利用集合思想求解含參數(shù)線性規(guī)劃問題

張　生　蘇　猛

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)，010020)

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利用集合思想求解含參數(shù)線性規(guī)劃問題

張生蘇猛

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)，010020)

線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支.它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法,廣泛地應(yīng)用于軍事作戰(zhàn)、經(jīng)濟(jì)分析、經(jīng)營管理和工程技術(shù)等方面.

簡單線性規(guī)劃問題實為二元函數(shù)(線性目標(biāo)函數(shù))在定義域內(nèi)(線性約束條件)的最值問題.將定義域和函數(shù)置于圖形之中,以形助數(shù)是高中階段解決該類問題的主要手段．

在高考中,此類問題大致可分為簡單線性規(guī)劃問題,含參數(shù)線性規(guī)劃問題,整數(shù)線性規(guī)劃問題和非線性規(guī)劃問題四大類．其中,含參數(shù)線性規(guī)劃問題是學(xué)生不易理解掌握的一類,也是高考考察的趨勢．下面,以高考題為實例,給出解決該類問題的一種集合視角下的解題方法，此法可以有效回避分類討論．

一、問題模型及重要結(jié)論

問題模型目標(biāo)函數(shù)max(min) z=ax+by(a,b∈R).

約束條件 a1x+b1y≥(≤,<,>)c1，

a2x+b2y≥(≤,<,>)c2，

……

anx+bny≥(≤,<,>)cn.

上述問題模型稱為簡單線性規(guī)劃問題,其實質(zhì)為在給定約束下,求二元函數(shù)的最值問題．這僅是規(guī)劃問題中最為簡單的情形,解決該類問題的主要方法是數(shù)形結(jié)合．關(guān)于問題模型,易得以下常用結(jié)論:

結(jié)論1記二元一次不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域為集合Ω,若Ω為一個封閉區(qū)域,則對(x,y)∈Ω,函數(shù)f(x,y)既有最大值,也有最小值．

結(jié)論2對(x,y)∈Ω(其中,Ω為二元一次不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域),若函數(shù)f(x,y)既有最大值,也有最小值,則Ω為一個封閉區(qū)域．

結(jié)論3函數(shù)f(x,y)的最大值和最小值只能在可行域的邊界或頂點處取得．

結(jié)論4記二元一次不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域為集合Ω1,二元一次不等式對應(yīng)的平面區(qū)域為集合Ω2,若Ω1?Ω2,則? (x,y)∈Ω1,都能使這個二元一次不等式成立．

結(jié)論5記二元一次不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域為集合Ω1,二元一次不等式對應(yīng)的平面區(qū)域為集合Ω2,若Ω1∩Ω2≠?,則? (x,y)∈Ω1,使這個二元一次不等式成立．

結(jié)論6當(dāng)B>0時,不等式Ax+By+C>0解集對應(yīng)的平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的上方;不等式Ax+By+C<0解集對應(yīng)的平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的下方.

二、例題及解法探究

(*)

時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.

這一解法充分利用了結(jié)論2和結(jié)論3,是一種快速有效的解題辦法,體現(xiàn)的是對問題的全面分析能力和解題技巧與策略的優(yōu)化．

解法2記不等式組(*)對應(yīng)的平面區(qū)域為Ω1,不等式組1≤ax+y≤4對應(yīng)的平面區(qū)域為Ω2,由題意,?(x,y)∈Ω1,都滿足1≤ax+y≤4,利用結(jié)論4，知Ω1?Ω2．

這一解法充分利用了結(jié)論4和結(jié)論6,將題干信息“當(dāng)實數(shù)x,y滿足(*)時,1≤ax+y≤4恒成立”轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系,借助圖象解題,充分體現(xiàn)劃歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想．

(*)

如果目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實數(shù)m等于()

(A)7(B)5(C)4(D)3

解將問題轉(zhuǎn)化為“對任意(x,y)滿足(*)都有x-y≥-1成立”.記不等式組表示的區(qū)域為Ω1,不等式x-y≥-1表示的區(qū)域為Ω2,則有Ω1?Ω2，作圖如圖3.

評注將題設(shè)“目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1”轉(zhuǎn)化“不等式x-y≥-1”．進(jìn)而將規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,利用集合的包含關(guān)系解題,這針對含有參數(shù)的規(guī)劃問題的求解非常有效,可回避對參數(shù)的分類討論．

但需要注意的是,若將題設(shè)條件改為“已知實數(shù)x,y滿足(*)，如果x-y≥-1恒成立”則m就不是具體值了,而是一個范圍了,應(yīng)為2≤m≤5． 若將題設(shè)條件改為“已知實數(shù)x,y滿足(*),如果存在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的點(x,y)使得x-y≥-1成立”則m的范圍應(yīng)為m≥2．教學(xué)中,應(yīng)注重此類問題的變式訓(xùn)練．

解由“z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值”可得zmin=a,所以有ax+2y≥a．記約束條件表示的區(qū)域為Ω1,不等式ax+2y≥a表示的區(qū)域為Ω2.

評注利用交集思想解決規(guī)劃問題,借助圖象,直觀明了．此法關(guān)鍵在于將題設(shè)“目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值”轉(zhuǎn)化為“不等式ax+2y≥a”,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為兩個平面區(qū)域(兩個點集)相交問題．

類似問題在高考中出現(xiàn)頻率很高(如2014山東,2014北京,2014湖南,2013新課標(biāo)Ⅱ,2013大綱,2013浙江等),如何提高這類問題的解題能力?需要平時深入研究,得出解決問題的通性通法，并達(dá)到“做一題,會一類”的解題效應(yīng)．