單峰分布下三段截尾變量期望下界的估計(jì)

李 宗 秀

(黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院 基礎(chǔ)部 哈爾濱150025)

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單峰分布下三段截尾變量期望下界的估計(jì)

李 宗 秀

(黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院 基礎(chǔ)部 哈爾濱150025)

在假定隨機(jī)變量X∈[-a,+∞]且為單峰分布的條件下，利用隨機(jī)變量X若干矩信息，通過對偶理論引入簡單變換，最后得出三段線性函數(shù)期max(0,X,mX-z)望下界的估計(jì).是三段線性函數(shù)期望半?yún)?shù)界的推廣，進(jìn)一步研究了截尾隨機(jī)變量期望界的問題，為金融經(jīng)濟(jì)等研究領(lǐng)域提供了理論依據(jù).

截尾變量；對偶理論；單峰分布；期望

本文的內(nèi)容屬于矩問題中三段線性函數(shù)期望的研究，最早追溯到俄國數(shù)學(xué)家Chebyshev，他的Chebyshev不等式[1]被認(rèn)為是第一個(gè)系統(tǒng)研究矩問題依據(jù)，而隨機(jī)變量函數(shù)的期望的半?yún)?shù)界源于Scarf[2]成本控制中的研究，后期，Lo[3]，Grundy[4]，Cox[5]的重要文獻(xiàn)也驅(qū)動了隨機(jī)變量函數(shù)半?yún)?shù)界的發(fā)展.這些研究被廣泛應(yīng)用于收益函數(shù)，股票價(jià)格和歐式期權(quán)中.新加坡學(xué)者Natarajan和Zhou[6]于2007年得到三段線性函數(shù)的期望Emax(0,S,aS-b)的上界，此結(jié)果推廣了歐式期權(quán)并用最優(yōu)化的方法得到了完整的結(jié)果.單峰分布最早源于Gauss-Winkler不等式[7]，它由Gauss提出的，后來Winkler加以完善.1970 年，多維單峰變量的研究備受關(guān)注，Popescue[8]將一維單峰分布的結(jié)果推廣到多維情形，2007年，雙峰分布又得到了廣泛的應(yīng)用[9].在國內(nèi)，對截尾變量期望的研究有突出貢獻(xiàn)的就是李文博教授和劉國慶老師[10]，2010年，張銀龍等[11]發(fā)表了兩類截尾變量的均值與方差的估計(jì)一文，對后續(xù)的研究起了重要作用.2011至今，劉國慶，李宗秀，吳捷等人對三段截尾變量數(shù)字特征上下界的估計(jì)也做出了很多的貢獻(xiàn)，見參考文獻(xiàn)[12-13].

定理 設(shè)隨機(jī)變量X∈[-a,+∞]，且X為單峰分布，眾數(shù)為Md>0，當(dāng)隨機(jī)變量X滿足EX=m1，EX2=m2時(shí)，三段線性函數(shù)H(x)=max(0，x,mx-z),其中m>1,z>0.則

(1)

(2)

證明 1) 構(gòu)造二次函數(shù)Q(y)=ky2+g使其滿足Ψ(y)≥Q(x)此二次函數(shù)以y=0為對稱軸，與Ψ(y)的第一段函數(shù)相切于點(diǎn)d.則有 Emax(0,X,mX-z)≥EQ(X)=k(3m2-2m1Md)，當(dāng)Q(x)滿足如下條件

即

解得

(3)

此時(shí)

(4)

所以

(5)

令[EQd(X)]′=0，由于d<0，得

(6)

(7)

3) 構(gòu)造二次函數(shù)Q(y)=ky2+g使其滿足Ψ(y)≥Q(y)，此二次函數(shù)以y=0為對稱軸，與Ψ(y)的第一段函數(shù)相切于點(diǎn)d則有Emax(0,X,mX-z)≥EQ(Y)=k(3m2-2m1Md)+g ，當(dāng)Q(x)滿足如下條件

(8)

即

解得

此時(shí)

(9)

所以

(10)

令[EQd(X)]′=0，由于d<0，得

(11)

將式(11)代入式(10)得

其中

(12)

綜上，有

其中

(13)

[1]PRANGERW.Extremepointsofconvexsets[J].Math.Ann., 1973, 205: 299-302.

[2]ARROWKJ,KARLINS,SCARFH.Mathematicaltheoryofinventoryandproduction[M].Stanford:StanfordUniversityPress, 1958.

[3]LOA.Semiparametricupperboundsforoptionpricesandexpectedpayoffs[J].J.Finan.Econom., 1987, 19: 373-388.

[4]GRUNDYB.Optionpricesandtheunderlyingassetsreturndistribution[J].J.Finan., 1991, 46(3): 1045-1069.

[5]COXSH.Boundsonexpectedvaluesofinsurancepaymentsandoptionprices[J].Trans.Soc.Actu., 1991, 43: 231-260.

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[7]KARLINS,STUDDENW.Chebyshevsystems:withapplicationsinanalysisandstatistics,pureandappliedmathematics[M].NewYork:JohnWileyandSons, 1966.

[8]POPESCUI.AsemidefiniteprogrammingapproachtooptimalmomentboundsforconvexclassesofDistributions[J].Math.Oper.Res., 2005, 30: 632-657.

[9]BLOCKHW,LIY,SAVITTH.Mixturesofnormaldistributions:modalityandfailurerate[J].Stat.Prob.Lett., 2005, 74(3): 253-264.

[10]LIUGQ,LIWV.Momentboundsfortruncatedrandomvariables[J].StatisticsandProbabilityLetters, 2009, 79: 1951-1954.

[11]張銀龍, 劉國慶, 王敏慧. 兩類截尾變量的均值與方差的估計(jì)[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 10: 74-77.

[12]李宗秀, 劉國慶. 三段截尾變量概率分布的上界[J]. 高師理科學(xué)刊, 2011, 4: 4-6.

[13]李宗秀, 吳捷. 三段截尾變量小值概率上界的估計(jì)[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2011,27(4): 114-116.

Estimates on lower bounds of mean for three-piece truncated randomvariablesofunimodaldistribution

LI Zong-xiu

(Department of Basic, Heilongjiang Finance and Economy College, Harbin 150025, China)

Thispapersupposedrandomvariablesundertheconditionoftheunimodaldistribution,Introducedthesimpletransformationbasedonthedualtheoryunderseveralmomentconditionsofit.Atlast,gettheestimatesoflowerboundsformeanofatruncatedthree-piecelinearfunctionofthisrandomvariable.Thispaperimprovedthesemiparametricboundsformeanofathree-piecelinearfunctionofarandomvariable,alltheresultsinthispaperastoprovidethetheoryevidenceforfinanceandeconomy.

truncatedvariable;dualtheory;unimodaldistribution;mean

2016-03-20.

黑龍江省教育教改項(xiàng)目(JG2014010930)；黑龍江省教育科學(xué)規(guī)劃課題(GJD1215031)；黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院院級課題(2016YB05)

李宗秀(1980-)，女，碩士，講師，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).

O211

A

1672-0946(2016)04-0479-03