基于廣義坐標(biāo)形式的高斯最小拘束原理的多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

姚文莉

青島理工大學(xué)理學(xué)院， 青島 266520； E-mail: ywenli1969@sina.com

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基于廣義坐標(biāo)形式的高斯最小拘束原理的多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

姚文莉

青島理工大學(xué)理學(xué)院， 青島 266520； E-mail: ywenli1969@sina.com

通過(guò)采用動(dòng)能及廣義坐標(biāo)顯式的變分形式的高斯原理， 明確了廣義坐標(biāo)形式的高斯拘束中各項(xiàng)的含義， 以此建立以笛卡爾廣義坐標(biāo)表達(dá)的一般多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的優(yōu)化模型， 并研究利用上述模型列寫其他坐標(biāo)體系下的高斯拘束的方法。采用該方法可將多剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題變?yōu)榍缶惺鴺O值的問(wèn)題， 并且只要給出廣義笛卡爾坐標(biāo)與其他廣義坐標(biāo)之間的雅可比關(guān)系式， 便可方便地得到該坐標(biāo)系統(tǒng)下的高斯拘束， 建模過(guò)程簡(jiǎn)單且具有更強(qiáng)的通用性。采用廣義笛卡爾坐標(biāo)及拉格朗日坐標(biāo)， 對(duì)簡(jiǎn)單剛體的平面運(yùn)動(dòng)及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題建立動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型， 并驗(yàn)證了該方法的有效性。

高斯最小拘束原理； 笛卡爾廣義坐標(biāo)； 拉格朗日坐標(biāo)體系； 多剛體系統(tǒng)； 動(dòng)力學(xué)

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

高斯最小拘束原理是多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題優(yōu)化的重要原理之一， 它不需要建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，而是以加速度為變量， 直接利用系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo)和速度得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因其對(duì)約束形式?jīng)]有要求， 所以可考察樹系統(tǒng)、非樹系統(tǒng)或單邊約束的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題， 還可將動(dòng)力學(xué)分析與系統(tǒng)優(yōu)化相結(jié)合，解決帶控制的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。將高斯最小拘束原理用于多剛體系統(tǒng)， 起源于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究［1］。目前， 利用高斯原理的多體系統(tǒng)建模方法均基于質(zhì)點(diǎn)形式的高斯最小拘束原理， 需直接對(duì)多體系統(tǒng)內(nèi)的每個(gè)物體單獨(dú)列寫拘束［2-5］。在用廣義坐標(biāo)表達(dá)的高斯最小拘束原理中， 對(duì)所選擇的廣義坐標(biāo)沒(méi)有要求， 所以建模過(guò)程簡(jiǎn)單且有更強(qiáng)的通用性，但目前研究中， 廣義坐標(biāo)形式的高斯拘束原理中的符號(hào)含義不夠清晰， 不適于程式化的建模［6-7］。

本文采用動(dòng)能及廣義坐標(biāo)顯式的變分形式的高斯原理， 明確了廣義坐標(biāo)形式的高斯拘束中各項(xiàng)的含義， 并利用廣義坐標(biāo)形式的高斯最小拘束原理，建立多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的優(yōu)化模型。在多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究中， 針對(duì)不同的問(wèn)題會(huì)采用不同的坐標(biāo)系統(tǒng)， 與其他坐標(biāo)系統(tǒng)相比， 廣義笛卡爾坐標(biāo)體系可以更方便地表達(dá)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)量。因此， 本文研究利用上述模型列寫其他坐標(biāo)體系高斯拘束的方法， 根據(jù)上述方法， 只要能夠得到其他坐標(biāo)系統(tǒng)與廣義笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系表達(dá)式， 便可以方便地得到多剛體系統(tǒng)的拘束（該函數(shù)表達(dá)式中的變量均以矩陣形式給出）。

1　不同坐標(biāo)形式的高斯最小拘束原理

1.1以質(zhì)點(diǎn)形式表達(dá)的高斯最小拘束原理

討論由 M 個(gè)質(zhì)點(diǎn)Pi（i=1， 2， …， M）組成的系統(tǒng)，其拘束定義為， 將其展開為

則高斯最小拘束原理［8-9］表達(dá)為: 在理想約束條件下， 系統(tǒng)在某瞬時(shí)， 在位置、速度和約束條件均相同但加速度不同的所有可能運(yùn)動(dòng)中， 真實(shí)運(yùn)動(dòng)使得拘束取極小值。

1.2廣義坐標(biāo)形式的高斯最小拘束原理研究受約束的系統(tǒng)， 其廣義坐標(biāo)可以表達(dá)為

q1， q2， …， qn， 此組廣義坐標(biāo)可以是不獨(dú)立的。將變分形式的高斯原理表達(dá)成 Euler-Lagrange 式的Gauss原理［10］為

其中系統(tǒng)動(dòng)能T為

則可將式（2）寫為廣義加速度的顯式:

定義下列矩陣:

令

其中，

將式（3）寫為矩陣形式:

