脈沖滯后泛函微分方程解的相對初值的可微性

李寶麟,劉麗麗,魏婷婷,趙紅巖,張元德(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

數(shù)理科學(xué)

脈沖滯后泛函微分方程解的相對初值的可微性

李寶麟,劉麗麗,魏婷婷,趙紅巖,張元德
(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州730070)

廣義常微分方程的解不一定是可微的或是關(guān)于變元連續(xù)的,但仍可以得到其相對初值問題解的可微性定理.脈沖滯后泛函微分方程作為一種具體形式的廣義常微分方程,具有廣義常微分方程的相應(yīng)結(jié)論.因此,借助廣義常微分方程的解相對初值問題可微性定理,建立脈沖滯后泛函微分方程解的相對于初值問題的可微性定理.

脈沖滯后泛函微分方程;廣義常微分方程;Kurzweil積分

引用格式:Li Baolin,Liu Lili,Wei Tingting,et al．Differentiability of Relative Original Value of Solution of ImG pulsive Retarded Functional Differential Equation[J]．Journal of Gansu Sciences,2016,28(2):1G6．[李寶麟,劉麗麗,魏婷婷,等．脈沖滯后泛函微分方程解的相對初值的可微性[J]．甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(2):1G6．]

已有很多文獻研究脈沖微分方程[1G10],文獻[1]中討論了脈沖滯后泛函微分方程與廣義常微分方程的等價性,為此,廣義常微分方程中的很多相關(guān)理論都可以應(yīng)用到脈沖滯后泛函微分方程中.文獻[3]中主要討論了廣義常微分方程的解相對于初值問題的可微性定理.文獻[2,4]中討論了關(guān)于脈沖微分方程和時間尺度上的動力方程的可微性定理.

受以上工作的啟示,研究將討論以下脈沖滯后泛函微分方程

的可微性.記G([a,b],Rn)是正則函數(shù)x:[a,b]→Rn構(gòu)成的空間.區(qū)間[a,b]?R,且G([a,b],Rn)為 Banach空間,對所有的

設(shè)開集G1?G－([a－r,b],Rn)具有以下性質(zhì):如果x＝x(t),t∈[a－r,b]且x∈G1,那么t?∈[a－r,b],其中:當(dāng)對于任意的x∈,映射在[a,b]上Lebesgue可積且滿足下列條件:

(ⅰ)對于所有的x∈G1,存在Lebesgue可積函數(shù)m:[a,b]→R,使得

(ⅱ)對于所有的x,y∈G1,存在Lebesgue可積函數(shù)l:[a,b]→R,使得其中ω:[0,＋￥)→R是連續(xù)的增函數(shù)且ω(0)＝0.

對于脈沖算子Ik:Rn→Rn,k＝1,2,?,假設(shè)下列條件成立:

(ⅲ)存在常數(shù)K1＞0,使得對所有的(ⅳ)存在常數(shù)K2＞0,使得對所有的k＝1,2,?及x,y∈Rn,有

方程(1)等價于以下積分方程:

研究將對脈沖滯后泛函微分方程(1)的解相對于初值問題的可微性進行討論.

1　預(yù)備知識及定義

以下介紹廣義常微分方程與Kurzweil積分的相關(guān)理論.

定義1矩陣值函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn×m在區(qū)間[a,b]上稱為Kurzweil可積的,如果存在矩陣I∈Rn×m,使得對任意的ε＞0,存在正值函數(shù)δ(t):[a,b]→(0,＋￥),對[a,b]的任何δ－精細分劃D及

其中,則I∈Rn×m稱為U在區(qū)間[a,b]上的Kurzweil積分,記為

特別地,當(dāng)f:[a,b]→Rn,g:[a,b]→R,U(τ,t)＝f(τ)g(t)時,上面定義的積分稱為KurzweilGStieltjes積分,記作

定義2設(shè)函數(shù)x:[a,b]→Rn,若對所有的t∈[a,b],(x(t),t)∈G1×[a,b],s1,s2∈[a,b],有[5]

定義3設(shè)函數(shù)F:G1×[a,b]→Rn,如果F屬于函數(shù)族F(G1×[a,b],h,ω),則下列條件成立[5]:

(1)對任意的(x,t1),(x,t2)∈G1×[a,b],有 (2)對任意的(x,t1),(x,t2),(y,t1),(y,t2)∈G1×[a,b],有其中不減函數(shù)h:[a,b]→R,連續(xù)的增函數(shù)ω:[0,＋￥)→R且ω(0)＝0.

引理1若f:[a,b]→Rn為正則函數(shù),g:[a,b]→R為不減函數(shù),則積分存在[5].

