怎樣解方程應(yīng)用題

文/于宗英　彭景才

怎樣解方程應(yīng)用題

文/于宗英彭景才

方程應(yīng)用題是中考的重要內(nèi)容，這類問題類型眾多，背景鮮活，具有很強(qiáng)的時(shí)代感.下面以2015年中考題為例，對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行歸類解析，希望對(duì)你的復(fù)習(xí)有所幫助.

一、增長(zhǎng)率問題

例1（2015年長(zhǎng)沙卷）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查，長(zhǎng)沙市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長(zhǎng)率相同.

（1）求快遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；

（2）如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)？如果不能，請(qǐng)問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員？

解析：（1）設(shè)快遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，由已知得10（1+x）2=12.1，

解得x1=0.1，x2=-2.1（舍去）.

答：該公司快遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為10%.

（2）今年6月份快遞投遞任務(wù)有12.1×1.1=13.31（萬件）.

21×0.6=12.6＜13.31，

∴21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù).

∴至少還需增加2名業(yè)務(wù)員.

溫馨小提示：若基礎(chǔ)量為a，連續(xù)增長(zhǎng)（或降低）n次，最后的結(jié)果量為b，設(shè)平均增長(zhǎng)（或降低）率為x，則增長(zhǎng)后的方程為a（1+x）n=b或降低后的方程為a（1-x）n=b，求出方程的解后，要注意根據(jù)實(shí)際問題檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.

二、水費(fèi)問題

例2（2015年深圳卷）下表為深圳市居民每月用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/m3）：

用水量　單價(jià)_ x ≤2 2 　a剩余部分　a + 1 . 1

（1）某用戶用水10立方米，交水費(fèi)23元，求a的值；

（2）在（1）的前提下，該用戶5月份交水費(fèi)71元，請(qǐng)問該用戶用水多少立方米？

解析：（1）由題意可得10a=23，解得a=2.3.

（2）設(shè)用戶用水量為x立方米，

∵用水22立方米時(shí)，水費(fèi)為22×2.3=50.6＜71，

∴x＞22，

∴22×2.3+（x-22）×（2.3+1.1）=71，解得x=28.

答：該用戶用水28立方米.

溫馨小提示：根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)估算出用戶用水量x米3（x＞22）是解題的關(guān)鍵.

三、圖表信息問題

圖1

例3（2015年吉林卷）根據(jù)圖1中的信息，求梅花鹿和長(zhǎng)頸鹿現(xiàn)在的高度.

解析：設(shè)梅花鹿的高度是xm，長(zhǎng)頸鹿的高度是ym.

答：梅花鹿的高度是1.5m，長(zhǎng)頸鹿的高度是5.5m.

四、車費(fèi)問題

例4（2015年婁底卷）假如婁底市的出租車是這樣收費(fèi)的：起步價(jià)所包含的路程為0～1.5千米，超過1.5千米的部分按每千米另收費(fèi).

小劉說：“我乘出租車從市政府到婁底汽車站走了4.5千米，付車費(fèi)10.5元.”

小李說：“我乘出租車從市政府到婁底火車站走了6.5千米，付車費(fèi)14.5元.”

問：（1）出租車的起步價(jià)是多少元？超過1.5千米后每千米收費(fèi)多少元？

（2）小張乘出租車從市政府到婁底南站（高鐵站）走了5.5千米，應(yīng)付車費(fèi)多少元？

解析：（1）設(shè)出租車的起步價(jià)是x元，超過1.5千米后每千米收費(fèi)y元.

答：出租車的起步價(jià)是4.5元，超過1.5千米后每千米收費(fèi)2元.

（2）5.5千米的路程分兩段收費(fèi)，根據(jù)（1）中的單價(jià)可得

4.5+（5.5-1.5）×2=12.5（元）.

答：小張乘出租車從市政府到婁底南站（高鐵站）走了5.5千米，應(yīng)付車費(fèi)12.5元.

溫馨小提示：利用二元一次方程組解應(yīng)用題需要找到2個(gè)等量關(guān)系，找到恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系并用方程表示出來是解題的關(guān)鍵.

五、行程問題

例5（2015年煙臺(tái)卷）2014年12月28日“青煙威榮”城際鐵路正式開通，從煙臺(tái)到北京的高鐵里程比普快里程縮短了81千米，運(yùn)行時(shí)間減少了9小時(shí)，已知煙臺(tái)到北京的普快列車?yán)锍碳s為1026千米，高鐵平均時(shí)速為普快平均時(shí)速的2.5倍.

（1）求高鐵列車的平均時(shí)速；

（2）某日王老師要去距離煙臺(tái)大約630千米的某市參加14：00召開的會(huì)議，如果他買到當(dāng)日8：40從煙臺(tái)至某市的高鐵票，而且從該市火車站到會(huì)議地點(diǎn)最多需要1.5小時(shí)，試問在高鐵列車準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的情況下他能在開會(huì)之前到達(dá)嗎？

經(jīng)檢驗(yàn)，x=72是原分式方程的解，且符合題意，則2.5x=180，

答：高鐵列車的平均時(shí)速為180千米/時(shí).

（2）630÷180=3.5，則坐車共需要3.5+1.5=5（小時(shí)），

王老師到達(dá)會(huì)議地點(diǎn)的時(shí)間為13點(diǎn)40分.

故他能在開會(huì)之前到達(dá).

溫馨小提示：行程問題中的基本關(guān)系式是：路程=速度×?xí)r間，根據(jù)三者的關(guān)系，找到相等關(guān)系，列出方程.在列方程時(shí)注意統(tǒng)一單位.

六、面積問題

例6（2015年湖北卷）如圖2，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2？

解析：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm，則平行于墻的一邊的長(zhǎng)為（25-2x+1）m，由題意得

x（25-2x+1）=80，

化簡(jiǎn)，得x2-13x+40=0，

解得x1=5，x2=8，

當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16＞12（舍去），

當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10＜12，符合題意.

答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m、寬為8m.

溫馨小提示：利用面積公式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造方程模型來解決，要注意題目中的限制條件.

圖2

七、方案問題

例7（2015年桂林卷）“全民閱讀”深入人心，好讀書，讀好書，讓人終身受益.為滿足同學(xué)們的讀書需求，學(xué)校圖書館準(zhǔn)備到新華書店采購文學(xué)名著和動(dòng)漫書兩類圖書.經(jīng)了解，20本文學(xué)名著和40本動(dòng)漫書共需1520元，20本文學(xué)名著比20本動(dòng)漫書多440元（注：所采購的文學(xué)名著價(jià)格都一樣，所采購的動(dòng)漫書價(jià)格都一樣）.

（1）求每本文學(xué)名著和動(dòng)漫書各是多少元？

（2）若學(xué)校要求購買動(dòng)漫書比文學(xué)名著多20本，動(dòng)漫書和文學(xué)名著總數(shù)不低于72本，總費(fèi)用不超過2000元，請(qǐng)求出所有符合條件的購書方案.

答：每本文學(xué)名著和動(dòng)漫書的價(jià)格分別為40元和18元. （2）設(shè)學(xué)校購買文學(xué)名著m本，動(dòng)漫書為（m+20）本，則有

因?yàn)閙為整數(shù)，所以m取26，27，28.

方案一：文學(xué)名著26本，動(dòng)漫書46本；方案二：文學(xué)名著27本，動(dòng)漫書47本；方案三：文學(xué)名著28本，動(dòng)漫書48本.

溫馨小提示：二元一次方程組與不等式組是解決方案問題的常見工具，需要弄清題意，找出題目中的等量關(guān)系與不等關(guān)系，列出方程與不等式.