概率中的幾個(gè)易錯(cuò)問(wèn)題

李文東

(廣東省中山紀(jì)念中學(xué),528454)

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概率中的幾個(gè)易錯(cuò)問(wèn)題

李文東

(廣東省中山紀(jì)念中學(xué),528454)

概率統(tǒng)計(jì)是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的一個(gè)亮點(diǎn),它替代了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.然而對(duì)于概率的計(jì)算,許多同學(xué)都存在不少誤區(qū),究其原因,除了許多概率的計(jì)算需要用到排列組合的知識(shí),讀清楚題目表達(dá)的實(shí)際含意外,還需要對(duì)一些概率的概念的本質(zhì)有一個(gè)清晰的把握.本文通過(guò)一些概率中的易錯(cuò)典型例題對(duì)概率易錯(cuò)問(wèn)題進(jìn)行辨析,希望能夠讓學(xué)生正確地理解并掌握運(yùn)用,同時(shí)對(duì)教師的課堂教學(xué)也能起到一定的幫助作用.

一、概率中的順序問(wèn)題

例1一個(gè)盒子中有大小形狀相同的10個(gè)球,其中有7白球,3個(gè)黑球,分別求下列事件的概率:

(1) 從中有放回的依次取出兩球,取出的兩球顏色不同;

(2) 從中無(wú)放回的依次取出兩球,取出的兩球顏色不同;

(3) 從中無(wú)放回的依次取出兩球,第一次取出的是黑球,第二次取出的是白球;

(4) 從中一次性取出兩球,取出的兩球顏色不同.

(本題也可以用(2)中的排列來(lái)解決，有殊途同歸之效)

評(píng)注本題涉及到主要是概率計(jì)算中的順序問(wèn)題,正確理解有無(wú)順序,合理運(yùn)用排列組合乃至兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二、互斥、對(duì)立與獨(dú)立混淆

為了對(duì)“互斥”、“對(duì)立”與“獨(dú)立”這三者關(guān)系有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),特設(shè)計(jì)了下面的例子.

例2拋擲一顆骰子,記A為事件“落地向上的數(shù)為奇數(shù)”,B為事件“落地向上的數(shù)為偶數(shù)”,C為事件“落地向上的數(shù)為3的倍數(shù)”,D為事件“落地向上的數(shù)為大于3的數(shù)”,E為事件“落地向上的數(shù)為7”.判斷下列每對(duì)事件的關(guān)系：

(1)A與B；(2)A與C；(3)B與C；

(4)A與D；(5)A與E.

解顯然A={1,3,5},B={2,4,6},C={3,6},D={4,5,6},E={7}.

注意基本事件總數(shù)為6，可得

由互斥、對(duì)立及獨(dú)立事件的概念，得結(jié)論如下：

互斥對(duì)立獨(dú)立A與B是是不A與C不不是B與C不不是A與D不不不A與E是不是

實(shí)際上,設(shè)若兩個(gè)隨機(jī)事件A、B相互獨(dú)立,則說(shuō)明這兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生(因?yàn)閮蓚€(gè)事件的發(fā)生互不影響),而互斥的兩個(gè)事件卻不能同時(shí)發(fā)生(亦即一個(gè)事件發(fā)生了,另個(gè)事件就絕對(duì)不可能發(fā)生),故兩個(gè)相互獨(dú)立的事件通常不可能互斥.

反之,設(shè)若兩個(gè)事件互斥,則一個(gè)事件的出現(xiàn)必導(dǎo)致另一個(gè)事件的不出現(xiàn),這說(shuō)明后者出現(xiàn)的概率受到了前者是否出現(xiàn)的影響,從而意味著這兩個(gè)事件并不相互獨(dú)立.

當(dāng)然這只是一般情況,當(dāng)有概率為零的事件時(shí)例外.

三、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別

例3某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量(單位:克).重量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…(510,515],

由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖1所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；

(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)Y為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列；

(3)從流水線上任取5件產(chǎn)品,求恰有2件產(chǎn)品合格的重量超過(guò)505克的概率.

解(1)重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是:40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12.

