分塊矩陣在證明Sylvester等式與Sylvester不等式方面的應(yīng)用

陳小陶

(貴州大學(xué) 理學(xué)院，貴州　貴陽　550025)

?

分塊矩陣在證明Sylvester等式與Sylvester不等式方面的應(yīng)用

陳小陶

(貴州大學(xué) 理學(xué)院，貴州貴陽550025)

分塊矩陣在高等代數(shù)中是一個(gè)重要工具，在研究許多問題中都要應(yīng)用到。在分塊矩陣的基礎(chǔ)上，應(yīng)用分塊矩陣的相關(guān)性質(zhì)證明Sylvester等式與Sylvester不等式。同時(shí)，利用舉例以及不同證法說明分塊矩陣在證明Sylvester公式的優(yōu)越性。

分塊矩陣，Sylvester等式，Sylvester不等式，優(yōu)越性

0　引言

矩陣的分塊是矩陣在進(jìn)行計(jì)算中的重要的工具[1]，一個(gè)矩陣經(jīng)過分塊后所構(gòu)成的以塊為元素的新矩陣，它在形式上矩陣的階數(shù)會(huì)較少，這樣通過分析分塊后的矩陣有關(guān)性質(zhì)，能夠得到原有矩陣的性質(zhì)。因?yàn)榉謮K矩陣自身帶有的這個(gè)特點(diǎn)，在許多問題中的求解都可利用到它。例如，求解矩陣的行列式、逆矩陣等。本文是建立在分塊矩陣的基礎(chǔ)上，應(yīng)用分塊矩陣的有關(guān)性質(zhì)，證明Sylvester等式與Sylvester不等式，并通過例子以及證明方法的不同來說明利用分塊矩陣求解Sylvester等式與Sylvester不等式步驟簡(jiǎn)單明了。

1　預(yù)備知識(shí)

1.1分塊矩陣的概念

所謂的矩陣的分塊是將整個(gè)矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆謮K，然后再把分塊后的小矩陣當(dāng)作矩陣?yán)锩娴脑貋硖幚?。設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，如果用若干條橫線把它分成r塊，再用若干條縱線把它分成s塊?；诖?，我們就得到了一個(gè)有rs塊的分塊矩陣，如式(1)：

(1)

其中Ars表示的是一個(gè)比A小的矩陣。

1.2分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則

分塊矩陣的運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算類似，即，加法、數(shù)量乘法和分塊矩陣乘法。但還是有不同，矩陣中的元素是數(shù)量，而分塊矩陣的元素可以是矩陣，也可以是數(shù)量。所以我們?cè)诜謮K時(shí)應(yīng)該注意，恰當(dāng)分塊后應(yīng)使得該矩陣可以進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算。如下即為分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則[2]。

(1)分塊矩陣的加法

設(shè)A，B都是m×n矩陣，且對(duì)A，B用同樣的方式進(jìn)行分塊：

(2)

其中Aij，Bij都是mi×nj矩陣，即Aij，Bij是同種類型的矩陣，那么：

(3)

應(yīng)注意，在利用分塊法對(duì)兩個(gè)同型矩陣進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，兩個(gè)矩陣必須要采用相同的分塊法。

(2)分塊矩陣的乘法

設(shè)A是m×n矩陣，對(duì)A進(jìn)行分塊：

(4)

對(duì)矩陣進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，乘以k，其中k是任意實(shí)數(shù)，則有：

(5)

(3)分塊矩陣的轉(zhuǎn)置

(6)

在此應(yīng)注意，轉(zhuǎn)置時(shí)，每一個(gè)小塊也要轉(zhuǎn)置，并且它的位置也要行列對(duì)調(diào)。

1.3分塊矩陣的性質(zhì)及其推論

在我們對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算中，經(jīng)常用到下面三條性質(zhì)[3]。

1)如果行列式中某行有公因子，則可提到行列式號(hào)外面，或者說以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式；

2)把行列式中一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變；

3)對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào)。

利用矩陣的分塊性質(zhì)，把行列式的這三條性質(zhì)進(jìn)行推廣在分塊矩陣中。

性質(zhì)1 ：設(shè)方陣A是由如下分塊矩陣構(gòu)成

(7)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩陣，又M是任一s級(jí)方陣 。對(duì)于矩陣：

(8)

則|B|=|M||A|。

性質(zhì)2：設(shè)方陣A是由如下分塊矩陣構(gòu)成：

(9)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩陣，又M是任一s階方陣于矩陣D中，其中D為：

(10)

