模擬退火法Kriging時域模型在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

范占永，甄宗坤，蔡東健

(1. 蘇州工業(yè)園區(qū)測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州 215000； 2. 同濟大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

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模擬退火法Kriging時域模型在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

范占永1，2，甄宗坤1，蔡東健1

(1. 蘇州工業(yè)園區(qū)測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州 215000； 2. 同濟大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

目前常用的時間維監(jiān)控模型主要有時間序列模型、回歸分析模型、灰色理論模型、卡爾曼濾波模型、泊松生命回旋模型等，模型雖然在某些簡單或特定的工程中均可取得了較好的監(jiān)控效果，但在一些沉降變化復(fù)雜的地區(qū)，由于模型僅考慮了離散數(shù)據(jù)的隨機性或結(jié)構(gòu)性特征，沒有考慮到數(shù)據(jù)的變化特征和時間相關(guān)性，致使模型預(yù)測監(jiān)控的效果總是差強人意。本文研究了基于模擬退火法的Kriging時域模型，其在傳統(tǒng)Kriging模型的基礎(chǔ)上，引入目前比較成熟的模擬退火法(SAA)對變異函數(shù)擬合模型中的參數(shù)進行尋優(yōu)，以提高變異函數(shù)模型的精度，使模型能更準(zhǔn)確地描述時域變量的變異特征。

時域模型；Kriging；模擬退火法；變異函數(shù)

在沉降監(jiān)測中，為了尋求變形體的變形規(guī)律，實際中往往采用以點代面的方法，對監(jiān)測點進行多期觀測，通過采集的離散數(shù)據(jù)來分析變形體在時間維的變形特征，確定變形體的變形規(guī)律，并以此預(yù)測變形體下一時段的形變情況。傳統(tǒng)Kriging模型在空間插值中已得到廣泛應(yīng)用，而從近些年一些學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn)，得益于其獨特的建模機制，模型應(yīng)用于時間序列插值也可獲得較高的精度。不過，模型建立的基礎(chǔ)是變形信息具有良好的時間相關(guān)性，然而隨著時間的推移，這種相關(guān)性會逐漸減小，即最早時刻的觀測數(shù)據(jù)與當(dāng)前數(shù)據(jù)失去了相關(guān)性，此時，Kriging模型的變異函數(shù)趨近與一個相對穩(wěn)定的常數(shù)，插值失去了意義。因此，在使用Kriging模型進行時域插值時，為保證數(shù)據(jù)的時間相關(guān)性，常采用滾筒預(yù)測的方式，對變形體的變形情況進行預(yù)測。

傳統(tǒng)Kriging地面沉降時域監(jiān)控模型，在考慮離散數(shù)據(jù)的隨機性和結(jié)構(gòu)特性的同時，采用滾筒預(yù)測的方式，保證了數(shù)據(jù)的時間相關(guān)性，使得其在實際應(yīng)用中取得了不錯的效果。不過，模型也存在一些明顯的問題，如時間序列的離散數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)出明顯的非正態(tài)性；沉降變形信息的時間相關(guān)性會隨著時間的推移逐漸減弱，擾動信息卻逐漸累積，使得變異函數(shù)無法真實地反映沉降數(shù)據(jù)的時間分布特征；變異函數(shù)值同樣是對區(qū)域化變量間差值取平方，使得插值結(jié)果也容易受區(qū)域化變量異常值的影響；變異函數(shù)擬合模型是基于最小二乘準(zhǔn)則的，其在處理小數(shù)據(jù)窗口時，也會對測量誤差有明顯的放大作用。因此，本文研究基于模擬退火法的Kriging時域模型，在傳統(tǒng)Kriging模型的基礎(chǔ)上，引入目前比較成熟的模擬退火法(simulate anneal arithmetic，SAA)對變異函數(shù)擬合模型中的參數(shù)進行尋優(yōu)，以提高變異函數(shù)模型的精度，使模型能更準(zhǔn)確地描述時域變量的變異特征，進而提高模型的預(yù)測精度。

一、Kriging時域模型

Kriging時域模型以區(qū)域化變量的時間相關(guān)性為依據(jù)，結(jié)合變異函數(shù)理論，研究分析具有隨機性、結(jié)構(gòu)性、相關(guān)性和依賴性的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)進行最優(yōu)無偏估計。

相比于Kriging空間插值模型，時間插值的平穩(wěn)性假設(shè)為：二階平穩(wěn)是假設(shè)具有相同的時間間隔的任意兩時刻的協(xié)方差是相同的，協(xié)方差只與這兩時刻的值相關(guān)而與它們的時間無關(guān)；內(nèi)蘊平穩(wěn)假設(shè)是指具有相同時間間隔的任意兩時刻的方差(即變異函數(shù))是相同的。

變異函數(shù)表示為

(1)式中，Z(t)為t時刻的觀測值；Z(t+h)是與t時刻偏離時間間隔為h的觀測值；N(h)是時間間隔為T的時間點對總數(shù)；γ(T)為時間間隔為T時的變異函數(shù)值。

二、基于模擬退火法的Kriging時域模型

模擬退火算法是一種應(yīng)用非常廣泛的智能化算法。該算法源自固體退火原理， 即首先將固體加熱至溫度充分高再讓其徐徐冷卻, 加熱時，固體粒子的熱運動不斷增強， 隨著溫度的升高， 內(nèi)能的增大，粒子排列逐漸從有序的結(jié)晶態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)闊o序的液態(tài)，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，最后在常溫時達到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。根據(jù)Metropolis準(zhǔn)則，粒子在溫度T時趨于平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中，E為溫度T時的內(nèi)能，ΔE為其改變量，k為Boltzmann常數(shù)。

