倒向隨機(jī)微分方程在原保險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用

曹姍姍

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

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倒向隨機(jī)微分方程在原保險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用

曹姍姍

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435002)

保險(xiǎn)定價(jià);倒向隨機(jī)微分方程; “均值+方差”法;伊藤微分公式;Gisanov定理

保險(xiǎn)定價(jià)是保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的關(guān)鍵內(nèi)容，過(guò)高的保費(fèi)能夠讓保險(xiǎn)公司獲得利益，但同時(shí)會(huì)使投保人望而卻步，從而被市場(chǎng)淘汰出局；過(guò)低的保費(fèi)會(huì)增加投保人的興趣，但保險(xiǎn)公司將承擔(dān)更大的償債風(fēng)險(xiǎn)，從而給予保險(xiǎn)公司致命打擊.所以說(shuō)，合理的保險(xiǎn)定價(jià)是保險(xiǎn)公司生存與發(fā)展的關(guān)鍵因素. 現(xiàn)如今，保險(xiǎn)業(yè)在飛速發(fā)展，各種保險(xiǎn)品種不斷涌現(xiàn), 合理的定價(jià)是保險(xiǎn)公司在市場(chǎng)中生存的關(guān)鍵，因而對(duì)保險(xiǎn)定價(jià)的研究就更為迫切了.本文主要研究通常意義上的保險(xiǎn)定價(jià)(原保險(xiǎn))，即保險(xiǎn)人在平等自愿的基礎(chǔ)上直接應(yīng)投保人的要求而辦理的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的定價(jià).

倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)的概念[1]是20世紀(jì)90年代初由我國(guó)數(shù)學(xué)家彭實(shí)戈和法國(guó)數(shù)學(xué)家Pardoux 引入的.之后其特殊的理論性質(zhì)引起不少學(xué)者的關(guān)注，極大地推動(dòng)了BSDE的發(fā)展.同時(shí)，許多金融數(shù)學(xué)家也把目光投向了BSDE在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域上的研究，使得BSDE的應(yīng)用性更加廣闊和活躍.

1　保險(xiǎn)定價(jià)的經(jīng)典模型

在傳統(tǒng)的保險(xiǎn)定價(jià)中，概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的研究已經(jīng)擁有幾百年的歷史，各方面的有關(guān)文獻(xiàn)也比較多. 實(shí)際應(yīng)用中通常使用的定價(jià)法為“均值-方差法”，即“純費(fèi)率+附加費(fèi)率”法[2].下面給出相關(guān)概念及計(jì)算公式：

1)保險(xiǎn)費(fèi)是投保人為轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)，取得保險(xiǎn)人在約定責(zé)任范圍內(nèi)所承擔(dān)的賠償(或給付)責(zé)任而交付的費(fèi)用；保險(xiǎn)金額是指保險(xiǎn)人承擔(dān)賠償或者給付保險(xiǎn)金責(zé)任的最高限額；保險(xiǎn)費(fèi)率，是應(yīng)繳納保險(xiǎn)費(fèi)與保險(xiǎn)金額的比率,保險(xiǎn)費(fèi)率是保險(xiǎn)人按單位保險(xiǎn)金額向投保人收取保險(xiǎn)費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)，一般由純費(fèi)率和附加費(fèi)率兩部分組成.

4) 純費(fèi)率： Np=E(ξ)+mσ.其中 Np表示純費(fèi)率， E(ξ)表示平均損失率， σ 表示損失率的標(biāo)準(zhǔn)差， m表示倍數(shù).

6)保險(xiǎn)費(fèi)率=純費(fèi)率+附加費(fèi)率=(平均損失率+m倍標(biāo)準(zhǔn)差)+附加費(fèi)率 ，其計(jì)算公式為：

p=E(ξ)+m σ+θ

2　 建立數(shù)學(xué)模型

在本節(jié)中，將借助于倒向隨機(jī)微分理論，從而建立出原保險(xiǎn)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型.

引理1[3]伊藤微分公式：設(shè) dxi(t)=bi(t)dt+ei(t)dwi(t)(i=1,2,3,…，n)函數(shù)G(x1,x2,…,xn,t)對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于x，t連續(xù)，其中x=(x1,x2,…,xn)∈Rn，t≥0，wi(t)(i=1,2,3,…,n) 是相互獨(dú)立的維納過(guò)程，則G(x1(t),x2(t),…,xn(t),t)滿(mǎn)足如下隨機(jī)微分方程：

其中G的下角標(biāo)表示相對(duì)應(yīng)變量的偏導(dǎo)數(shù).

考慮連續(xù)市場(chǎng)情形，設(shè)(Ω,Ft≥0,F,P)為概率空間 (Ω,F,P)帶σ代數(shù)流的概率空間，其中Ft≥0=σ(W(s)，0≤s≤t)即由標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) {W(s),s≥0}產(chǎn)生的σ代數(shù)流.假設(shè)在金融市場(chǎng)中只有兩種資產(chǎn)，其中一種為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一種為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).假定x0(t) ,x1(t) 分別表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格以及有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，x0(t) ，x1(t)∈R1滿(mǎn)足下列方程：

(1)

其中，σ(t)>0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率，r0(t) ，r1(t) 分別表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率.