則|A|=|D|。

性質(zhì)3： 設(shè)方陣A和B寫成如下形式

(11)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩陣，則

(12)

2　應(yīng)用分塊矩陣證明Sylvester等式

定理1(Sylvester等式)設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，證明：AB的特征多項(xiàng)式fAB(λ)與BA的特征多項(xiàng)式fBA(λ)有如下關(guān)系式：

λnfAB(λ)=λmfBA(λ)

(13)

我們?cè)趯W(xué)特征值、特征向量時(shí)經(jīng)常會(huì)討論到矩陣AB與BA之間的關(guān)系，通過上面這個(gè)等式我們知道AB與BA的特征多項(xiàng)式存在著一定的關(guān)系。為了證明這個(gè)關(guān)系式，下面我們利用構(gòu)造分塊矩陣的方法來證明，從而體會(huì)分塊矩陣所起的巧妙作用。

證明：要證明(13)式即證：

λn|λEm-AB|=λm|λEn-BA|

(14)

一方面，

(15)

另一方面，

(16)

將(15)，(16)兩式兩邊同時(shí)取行列式可得：

(17)

證畢。

例設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣。證明：AB與BA有相同的非零特征值。

證明： 由Sylvester等式知

λn|λEm-AB|=λm|λEn-BA|

(18)

設(shè)|λEm-AB|的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：

|λEm-AB|=λm-s(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)

(19)

其中λ1λ2…λs≠0，即AB有s人特征λ1，λ2，…λs。

由上述兩式知：

|λEn-AB|=λm+(n-s)(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)

(20)

由此說明，BA也只有這s個(gè)特征值λ1，λ2，…，λs。

3　應(yīng)用分塊矩陣證明Sylvester不等式

定理2(Sylvester不等式)設(shè)A、B分別是s×n，n×m矩陣，則r(AB)≥r(A)+r(B)-n，其中n為A的列數(shù)。

特別地，若A為n級(jí)可逆矩陣，則r(B)=r(AB)；

若AB=0，則r(A)+r(B)≤n.

Sylvester不等式是關(guān)于矩陣秩的一個(gè)重要不等式，在高等代數(shù)求秩的問題中很多都需要應(yīng)用到它。其證明方法也不唯一，而利用構(gòu)造分塊矩陣的方法來證明該不等式是最簡(jiǎn)單的方法之一，且思路會(huì)變得清晰明了，下面利用兩種方法證明，同時(shí)說明構(gòu)造分塊矩陣的方法是計(jì)算量最少的一種方法。

證明方法一：設(shè)Em，En分別為m，n階單位矩陣。由于

=r(AB)+r(En)=r(AB)+n

(21)

(22)

于是r(AB)=r(A1QB)，而

(23)

故：

r(A1QB)≥r(B)+r-n，即r(AB)≥r(B)+r(A)-n。

證畢。

4　總結(jié)

分塊矩陣在矩陣的求解、應(yīng)用等方面，有其自身的優(yōu)越性，在很多問題中都能由繁雜的矩陣經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆謮K之后變成階數(shù)更少的分塊矩陣。這樣有利于我們進(jìn)行實(shí)際操作，也能節(jié)省空間，便于證明，減少計(jì)算復(fù)雜性。

【REFERENCES】

[1]喬占科.矩陣分塊方法的應(yīng)用[J].科技信息，2008，13(2)：190-191.

[2]張敏.分塊矩陣的應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，1(1)：118-120.

ZHANG M.Application of block matrix[J].Journal of Jilin Normal University(Natural Science Edition)，2003， 1(1)：118-120.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2007：181-186.

[4]岳育英，劉興祥，白春紅.Sylvester不等式猜想研究[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011(2)：15-17.

The application of block matrix in the proof of Sylvester equation and Sylvester inequation

CHEN Xiaotao

(DepartmentofScience，GuizhouUniversity，Guiyang550025，China)

Block matrix is an important tool in advanced algebra，and it is applied to the study of many problems.Based on the block matrix，the related properties of the block matrix were used to prove the Sylvester equation and the Sylvester inequation.Meanwhile，the advantages of the block matrix in the proof of the Sylvester formula were illustrated by examples and different proving methods.

block matrix，Sylvester equation，Sylvester inequation，superiority

O151.21

A

1003-6563(2016)04-0043-04

2016-05-16；

2016-05-18

陳小陶(1991-)，女，碩士在讀，研究方向：密碼學(xué)理論與工程。