假設(shè)在時(shí)刻t， q 和˙q固定， 只有˙˙q變化， 故矩陣A， g及Q均可看成不變量， 則由式（4）可以得到

因此， 高斯最小拘束可以取為

即在時(shí)刻 t， q 和˙q固定的情況下， 在所有滿足約束的可能運(yùn)動(dòng)中， 實(shí)際運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的高斯最小拘束最小。

在上述定理的推導(dǎo)中， 廣義加速度并未要求是獨(dú)立的， 適用性很廣， 對(duì)完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)以及單、雙邊約束都成立。

2　采用笛卡爾廣義坐標(biāo)形式的多剛體系統(tǒng)高斯最小拘束原理

設(shè)多剛體系統(tǒng)由 N 個(gè)剛體 Bi組成， 地球?yàn)榱銊傮w B0。取定一個(gè)慣性參考基 e（0）和每個(gè)剛體的連體基 e（i）， e（i）的原點(diǎn)與質(zhì)心 Ci重合。為了確定系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)剛體相對(duì)于慣性基的位形， 可以用質(zhì)心Ci的位置矢徑的3個(gè)分量（xc， yc， zc）i確定位置， 用連體基的3個(gè)歐拉角（Ψ， θ， φ）i確定方位。

將3個(gè)平動(dòng)坐標(biāo)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)寫成6×1矢量列陣:

根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

其中，

系統(tǒng)動(dòng)能可寫為

N個(gè)剛體組成的多剛體位形由6N個(gè)廣義坐標(biāo)確定， 可以寫成61N×的位置矢量列陣:

其中相對(duì)于剛體 i 的廣義笛卡爾坐標(biāo)的廣義力列陣［11］為

列陣內(nèi)各元素分別為外力主矢在定坐標(biāo)系中的投影及外力對(duì)3根轉(zhuǎn)動(dòng)軸的主矩。

采用TU-1901雙光束紫外可見分光光度計(jì)光譜法測(cè)定黑米液態(tài)發(fā)酵酒中總黃酮的含量，以蘆丁為對(duì)照品，黃酮類化合物中的酚羥基與三氯化鋁在中性介質(zhì)中生成具有特征吸收峰的有色絡(luò)合物，在一定的濃度范圍內(nèi)，該絡(luò)合物的吸光度值與總黃酮的濃度成正比[4]。總多糖含量的測(cè)定采用苯酚-硫酸法[5]，檢測(cè)波長(zhǎng)490 nm，以葡萄糖來(lái)計(jì)算，并測(cè)定其相對(duì)含量。

針對(duì)廣義笛卡爾坐標(biāo)形式的高斯最小拘束為

故可取高斯最小拘束函數(shù)為

因此， 高斯最小拘束原理可表達(dá)為: 在時(shí)刻t， q 和˙q固定的情況下， 在所有滿足約束（對(duì)約束類型沒(méi)有限制， 可以為完整或非完整及單雙邊約束）的可能運(yùn)動(dòng)中， 實(shí)際運(yùn)動(dòng)高斯拘束取得最小值。

以廣義笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)的優(yōu)點(diǎn)在于其慣性矩陣規(guī)范簡(jiǎn)單， 但在實(shí)際應(yīng)用中， 也常常需要建立其他坐標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。例如， 對(duì)于自動(dòng)機(jī)械、機(jī)器人等帶控制的系統(tǒng)， 反饋控制變量是系統(tǒng)內(nèi)剛體間連接鉸鏈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)變量， 但在用廣義笛卡爾坐標(biāo)建立的動(dòng)力學(xué)模型中不出現(xiàn)該變量， 因此這類模型難以應(yīng)用于帶控制的系統(tǒng)。下面， 討論如何根據(jù)現(xiàn)有廣義笛卡爾坐標(biāo)下的高斯拘束得到其他廣義坐標(biāo)系統(tǒng)下高斯拘束的方法。

3 其他廣義坐標(biāo)系統(tǒng)下的高斯最小拘束

N個(gè)剛體組成的多剛體系統(tǒng)受到連接鉸鏈產(chǎn)生的約束， 這 6N 個(gè)廣義笛卡爾坐標(biāo)一般不是獨(dú)立的，可以選另一套廣義坐標(biāo)作為廣義坐標(biāo)列陣（如選擇系統(tǒng)內(nèi)剛體之間連接鉸鏈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)變量， 即鉸鏈坐標(biāo)）。如果多剛體系統(tǒng)是開鏈系統(tǒng)， 則鉸鏈坐標(biāo)是獨(dú)立的， 若是閉鏈系統(tǒng)， 則坐標(biāo)不獨(dú)立， 坐標(biāo)數(shù)目等于它的開鏈縮減系統(tǒng)的自由度數(shù)目， 約束條件由回路閉合條件決定。

若在廣義笛卡爾坐標(biāo)和該廣義坐標(biāo)之間存在下列關(guān)系:

則下式成立:

根據(jù)式（4）， 可得到下列變分表達(dá)式:

