一階變時滯微分方程解的零點間距上界估計

王 淑 萍

(中國石油大學(北京)理學院 數(shù)學系，北京 102249)

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一階變時滯微分方程解的零點間距上界估計

王 淑 萍

(中國石油大學(北京)理學院 數(shù)學系，北京 102249)

給出了一階變時滯微分方程的零點存在條件，從而相應地給出該方程解零點震蕩的條件以及零點間距的上界估計，給出了關(guān)于方程零點分布更廣泛的結(jié)論.

零點間距；震蕩；變時滯

1　引　論

本文給出下述一階變時滯微分方程的零點存在的判定條件，從而進一步得到該微分方程零解震蕩的判定條件以及零點間距的上界估計.

考慮如下變時滯微分方程

x′(t)+p(t)x(τ(t))=0,t≥t0

(1)

關(guān)于時滯微分方程的零解震蕩性以及零點間距上界的估計，到目前為止這方面的著述頗豐[1-13]，具體的內(nèi)容綜述，筆者在這里不再贅述.

至于本文所涉及的研究內(nèi)容，最新的進展可追溯到HassanA·El-Morshedy，F(xiàn)aroqA.Baker，LynnErbe，HongwuWu等諸多文獻中，較為開端性的工作可以從B·G·Zhang[2]和YongZhou[4]的文獻中讀到，El-Morshedy[8]給出了一階常時滯微分方程的零點分布的諸多性質(zhì)；之后HongwuWu等[6，9，10]給出了更多的推廣以及一些新的結(jié)論；可以在文獻[11]中看到他們在中立型泛函微分方程零解分布方面的結(jié)果，文獻[12]的結(jié)果對于一階變時滯微分方程的零點分布作了更進一步的推廣，無疑結(jié)果是令人興奮的.本文是對El-Morshedy[8]一些結(jié)論的推廣，而其中的證明思想正是源于上述的諸多文獻.

本文會多處用到τ(t)的逆函數(shù)，為了簡明陳述文中的結(jié)論，引入下面的記號：

τ0(t)=t

τ-i(t)=τ-1(τ-(i-1)(t)),i=1,2,…

我們定義d(x)表示相鄰零點間的最大距離.

2　主要結(jié)論

定理1：設x(t)是方程在[t0,∞)的解，假設T≥t0，并且S∈(τ-2(T),τ-3(T))，如果

(2)

那么區(qū)間(T,S]至少包含x(t)的一個零點，進一步，如果對于所有的t≥t0，

(3)

那么方程存在震蕩解x(t).

證明：我們假設對于t∈(T,S)，x(t)≠0 ，S∈(τ-2(T),τ-3(T))，不失一般性，我們不妨設t∈(T,S)，x(t)>0于是

x(τ(t))>0,t∈(τ-1(T),S)，

并且

x′(t)=-p(t)x(τ(t))≤0，t∈(τ-1(T),S).

因此，x(τ(t))在區(qū)間(τ-2(T),S)上非增，于是我們可以得到：

因為 x(τ-2(T))≤x(τ(S))，

因此0

推論1：設x(t)是方程在[t0,∞)的解，假設t≥t0，并且St∈(τ-2(t),τ-3(t)]，如果

(4)

那么d(x)≤supt≥t0(St-t).

注：如果我們令τ(t)=t-τ，上述結(jié)論便簡化為文獻[8]中的結(jié)果，顯然上述結(jié)論是對文獻[8]中定理2.2給出結(jié)論的推廣.在推論1中，如果我們用τ-n(t)代替其中的t可得到下述結(jié)論

推論2：設x(t)是方程在[t0,∞)的解，假設t≥t0，并且St∈(τ-n-2(t),τ-n-3(t)]，如果

(5)

那么d(x)≤supt≥t0(St-τ-n(t)).

下面定義序列{Qn(t)}滿足

Q0(t)=p(t),t≥T

定理2：設n為一正整數(shù)并且有下式成立

(6)

那么方程在(T,S)上有零解.進一步，對于任意，如果

(7)

那么方程存在震蕩解，且零點間的距離為

d(x)supT≥t0(St-t),St∈(τ-3n-2(t),τ-3n-3(t)).

證明：不失一般性，對于T≥t0不妨設在(T,S)上x(t)>0為方程的任一解，S∈(τ-3n-2(T),τ-3n-3(T))，于是我們得到：

容易看出

t∈(τ-2(T),S).

于是

迭代n次后我們得到

yn(S)-yn(τ-3n-2(T))+

S∈(τ-3n-2(T),τ-3n-3(T))

進而得到

yn(S)-yn(τ-3n-2(T))+

-yn(τ-3n-2(T))≥-y(τ(S))

于是

由yn(S)>0知上式不成立，從而推斷出區(qū)間(T,S)上至少有x(t)的一個零點.相應地，我們可以得到解的震蕩性以及零點間距的上界.

設x(t)是方程(1)在[t0,∞)上的解并且在區(qū)間[T0,T]上大于0，這里T0≥t0,T≥τ-3(T0)，并且我們假設

(8)

我們?nèi)菀字纗′(t)<0,t∈[τ-1(T0),T].因此，當t>τ-3(T0)時，x(τ(s))在區(qū)間[τ(t),t]上遞減，且有

從而有

進一步，當t≥τ-4(T0)時，我們有

我們看到式(1)滿足

兩邊積分可得到

從而得到

通過歸納法可證明：

(9)

接下來我們定義序列{Pn(s)},s∈(τ(t),t)如下

定理3：設有正整數(shù)n滿足

(10)

那么方程(1)有震蕩解，且d(x)≤supT0≥t0(τ-n-2(T0)-T0).

證明：假設x(t)>0，t∈[T0,T]且T>τ-n-2(T0),T0≥t0.首先，我們?nèi)菀椎玫较率?/p>

利用歸納法可知

另一方面，由式(9)知

于是

從而得到

于是有

x(t)-[1-

(11)

對于所有的t∈[τ-n-2(T0),T]，式(11)與我們給出的假設矛盾，結(jié)論成立.

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Upper bounds estimation of distances between consecutivezerosoffirstorderdifferentialequationwithvariabledelay

WANGShu-ping

(China University of Petroleum (Beijing), Science Department of Mathematics, Beijing 102249，China)

Inthispaper,aconclusionfortheexistenceofzerosoffirstorderdifferentialequationwithavariabledelaywasgiven,provedatheoremontheoscillationofzerosofsuchequationsandanestimationofdistancebetweenconsecutivezeroswillbeproved.Ageneralconclusiononthedistributionofzerosofsuchequationswasgiven.

distancebetweenconsecutivezeros;oscillation;variabledelay

2015-09-09.

國家自然科學基金(11071257)；中石油創(chuàng)新基金項目(2011D-5006-0307)

王淑萍(1989-)，女，碩士，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng).

O175

A

1672-0946(2016)04-0473-03