模擬退火法數(shù)學(xué)模型由解空間、目標(biāo)函數(shù)和初始解3部分組成。

1) 解空間：對所有可能解均為可行解的問題定義為可能解的集合，對存在不可行解的問題，或限定解空間為所有可行解的集合，或允許包含不可行解但在目標(biāo)函數(shù)中用罰函數(shù)(penalty function)懲罰以致最終完全排除不可行解。

2) 目標(biāo)函數(shù)：對優(yōu)化目標(biāo)的量化描述，是解空間到某個數(shù)集的一個映射，通常表為若干優(yōu)化目標(biāo)的一個和式，應(yīng)正確體現(xiàn)問題的整體優(yōu)化要求且較易計算，當(dāng)解空間包含不可行解時，還應(yīng)包含罰函數(shù)項。

3) 初始解：是算法迭代的起點。試驗表明，模擬退火法是健壯的(robust)，即最終解的獲得不太依賴初始解的選取，從而可以任意選取一個初始解。

對于Kriging時域監(jiān)控模型的變異函數(shù)模型，本文選擇球狀模型，具體形式為

(2)

式中，C0為塊金值；C為偏基臺值；a為變程。

使用模擬退火法尋找球狀變異函數(shù)模型最優(yōu)解的具體步驟為：

1) 初始化變異函數(shù)模型參數(shù)C0、C、a，確定參數(shù)變化范圍。

2) 計算目標(biāo)函數(shù)值E(C0、C、a)。

模型擾動采用Ingber于1989年提出的依賴于溫度的似Cauchy分布產(chǎn)生新模型，具體形式如下

(3)

yi=Tsgn(μ-0.5)[(1+1/T)|2μ-1|-1]

(4)

P=[1-(1-m)ΔE/T]1/(1-m)

(5)

進行接收，T為溫度。

8) 在溫度T下，重復(fù)一定次數(shù)的擾動和接收過程。

9) 緩慢降低溫度T

T(k)=T0αk1/N

(6)

式中，T0為初始溫度；k為迭代次數(shù)；N為給定常數(shù)，一般為1或2；α通常選擇0.7≤α≤1。

10) 重復(fù)步驟3)—9)，直至收斂條件滿足。

綜上，基于模擬退火法的Kriging時域監(jiān)控模型具體建模步驟如圖1所示。

圖1　基于模擬退火法的Kriging時域監(jiān)控模型程序

三、工程實例

圖2　監(jiān)測點A和監(jiān)測點B的實測沉降曲線

圖3　模擬退火法(SAA)和最小二乘法(LS)擬合變異函數(shù)曲線對比圖

mm

圖3為監(jiān)測點A滾動步長為8期的模擬退火法(SAA)和最小二乘法(LS)擬合變異函數(shù)曲線的對比圖，圖中顯示SAA算法擬合的變異函數(shù)曲線表現(xiàn)得較為穩(wěn)定，準(zhǔn)確地描述了變異函數(shù)曲線的變化趨勢。表1和表2為監(jiān)測點A、B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging插值結(jié)果，圖4和圖6為監(jiān)測點A、B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging對比圖，圖5和圖7為監(jiān)測點A、B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging殘差圖 。由表1、表2和圖4—圖7可知，改進的SAA-Kriging監(jiān)控模型在一定程度上解決了傳統(tǒng)Kriging模型面臨的難題，進一步提高了模型的監(jiān)測精度和穩(wěn)定性。測試中，滾動步長為8期的監(jiān)測點A、B的Kriging和SAA-Kriging對比結(jié)果表明，SAA-Kriging監(jiān)控模型在選定了合適的滾動步長的基礎(chǔ)上，可以獲得接近于1 mm的監(jiān)測精度。

圖4　監(jiān)測點A不同滾動步長下的Kriging和SAA-Kriging對比圖

圖5　監(jiān)測點A不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging殘差圖

mm

圖6　監(jiān)測點B不同滾動步長下的Kriging和SAA-Kriging對比圖

圖7　監(jiān)測點B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging殘差圖

四、結(jié)束語

本文主要研究了在局部地區(qū)應(yīng)用改進Kriging時域監(jiān)控模型進行區(qū)域地面沉降監(jiān)測時的問題。結(jié)合工程實例，檢驗了改進SAA-Kriging時域模型的監(jiān)控效果。測試中選擇的變異函數(shù)模型為非線性的，求解模型參數(shù)常規(guī)的方法是將模型線性化后，按照最小二乘準(zhǔn)則獲取最優(yōu)解，然而最小二乘準(zhǔn)則在處理小數(shù)據(jù)窗口時會對測量誤差有明顯的放大作用。文中通過引入了模擬退火法對Kriging時域監(jiān)控模型進行了尋優(yōu)求解，試驗結(jié)果顯示，模擬退火法(SAA)擬合的變異函數(shù)曲線表現(xiàn)得較為穩(wěn)定，能較為準(zhǔn)確地描述變異函數(shù)曲線的變化趨勢，有效地解決了最小二乘準(zhǔn)則在處理小數(shù)據(jù)窗口時的問題。

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Simulated Anneal Arithmetic Kriging Time-domain Model in Subsidence Monitoring

FAN Zhanyong，ZHEN Zongkun，CAI Dongjian

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0156.

2015-11-24

范占永(1976—)，男，博士生，高級工程師，主要從事數(shù)字城市和城市災(zāi)害預(yù)警方面的研究。E-mail：fanzy@dpark.com.cn

P258

B

0494-0911(2016)05-0061-05

引文格式： 范占永，甄宗坤，蔡東健. 模擬退火法Kriging時域模型在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用[J].測繪通報，2016(5)：61-65.