規(guī)律探究題的求解策略

劉頓

規(guī)律探究題的求解策略

劉頓

規(guī)律探究型問題是指在一定條件下，探索數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性，它往往給出一組數(shù)、式子、圖形或條件，要求考生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律.它體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

題型一　探究數(shù)的變化規(guī)律

例1（2015年孝感卷）觀察下列等式：

1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，則1+3+5+7+…+2015=_____.

解：∵1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，

∴1+3+5+…+（2n-1）=n2，

由2n-1=2015，解得n=1008，

∴1+3+5+7+…+2015=10082=1 016 064.

填1 016 064.

說明：給出前面幾個(gè)數(shù)據(jù)，要求這一組數(shù)據(jù)前n個(gè)數(shù)的和，考查考生對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)律的探究能力，需要根據(jù)前面幾個(gè)數(shù)的變化情況，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，從而解決問題.

題型二　探究恒等式的變化規(guī)律

例3（2015年內(nèi)江卷）（1）填空：（a-b）（a+b）=______；（a-b）（a2+ab+b2）=______；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=______.

（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=_____（其中n為正整數(shù)，且n≥2）.

（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)算：29-28+27-…+23-22+2.

解：（1）∵（a-b）（a+b）=a2-b2，

（a-b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3，

（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3-a3b-a2b2-ab3-b4=a4-b4，

∴分別填上a2-b2，a3-b3，a4-b4.

（2）由（1）的規(guī)律得，原式=an-bn.

（3）29-28+27-…+23-22+2=（2-1）（28+26+24+22+2）=342.

說明：本題考查了多項(xiàng)式的乘法規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

題型三　探究圖形的變化規(guī)律

圖1

例4（2015年益陽卷）圖1是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案，第1個(gè)圖案中有6根小棒，第2個(gè)圖案中有11根小棒……則第n個(gè)圖案中有______根小棒.

解：第（1）個(gè)圖案有6根小棒，第（2）個(gè)圖案比第（1）個(gè)圖案多5根小棒，在接下來的圖案中，都依次增加5根小棒.因此有：

第（1）個(gè)圖案有6根小棒，第（2）個(gè)圖案有（6+5）根小棒，第（3）個(gè)圖案有（6+5+5）根小棒，第（4）個(gè)圖案有（6+5+5+5）根小棒……第（n）個(gè)圖案中有6+5（n-1）=5n+1根小棒.

答案為5n+1.

說明：觀察簡(jiǎn)單、特殊圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)量規(guī)律，再推廣到一般情況，從而得到答案.

題型四　探究周期性變化規(guī)律

圖2

例5（2015年邵陽券）如圖2，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖于位置，依次類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是（）.

A.2015πB.3019.5πC.3018πD.3024π

圖3

說明：探索圖形周期性變化，通常需要觀察圖形變化的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這些變化的內(nèi)在聯(lián)系，從而解決問題.

題型五　探究坐標(biāo)的變化規(guī)律

例6（2015年濟(jì)南卷）在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)A（1，-1）、B（-1、-1）、C（0，1），點(diǎn)P （0，2）關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P1，P1關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)為P2，P2關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為P3，按此規(guī)律繼續(xù)以A、B、C為對(duì)稱中心重復(fù)前面的操作，從而得到P4、P5、P6……則點(diǎn)P2015的坐標(biāo)是（）.

A.（0，0）B.（0，2）

C.（2，-4）D.（-4，2）

解：如圖4，P（0，2），第1次變換后P1（2，-4），第2次變換后P2（-4，2），第3次變換后P3（4，0），第4次變換后P4（-2，-2），第5次變換后P5（0，0），第6次變換后P6（0，2），從而可知每6次一循環(huán)，而2015÷6= 335……5，

圖4

∴點(diǎn)P2015的坐標(biāo)是（0，0）.選A.

說明：解坐標(biāo)規(guī)律探索題，要發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，從特例出發(fā)，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作、觀察分析、歸納猜想得出一般性的結(jié)論，從而得到問題的答案.

題型六　探究長度的變化規(guī)律

圖5

例 7（2015年衡陽卷）如圖5，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中點(diǎn)A1，A2，…，An在x軸上，點(diǎn)B1，B2，…，Bn在直線y=x上.已知OA1=1，則OA2015的長為_____.

解：∵OA1=1，∴點(diǎn)A1坐標(biāo)為（1，0），

又∵△A1B1A2為等腰直角三角形，

∴B1A1⊥x軸，

∵點(diǎn)B1在直線y=x上，

∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（1，1），且B1A1=A1A2=1，

∴A2的坐標(biāo)為（2，0），即OA2=2=21，

同理可得，點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（4，0），即OA3=4=22，

如此類推，可得到OA4=8=23，OA5=16=24，…，

∴OA2015=22014.填22014.

說明：從簡(jiǎn)單圖形出發(fā)，通過歸納，猜想，得出一般性結(jié)論.

題型七　探究面積的變化規(guī)律

例8（2015年鹽城卷）設(shè)△ABC的面積為1，如圖6將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖7將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2……以此類推，則Sn可表示為______.（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）

圖6

圖7

圖8

解：如圖6，連接D1E1，由三角形中位線定理，得AB=2D1E1，D1E1∥AB，

∴△OD1E1～△OAB，

說明：求出簡(jiǎn)單圖形的面積，觀察各圖形之間的聯(lián)系，找出面積的變化規(guī)律，從而求出第n個(gè)圖形的面積.

題型八　探究操作問題的變化規(guī)律

例9（2015年鐵嶺卷）如圖9，將一條長度為1的線段三等分，然后取走其中的一份，稱為第一次操作；再將余下的每一條線段三等分，然后取走其中的一份，稱為第二次操作……如此重復(fù)操作，當(dāng)?shù)趎次操作結(jié)束時(shí)，被取走的所有線段長度之和為_____.

圖9

說明：若不理解題意，操作就無法進(jìn)行，從而找不到被取走線段長度和的規(guī)律而難以求解.