤子傳輸約ξ=250距離后就變得不太穩(wěn)定。顯然，μ0值的增大會導(dǎo)致孤子傳輸?shù)姆€(wěn)定性變差。圖2(e)的μ1=0.015，比(a)的μ1小，孤子只能穩(wěn)定傳輸約ξ=200的距離。與圖(b)、(c)和(d)的情況不同，μ1值越大，孤子的傳輸越穩(wěn)定。

圖1　不同參數(shù)下的含三-五階非線性的基態(tài)孤子: μ0=0.1,μ1=0.2, ρ0=1

(a)D=1,α=0.4, (b)～(d)D=2,α分別為0.1、0.2和0.4.

圖2　含三-五階非線性的二維基態(tài)孤子解的穩(wěn)定性分析圖

(a)α=0.05，μ1=μ0=1，ρ0=1 ；(b)α=0.15，μ1=μ0=1，ρ0=1 ；(c)α=0.05，μ1=μ0=1，ρ0=10000；

(d)α=0.05，μ1=1,μ0=100，ρ0=1 ；(e)α=0.05，μ1=0.015,μ0=1，ρ0=1

我們對D=1 的一維情況也作了以上類似的分析，得到的結(jié)論與二維情況是相同的。

3　結(jié)論

我們考察了含3～5階非線性具有對稱性的散焦介質(zhì)中的一維和二維非線性薛定諤方程，獲得了非線性強(qiáng)度是橫向坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)條件下方程的基態(tài)孤子解，并用分布傅里葉法分析了基態(tài)孤子解的穩(wěn)定性。結(jié)果表明，三階、五階非線性強(qiáng)度是橫向坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)時，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)可以形成穩(wěn)定的亮孤子，傳播常數(shù)越大，基態(tài)孤子能穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x越遠(yuǎn)。換言之，三階、五階非線性強(qiáng)度是橫向坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)時，孤子傳輸?shù)姆€(wěn)定性隨傳播常數(shù)的增大而增強(qiáng)。

[1]Kivshar Y S,Agrawal G P. Optical Solitons. From Fibers to Photonic Crystals [M]. San Diego: Academic Press, 2003:472～478.

[2]Kartashov Y V, Malomed B A,Torner L. Solitons in nonlinear lattices [J]. Rev Mod Phys, 2011, 83: 247～247.

[3]Borovkova O V, Kartashov Y V, Torner L, et al.Bright solitons from defocusing nonlinearities [J]. Physical Review E, 2011, 84:035602(R).

[4]劉燕, 張素英. 橫向非周期調(diào)制的五次非線性薛定諤方程的精確孤子解 [J]. 量子光學(xué)學(xué)報(bào). 2015, 21(2):153～159.

[5]Wang Ming-liang, Zhou Yu-bin, Li Zhi-bin. Application of ahomogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equation sin mathematical physics [J]. Physics Letters A. 1996, 216:67～75.

[6]范恩貴, 張鴻慶. 非線性孤子方程的齊次平衡法 [J]. 物理學(xué)報(bào), 1998, 47(3): 353～342.

[7]劉式適, 傅遵濤, 劉式達(dá),等. 求某些非線性偏微分方程特解的一個簡潔方法 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2001, 22(3): 281～286.

[8]謝元喜, 唐駕時. 求一類非線性偏微分方程解析解的一種簡潔方法 [J].物理學(xué)報(bào), 2004, 53(9): 2828～2830.

[9]Bondeson A, Lisak M, Anderson D. Soliton perturbations: a variational principle for the soliton parameters[J]. Phys Scr, 1979, 20:479～485.

[10]Zhang Shaowu, Yi Lin. Exact solutions of a generalized nonlinear Schrodinger equation [J]. Phys Rev E. 2008, 78: 026602.

Bright solitons in the symmetrical self-defocus medium with cubic-quintic nonlinearities

PENG Xian-ding，ZHANG Shao-wu，HUANG Jun-kun

(College of Physical and Electronic Science, Hubei Normal University, Huangshi435002,China)

The one/two-dimension nonlinear Schrodinger equation with cubic-quintic nonlinearities from the symmetrical self-defocus medium is studied and its bright soliton solutions are obtained in the case that the cubic-quintic nonlinear strengths are the exponential function of the transverse coordinate(s). It was numerically found that the stability of solitons depends on propagation constant. Soliton propagation distance increases with propagation constant.

nonlinear Schr?dinger equation; cubic-quintic nonlinearity; stability analysis

2016—03—27

彭賢丁(1990— )，男，貴州遵義人，碩士研究生，主要從事非線性光學(xué)研究。

O437

A

1009-2714(2016)02- 0067- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.015