關(guān)于兩個Diophantine方程的求解

許宏鑫,趙西卿

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安　716000)

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關(guān)于兩個Diophantine方程的求解

許宏鑫,趙西卿

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安716000)

不定方程;Euclid域;整數(shù)解

關(guān)于不定方程

x2+D=4yn

(1)

1　預(yù)備知識

引理2設(shè)D滿足引理1的條件[6],及

則α是二次代數(shù)整數(shù)的充要條件是它可表示為α=m+nω,m,n∈Z,n≠0。

(ⅰ) 當D=-2或D≤-5時,僅有±1;

(ⅱ) 當D=-1時,有±1,±i;

(ⅳ) 當D>1,D≡2,3(mod4)時,有

k=±1,±2,…

(ⅴ) 當D>1,D≡1(mod4)時,有

k=±1,±2,…

2　定理及其證明

定理1不定方程

x2+3=4y5,x,y∈Z

(2)

(3)

情形一,即

(4)

情形二,即

(5)

若式(4)成立,則有

化簡得

比較兩邊的系數(shù)有

(6)

(2)若b=1,由方程組(6)的第二個等式有5a4-30a2-7=0,此時方程沒有整數(shù)解。

若式(5)成立,則有

化簡得

比較兩邊的系數(shù)有

(7)

定理2不定方程

x2-3=4y5,x,y∈Z

(8)

無整數(shù)解。

(9)

(10)

當k=1時,式(10)即為

整理并比較兩邊的系數(shù)有

(11)

同理可證,當k取不等于1的其他整數(shù)時,這樣的整數(shù)a,b仍是不存在的,因此不定方程(8)無整數(shù)解。

綜上所述,不定方程x2-3=4y5,x,y∈Z無整數(shù)解。

3　結(jié)語

在不定方程x2+D=4yn的研究基礎(chǔ)之上,利用二次Euclid域的整除理論討論了不定方程x2±3=4y5,x,y∈Z的整數(shù)解情況,得出不定方程x2+3=4y5,x,y∈Z僅有整數(shù)解(x,y)=(±1,1),而不定方程x2-3=4y5,x,y∈Z無整數(shù)解。

現(xiàn)今,不定方程x2+D=4yn在虛二次Euclid域中的研究已經(jīng)比較成熟,而在實二次Euclid域中仍有探究的空間。實二次域中共有16個Euclid域,因此我們可以在這16個Euclid域中進一步探索此不定方程的整數(shù)解。

[1]張麗平.關(guān)于不定方程x2+7=4y3[J].長春工程學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,8(1):84-85.

[2]王振,李小燕.關(guān)于不定方程x2+11=4y3[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,26(6):551-552.

[3]鄔毅.關(guān)于不定方程x2+11=4y5的唯一正整數(shù)解[J].高師理科學(xué)刊,2006,26(2):7-8.

[4]鄔毅,龍?zhí)m.Euclid域中Diophantus方程的整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(4):1 012-1 016.

[5]鄔毅,楊懿,龍?zhí)m,等.關(guān)于二次域理論求解一類Diophantus方程的整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(5):1 197-1 200.

[6]潘承洞,潘承彪.代數(shù)數(shù)論[M].第3版.濟南:山東大學(xué)出版社,2001.

[9]馮蕾,趙西卿,劉建,等.一個包含Smarandache對偶函數(shù)的方程的正整數(shù)解[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2015,27(6):1-4.

Solution of Two Diophantine Equations

Xu Hongxin,Zhao Xiqing

(College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000,China)

Indefinite equation;Euclid domain;Integer solution

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.04.003.

2016-01-19;

2016-03-18.

陜西省科技廳自然科學(xué)基金項目(2013JQ1019);延安大學(xué)自然科學(xué)專項基金項目(YDZ2013-05);延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目(張利霞).

許宏鑫(1989-),女,陜西靖邊人,碩士研究生,研究方向為數(shù)論.E-mail:865747084@qq.com.

O156.7

A

1004-0366(2016)04-0009-04

引用格式:Xu Hongxin,Zhao Xiqing.Solution of Two Diophantine Equations[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(4):9-12.[許宏鑫,趙西卿.關(guān)于兩個Diophantine方程的求解[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(4):9-12.]