假設(shè)某種保險(xiǎn)產(chǎn)品保險(xiǎn)費(fèi)用為 pQ，其中p 為保險(xiǎn)產(chǎn)品價(jià)格(保險(xiǎn)費(fèi)率)， Q為投保者的保險(xiǎn)額.設(shè)ξ 是隨機(jī)變量，表示索賠率，則保險(xiǎn)公司在t=T 時(shí)刻的賠償為 ξQ.保險(xiǎn)公司為能彌補(bǔ)損失將收取的保費(fèi)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資，以獲得足夠回報(bào).設(shè)公司的經(jīng)營(yíng)費(fèi)用占保費(fèi)的比例為h ，則保險(xiǎn)公司可以用來(lái)投資的總費(fèi)用為(1-h)pQ .在t=0 時(shí)刻，將(1-h)pQ 投資于風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)，總資產(chǎn)將隨時(shí)間的變化而變化.記總資產(chǎn)為y(t) ，則y(0)=(1-h)pQ .保險(xiǎn)公司在風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)中投資是為了使 y(T)>ξ Q，但因?yàn)榧僭O(shè)的金融市場(chǎng)為無(wú)套利市場(chǎng)，所以有公平價(jià)格，使得關(guān)系式y(tǒng)(T)=ξ Q成立.

對(duì)(1-h)pQ 進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資組合，即將其分為兩部分，設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)占有百分率為u(t),u(t)∈[0,1] ，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)占有 1-u(t).則投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的費(fèi)用分別為y(t)u(t)=(1-h)pQu(t) ，y(t)[1-u(t)]=(1-h)[1-u(t)]pQu(t) .由伊藤微分公式，對(duì)(1)式進(jìn)行計(jì)算，可得總資產(chǎn)y(t) 滿(mǎn)足下列倒向隨機(jī)微分方程：

令z(t)= σu(t)y(t)，則上述方程可轉(zhuǎn)換為

(2)

在總資產(chǎn)y(t) 滿(mǎn)足倒向隨機(jī)微分方程(2)的基礎(chǔ)上,找到保險(xiǎn)的公平價(jià)格p ,從而滿(mǎn)足y(0)=(1-h)pQ .

3　原保險(xiǎn)定價(jià)公式的推導(dǎo)

dy(t)=a(s,w)dt+dWt,t≤T,y0=0

定理假設(shè)保險(xiǎn)公司是風(fēng)險(xiǎn)中性的，其資產(chǎn)y(t) 滿(mǎn)足倒向隨機(jī)微分方程(2)，則保險(xiǎn)定價(jià)為：

證明為證得結(jié)論首先需引入概率測(cè)度P*,令

則P*為P的等價(jià)概率測(cè)度.又由引理2可知隨機(jī)過(guò)程

(3)

下求方程(3)的解.

對(duì)如上等式兩邊從t 到T 積分得：

對(duì)上式兩邊取EP*[*|Ft] ，得EP*[Is|Ft] =0.

本小節(jié)得出的定價(jià)公式顯示，保險(xiǎn)價(jià)格(保險(xiǎn)費(fèi)率)只與平均索賠率(損失率)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率有關(guān),這使得保險(xiǎn)費(fèi)率的變化不會(huì)太大，比較符合實(shí)際情況.

4　算例分析

因保險(xiǎn)公司相關(guān)數(shù)據(jù)都為商業(yè)機(jī)密不對(duì)外公開(kāi)，所以較難獲取實(shí)際數(shù)據(jù)，因此假設(shè)設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 r0=6%，T=1 , h=10%，附加保費(fèi)為1‰ ，有表1:

表1　全國(guó)意外險(xiǎn)業(yè)務(wù)歷年賠款額和保險(xiǎn)金額的數(shù)據(jù)

i)“均值-方差”法

再根據(jù)保險(xiǎn)費(fèi)率計(jì)算公式可得：

p=E(ξ)+mσ+θ=3.56‰+0.2‰+1‰=3.86‰

ii)根據(jù)本文得出的保險(xiǎn)定價(jià)公式有：

雖然假設(shè)數(shù)據(jù)不是特別準(zhǔn)確，但是通過(guò)上述兩種方法的求值比較，說(shuō)明保險(xiǎn)定價(jià)公式有一定的可行性的.這也說(shuō)明倒向隨機(jī)微分方程在保險(xiǎn)定價(jià)問(wèn)題的應(yīng)用上具有廣闊前景的.

[1]Pardoux E,Peng S.Adapted solution of a backward stochastic differential equations [J]. Systems Control Letters,1990,14:55～61.

[2]孫國(guó)忠,王秀蓮.基于風(fēng)險(xiǎn)投資理論的保險(xiǎn)定價(jià)研究[J].工業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)，2005,137：88～89.

[3]陳佳.倒向隨機(jī)微分方程在保險(xiǎn)業(yè)定價(jià)問(wèn)題中的應(yīng)用[D].北京：北方工業(yè)大學(xué)，2007.

[4]彭實(shí)戈.倒向隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1997,26(2):97～112.

[5]黃志遠(yuǎn).隨機(jī)分析學(xué)基礎(chǔ)[M].科學(xué)出版社,1998.

[6]程中華,寧偉.倒向隨機(jī)微分方程在保險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)研究，2010，9：74～75.

Application of backward stochastic differential equations in the pricing of original insurance

CAO Shan-shan

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002 , China)

In this paper, assuming that there are only two assets (no risk asset and risk assets) in the financial , we establish pricing model of original insurance price by using the backward stochastic differential equation , then work out the solution of equation to get the pricing formula . And test the feasibility of the pricing formula through the contrast of "mean-variance" pricing.

insurance pricing; BSDE ; "mean-variance" method; differential equation; Gisanov theorem

2016—01—25

曹姍姍(1990—)，女，湖北大冶人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榈瓜螂S機(jī)微分方程及其應(yīng)用.

F832.p

A

1009-2714(2016)02- 0060- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.013