引理2設(shè)f:[a,b]→Rn為正則函數(shù),g:[a,b]→R為不減函數(shù),U:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積的,若對任意的t,τ,s∈[a,b],有[3]

則

引理3設(shè)U:[a,b]×[a,b]→Rn×m是Kurzweil可積的,u:[a,b]→Rn×m是U的原函數(shù),即[3]

如果U關(guān)于第二個變元是正則的,那么u也是正則的,且滿足

更進一步,若存在不減函數(shù)h:[a,b]→R,使得

則

引理4設(shè)矩陣值函數(shù)C:[a,b]×[a,b]→Rn×n,y,z:[a,b]→Rn且C滿足[3]

其中h:[a,b]→R為不減左連續(xù)函數(shù).若對任意的s∈[a,b],

則z在區(qū)間[a,b]上是正則的.

引理5若矩陣值函數(shù)C:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積的,且C相對于左連續(xù)函數(shù)h滿足式(6),則對于每個z0∈Rn,初值問題

存在唯一解z:[a,b]→Rn[3].引理6設(shè)h:[a,b]→[0,＋￥)是不減左連續(xù)函數(shù),k＞0,l≥0.若ψ:[a,b]→[0,＋￥)有界且滿足[5]

則對任意的ξ∈[a,b],ψ(ξ)≤kel(h(ξ)－h(huán)(a)).

引理7設(shè)f:G－([－r,0],Rn)×[a,b]→Rn,映射t a f(xt,t)在[a,b]上Lebesgue可積,Ik:Rn→Rn, k＝1,2,?,且f滿足(ⅰ)、(ⅱ),Ik滿足(ⅲ)、(ⅳ),則脈沖滯后泛函微分方程(1)等價于廣義常微分方程

2　主要結(jié)果

我們建立脈沖滯后泛函微分方程的解相對于初值為問題的可微性結(jié)果.

其中:F正則且關(guān)于第二個變元左連續(xù).式(8)在[a,b]上存在唯一解,令x(t,λ)為式(8)的解在t∈[a,b]上的值,如果下列條件成立:

(1)對每個固定的t∈[a,b],函數(shù)x a F(x,t)在B上連續(xù)可微;

(2)函數(shù)x0在λ0處可微;則對所有的t∈[a,b],函數(shù)λa x(t,λ)在λ0處一致可微,且其導(dǎo)數(shù)Z(t)＝xλ(t,λ0),t∈[a,b]是廣義常微分方程的唯一解.證明按照假設(shè),對每個x,y∈B,t∈[a,b],存在正常數(shù)A1,A2,K1,K2,使得及令對于任意的s,t∈[a,b],則即

及

若令其中h(t) ω(t)＝t.由假設(shè),存在常數(shù)A＞0,K＞0,使得

成立,則

對每個x,y∈B,t∈[a,b]及不減左連續(xù)函數(shù)h(t),令),則

對任意的λ∈Λ,s∈[a,b],廣義常微分方程式(8)等價于

由引理3可知,在[a,b]上,每個x都是正則的左連續(xù)函數(shù).若Δλ∈Rl,使得‖Δλ‖≤ρ,則

其中:U(τ,t)＝F(x(τ,λ0＋Δλ),t)－F(x(τ,λ0),t).通過式(10)可得

由引理2可得

利用引理6,則有從而,對所有s∈[a,b],當(dāng)Δλ→0時,x(s,λ0＋Δλ)一致收斂于x(s,λ0).

由F x∈F(B×[a,b],h,ω),則F x滿足式(4).其中C(τ,t)＝F x(x(τ,λ),t),由引理4、引理5可知,F x存在唯一解Z:[a,b]→R n×n,且Z是正則的,從而存在常數(shù)M＞0,使得對每個t∈[a,b],有‖Z(t)‖≤M.

對任意的Δλ∈R l,當(dāng)‖Δλ‖＜ρ時,設(shè)

下證對所有r∈[a,b],若Δλ→0,則ξ(r,Δλ)一致趨于0.對任意的ε＞0,存在δ＞0,使得Δλ∈R l,‖Δλ‖＜δ時,有

及

從而

其中:

由于F在B上的連續(xù)可微性,則

又

從而

利用三角不等式得

最后,由引理6可得

因此ε→0＋,對所有的一致趨于0.

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Differentiability of Relative Original Value of Solution of Impulsive Retarded Functional Differential Equation

Li Baolin,Liu Lili,Wei Tingting,Zhao Hongyan,Zhang Yuande
(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

The solution of generalized differential equation is not always differentiable or relates to continuG ous arguments,but it can lead to the differentiable theorem of solution of its relative original value．ImpulG sive retarded functional differential equation,as a concrete modal generalized differential equation,has the relevant conclusion of generalized differential equation．Therefore,based on the differentiable theorem of relative original value of solution of generalized differential equation,this article builds differentiable theoG rem of relative original value of solution of impulsive retarded functional differential equation．

Impulsive retarded functional differential equation;Generalized differential equation;Kurzweil integration

O175．12

A

1004G0366(2016)02G0001G06

10．16468/j．cnkii．ssn1004G0366．2016．02．001．

2015G06G16;

2015G10G10．

國家自然科學(xué)基金(11061031)．

李寶麟(1963G),男,博士,教授,研究方向為常微分方程與動力系統(tǒng)．EGmail:libl＠nwnu．edu．cn．

劉麗麗．EGmail:Liulili219＠126．com．