(2)Y的分布列為:

Y012PC228C240C128·C112C240C212C240

評(píng)注本題第三小題易犯的錯(cuò)誤是利用超幾何分布來(lái)解決.

超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別:

(1)本質(zhì)區(qū)別:二項(xiàng)分布是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),每一次發(fā)生的概率都一樣,而超幾何分布則會(huì)改變.如常見(jiàn)兩種模型:有放回和無(wú)放回抽取.(有放回抽樣時(shí),每次抽取時(shí)的總體沒(méi)有改變,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),此種抽樣是二項(xiàng)分布模型.而不放回抽樣時(shí),當(dāng)總體容量比較小時(shí),從中取出一個(gè)則總體中就少一個(gè),因此每次取到某物的概率是不同的,此種抽樣為超幾何分布模型)

(2)在統(tǒng)計(jì)中的區(qū)別：

①超幾何分布需要知道總體的容量,而二項(xiàng)分布不需要;

②當(dāng)總體的容量非常大時(shí),采用二項(xiàng)分布;(當(dāng)總體樣本非常大時(shí),雖說(shuō)取出一個(gè)少一個(gè),但對(duì)于總體的影響小之又小,故可以看做對(duì)概率沒(méi)有影響,所以采用二項(xiàng)分布)

③如果用樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,一般采用二項(xiàng)分布.

例4某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖2所示.

(1)估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分、中位數(shù)和眾數(shù);

(2)假設(shè)在[90,100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都不相同,且都超過(guò)94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個(gè)數(shù)中任意抽取2個(gè)數(shù),有放回地抽取了3次,記這3次抽取中,恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

解(1)利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分:

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.

所以,估計(jì)這次考試的平均分是72分.

學(xué)生的成績(jī)?cè)赱90,100]段的人數(shù)是0.005×10×80=4(人).

四、兩種不同的條件概率

例5一個(gè)盒子中有大小形狀相同的10個(gè)球,其中有6白球,4個(gè)黑球,

(1) 從盒子中任取兩個(gè)球,已知第一次取到的球?yàn)楹谇?求第二次取到的球也是黑球的概率;

(2) 從盒子中任取兩個(gè)球,已知其中一個(gè)球?yàn)楹谇?求另一個(gè)球也是黑球的概率.

解(1)已知第一次取到的球?yàn)楹谇?故盒子中還剩下9個(gè)球,其中6白球,3個(gè)黑球,從中再任取一球?yàn)楹谇虻母怕?/p>

五.忽略基本事件的等可能性出錯(cuò)

例6把圓周4等分,A是其中一個(gè)分點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在四個(gè)分點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn).投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體,它的四個(gè)面上分別寫(xiě)著1,2,3,4四個(gè)數(shù)字,P從點(diǎn)A出發(fā),按照正四面體底面上所投擲的點(diǎn)數(shù)前進(jìn)(數(shù)字為n就前進(jìn)n個(gè)分點(diǎn)),轉(zhuǎn)一周之前繼續(xù)投擲.

(1)求點(diǎn)P恰好返回到點(diǎn)A的概率:

(2)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一周能返回點(diǎn)A的所有結(jié)果中,用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P返回A點(diǎn)時(shí)的投擲次數(shù),求ξ的分布列和期望.

(2)錯(cuò)解:在恰能返回點(diǎn)A的情況下,ξ有1,2,3,4共四種取值的可能結(jié)果,且由(1)知

故ξ的分布列為

ξ1234P18383818

評(píng)注本例第(2)問(wèn)的解法在很多教材和資料上比較常見(jiàn),許多中學(xué)老師也對(duì)這一結(jié)果持相同的意見(jiàn).究其原因,乃是對(duì)古典概型中基本事件的等可能沒(méi)有正確地把握:在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一周能返回點(diǎn)A的所有結(jié)果認(rèn)為是8種,且每一種都是等可能的.事實(shí)上,它們顯然不是等可能的,應(yīng)按照條件概率計(jì)算,ξ的分布列的正確結(jié)果如下:

ξ1234P6412548125121251125