用基本不等式求最值為什么要“二定”

張　云

(江蘇省華羅庚中學(xué),213200)

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○學(xué)習(xí)指導(dǎo)○

用基本不等式求最值為什么要“二定”

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(江蘇省華羅庚中學(xué),213200)

用基本不等式求最值是基本不等式的重要應(yīng)用,也是高考的熱點(diǎn)．基本不等式求最值要注意滿足“一正二定三相等”這三個(gè)條件.其中，“二定”是三個(gè)條件中相當(dāng)重要的條件,也是平時(shí)的考查點(diǎn).由于學(xué)生對(duì)此較難理解,本文對(duì)此進(jìn)行探索．

一、問題的提出

解法1∵x>0，

在課堂教學(xué)中,教師常常會(huì)給出上述解題過程，多數(shù)學(xué)生容易接受,但也有學(xué)生往往會(huì)提出如下解題思路:

所以當(dāng)x=1,y取最小值2.

兩種方法做的結(jié)果卻不一樣,學(xué)生百思不得其解.比較兩種解法，為什么將表達(dá)式先加上1湊成根號(hào)下是乘積為定值．就可以求最值，難道解法2乘積不是定值就不能求最小值?對(duì)此，我們不妨從理論上加以探索．

二、解法探析

但解法2錯(cuò)誤的根源是什么呢？我們?cè)購(gòu)睦碚撋辖鉀Q.先回顧函數(shù)最小值的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：① 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈I,都有f(x)≥M,② 存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么,我們稱常數(shù)M 是函數(shù)y=f(x)的最小值．這說明最小值一定是具體數(shù)值,這就是基本不等式求最值中“二定”的本質(zhì).從數(shù)形結(jié)合的角度看，f(x)在區(qū)間I內(nèi)點(diǎn)x0處取最小值f(x0)=M,實(shí)質(zhì)上就是要求y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)圖象恒位于常值函數(shù)y=M圖象上方，且兩者在x0∈I處圖象重合.再看看學(xué)生的做法:

當(dāng)x>0時(shí),由基本不等式知

三、解題后的反思

我們總是責(zé)怪學(xué)生課堂聽課效果差,殊不知是教師為了追求課堂的高效性少走彎路,對(duì)于基本不等式求最值的三個(gè)注意事項(xiàng)“一正二定三相等”,教師往往采用告訴式,這容易使學(xué)生聽得云里霧里、似懂非懂，做練習(xí)時(shí)仍然犯上面的錯(cuò)誤.再比如

例2設(shè)正數(shù)a,b滿足a+b+3=ab,求a+b的最小值.

所以a+b=ab-3≥9-3-6(等號(hào)在a=b=3時(shí)取得)，則a+b的最小值為6.