將式（8）和（9）代入上式得

其中，

式（10）可化為

因此， 只要給出廣義笛卡爾坐標(biāo)與其他坐標(biāo)之間的雅可比關(guān)系式， 便可利用式（11）， 方便地得到用其他廣義坐標(biāo)表達(dá)的高斯最小拘束。

4　例子

4.1計(jì)算平面運(yùn)動(dòng)剛體的高斯拘束

其高斯最小拘束為

上式與剛體平面微分方程［12］一致。

4.2計(jì)算定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的高斯拘束

平面運(yùn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在定點(diǎn) A， 則系統(tǒng)取廣義坐標(biāo)qφ′=， 該廣義坐標(biāo)與廣義笛卡爾坐標(biāo)之間的關(guān)系為

計(jì)算高斯拘束（11）中的各項(xiàng):

則在此廣義坐標(biāo)下的高斯拘束為

5　結(jié)語(yǔ)

高斯最小拘束原理是研究多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題優(yōu)化方法的重要原理之一。本文采用動(dòng)能及廣義加速度顯式的變分形式的高斯原理， 明確了廣義坐標(biāo)形式的高斯最小拘束原理高斯拘束中各項(xiàng)的含義，并推導(dǎo)了廣義笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)的一般多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的優(yōu)化模型， 建立了各種廣義坐標(biāo)與廣義笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)的高斯拘束之間的關(guān)系。當(dāng)根據(jù)需要選取不同的廣義坐標(biāo)時(shí)， 可以通過(guò)優(yōu)化方法解決多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題建模， 過(guò)程簡(jiǎn)單且規(guī)范。在剛體平面運(yùn)動(dòng)及剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的例子中， 計(jì)算了兩種坐標(biāo)系下的高斯拘束， 并通過(guò)高斯最小拘束原理的必要條件驗(yàn)證了本文的優(yōu)化模型， 它與典型的動(dòng)力學(xué)微分方程一致， 間接證明了該方法的有效性。

［1］ 袁士杰， 呂哲勤. 多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué). 北京: 北京理工大學(xué)出版社， 1991

［2］ 劉延柱. 基于高斯原理的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2014， 46（6）: 940-945

［3］ 董龍雷， 閆桂榮， 杜彥亭， 等. 高斯最小拘束原理在一類剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分析中的應(yīng)用. 兵工學(xué)報(bào)，2001， 22（3）: 347-351

［4］ 史躍東， 王德石. 艦炮振動(dòng)的高斯最小拘束分析方法. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009， 21（5）: 1-5

［5］ 郝名望， 葉正寅. 單柔體與多柔體動(dòng)力學(xué)的高斯最小拘束原理. 廣西大學(xué)學(xué)報(bào)， 2011， 36（2）: 195-204

［6］ 姚文莉， 戴葆青. 廣義坐標(biāo)形式的高斯最小拘束原理及其推廣. 力學(xué)與實(shí)踐， 2014， 36（6）: 779-785

［7］ Kalaba R E， Udwadia F E. Equations of motion for nonholonomic， constrained dynamical systems via Gauss's Principle. J Appl Mech， 1993， 60（3）: 662-668

［8］ 陳濱. 分析動(dòng)力學(xué). 2版. 北京: 北京大學(xué)出版社，2012

［9］ 劉延柱. 高等動(dòng)力學(xué). 北京: 高等教育出版社， 2000［10］ 梅鳳翔， 劉端， 羅勇. 高等分析力學(xué). 北京: 北京理工大學(xué)出版社， 1991

［11］ 黃昭度， 鐘奉俄. 工程系統(tǒng)分析力學(xué). 北京: 高等教育出版社， 1992

［12］ 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室. 理論力學(xué). 7版.北京: 高等教育出版社， 2009

Dynamical Modeling of Multi-Rigid-Body System Based on Gauss Principle of Least Constraint in Generalized Coordinates

YAO Wenli
School of Sciences， Qingdao Technological University， Qingdao 266520； E-mail: ywenli1969@sina.com

By variational Gauss principle in the form of kinetic energy and explicit express， the meaning of items in Gauss constraints is confirmed. The optimization model of dynamics of multi-rigid-body system in the form of Descartes generalized coordinates is established based on Gauss principle of least constraint in generalized coordinates. The method to write the Gauss constraints in other coordinate system according to the above model is studied. The dynamical problem of multi-rigid-body system can be turned into a problem for a minimum， and provided by the relation between the Descartes generalized coordinates and other coordinates system， the Gauss constraint in this kind of coordinates system is easy to be obtained. The modeling method is more convenient and is of universality. The dynamical models are established for planar motion and fixed axis rotation by Descartes generalized coordinate and Lagrange coordinate， and the validity of this method is proved.

Gauss principle of least constraint； Descartes generalized coordinates； Lagrange coordinate system；multi-rigid-body system； dynamics

O313

10.13209/j.0479-8023.2016.087

國(guó)家自然科學(xué)基金（11272167， 11472145）資助

2015-11-23；

2016-02-13； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12